江苏省常州市常州中学2011-2012高三数学（文）最后冲刺综合练习试卷（一）.doc

江苏省常州市常州中学 2011-2012 高三数学（文）最后冲刺综合练习 试卷（一） 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在题中横线上. 1. 命题 P：“对 x A ，都有 2 2 2 0x x   ．”则当 [1,2]A  时，命题 P 为 命题 （填“真”或“假”）． 2. 在抽查某产品尺寸过程中，将其尺寸分成若干组， ba, 是其中的一组，已知该组的频率 为 m ，该组上的直方图的高为 h ，则 ba  等于 ． 3. 已知复数 1 2 31 2i, 1 i, 3 2iz z z       ，它们所对应的点分别为 A，B，C．若 OC xOA yOB    ，则 x y 的值是 ． 4. 函数 sin( 2 )6y x  为增函数的区间是 ． 5. 设 a 、 b 分别是甲、乙各抛掷一枚骰子得到的点数．已知乙所得的点数为 2 ，则方程 2 0x ax b   有两个不相等的实数根的概率为 ． 6. 若函数 bbxxxf 36)( 3  在 )1,0( 内有极小值，则实数 b 的取值范围是 ． 7. 有以下四个命题，其中正确命题的序号是 ． ①“直线 ,a b 为异面直线”的充分非必要条件是“直 ,a b 不相交”； ②“直线l ⊥平面 内的所有直线”的充要条件是“l  ” ； ③“直线 a b ”的充分非必要条件是“ a 垂直于b 在 内的射影”； ④“直线 a ∥平面  ”的必要非充分条件是“直线 a 平行于  内的一条直线”； 8. 椭 圆 12 2 22  b yx 的 焦 点 为 21, FF , 两 条 准 线 与 x 轴 的 交 点 分 别 为 ,M N ， 若 212 FFMN  ，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ． 9. 已知点 P 的坐标 ( , )x y 满足 4, , 1. x y y x x    ≤ ≥ ≥ 过点 P 的直线l 与圆 2 2: 14C x y  交于 A 、 B 两点，求| |AB 最小值时的直线 AB 的方程 . 10. 已知函数 2( ) lg( 3 )f x x ax a   ，若对于任意的  2,x  ，当 0x  时，恒有 ( ) ( ) 0f x f x x x     ，则实数 a 的取值范围是 ． 11. 路灯距地面为 6m，一个身高为 1.8m 的人以 0.8m/s 的速度从路灯的正底下，沿某直线 离开路灯，人影长度 S(m)随人从路灯的正底下离开路灯的时间t ( )s 的变化而变化，那么 人影长度的变化速度 v 为 （m/s）． 12. 设 函 数 2 1 1 2 3( ) n nf x a a x a x a x      ， 1(0) 2f  ， 数 列 { }na 满 足 2 *(1) ( )nf n a n N  ，则数列{ }na 的通项 na 等于 . 13. 若不等式3 2 6 0x a x    对任意 x R 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ． 14. 设函数  f x 的定义域为 R ，若存在常数 k 0 ，使   2010 kf x  x 对一切实数 x 均 成 立 ， 则 称  f x 为 “ 诚 毅 ” 函 数 . 给 出 下 列 函 数 ： ①   2f x x ； ②  f x sin x cos x  ；③   2 1 xf x x x    ；④   3 1xf x   ；其中  f x 是“诚毅” 函数的序号为 . 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本题满分 14 分） 如 图 ， 已 知 空 间 四 边 形 ABCD 中 ， O 是 对 角 线 BD 的 中 点 ， 2, 2.CA CB CD BD AB AD      （1）求证：CO AO ； （2）求证： AO  平面 BCD； （3）若 G 为 ADC 的重心,试在线段 DO 上确定一点 F, 使得 / /GF AOC平面 ． 16. （本题满分 14 分） 已知 ABC 中，角 A，B，C，所对的边分别是 , ,a b c，且  2 2 22 3a b c ab   ； （1）求 2sin 2 A B ； （2）若 2c  ，求 ABC 面积的最大值． 17. （本题满分 16 分） 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 以 O 为 圆 心 且 面 积 最 小 的 圆 与 直 线 l ： (3 4 )y mx m   ( )m R 恒有公共点 T. （1）求出T 点的坐标及圆 O 的方程； （2）圆 O 与 x 轴相交于 A、B 两点，圆内动点 P 使| |PA  、| |PO  、| |PB  成等比数列，求 PA PB  的范围； （3）设点T 关于 y 轴的对称点为 Q，直线 l 与圆 O 交于 M、N 两点，试求 Q Q tan QS M N M N     的最大值，并求出 S 取最大值时的直线 l 的方程. 18.某机床厂今年年初用 98 万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、 保养费用 12 万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加 4 万元，该机床 使用后，每年的总收入为 50 万元，设使用 x 年后数控机床的盈利额为 y 万元. （I）写出 y 与 x 之间的函数关系式； （II）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值） （III）使用若干年后，对机床的处理方案有两种： （1）当年平均盈利额达到最大值时，以 30 万元价格处理该机床； （2）当盈利额达到最大值时，以 12 万元价格处理该机床. 问用哪种方案处理较为合理？请说明理由. 19. （本题满分 16 分） 已知函数 1)( 23  cxbxxxf 在区间  2, 上单调递增，在区间     2 3,2 上单调递 减，若b 是非负整数，（1）求 )(xf 的表达式；（2）设 20  m ，若对任意的  mmtt ,2, 21  ， 不等式 mtftf 16)()( 21  恒成立，求实数 m 的最小值． 20．（本题满分 16 分） 已知正项数列 na 的首项 1a m ，其中 0 1m  ，函数 ( ) 1 xf x x   ． （1）若正项数列 na 满足 1 ( )( 1 )n na f a n n N   且 ，证明 1 na       是等差数列，并求出数 列 na 的通项公式；（2）若正项数列 na 满足 1 ( )( 1 )n na f a n n N   且 ，数列 nb 满 足 1 n n ab n   ，试证明： 1 2 1nb b b   ． 江苏省常州市常州中学 2011-2012 高三数学（文）最后冲刺综合练习 试卷（一） 参考答案： 1、真； 2、 m h ； 3、5； 4、 5,3 6k k       ； 5、 2 3 ； 6、； )2 1,0( 7、②④； 8、 12 2 2  yx ； 9、 3 10 0x y   ； 10、 4,4 ； 11、12 35 ；12、 1 ( 1)n n  ； 13、 3,  ； 14、③； 15. 证明：（1）连结 OC、OA , , .BO DO AB AD AO BD    , , .BO DO BC CD CO BD    在 AOC 中，由已知可得 1, 3.AO CO  而 2,AC  2 2 2 ,AO CO AC   90 ,oAOC  即 .AO OC ………５分 (2) ,AO OC AO BD  ， ,BD OC O AO  平面 BCD ………８分 (3) 连结 DG 并延长交 AC 于 H，则 1 3 DG DH  ， 在 DO 上取点 F，使 1 3 DF DO  ,连结 FG、OH / /DG DF FG OHDH DO   OH   平面AOC,FG 平面AOC / /GF AOC 平面 …14 分 16. 解：（Ⅰ） 2 2 2 2 2 2 3 3, cos2 2 4 a b ca b c ab C ab         2 1 cos 1 cos 7, sin 2 2 2 8 A BA B CA B C          ………………６分 （Ⅱ） ab，ba，cabcba 2 342,2 3 22222  且 又 2 2 32 , 2 4, 82a b ab ab ab ab       2 23 3 7cos , sin 1 cos 14 4 4C C C           ,7sin2 1   CabS ABC 当且仅当 22 ba 时，△ABC 面积取最大值，最大值为 7 . …………14 分 17. 解：（1）因为直线l ： (3 4 )y mx m   过定点 T（4，3）……… 2 分 由题意，要使圆O 的面积最小, 定点 T（4，3）在圆上， 所以圆O 的方程为 2 2 25x y  ；……… 5 分 （2）A（-5，0），B（5，0），设 0 0( , )P x y ，则 2 2 0 0 25x y  ……（1） 0 0( 5 , )PA x y    ， 0 0(5 , )PB x y   ， 由| |,| |,| |PA PO PB    成等比数列得， 2| | | | | |PO PA PB    ， 即 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0( 5) ( 5)x y x y x y       ，整理得： 2 2 0 0 25 2x y  , 即 2 2 0 0 25 2x y  ……（2） 由（1）（2）得： 2 0 250 4y  ， 2 2 2 0 0 0 25( 25) 2 2PA PB x y y       ， 25[ ,0)2PA PB     .10 分 （3） tan | | | | cos tanQM QN MQN QM QN MQN MQN           | | | | sin 2 MQNQM QN MQN S       ，……… 11 分 由题意，得直线l 与圆 O 的一个交点为 M（4，3），又知定点 Q（ 4 ，3）， 直线 MQl ： 3y  ，| | 8MQ  ，则当 (0, 5)N  时 MQNS 有最大值 32. ……… 14 分 即 tanQM QN MQN    有最大值为 32，此时直线 l 的方程为 2 5 0x y   .… 16 分 18.解：（I）依题得： 2 *( 1)50 12 4 98 2 40 98.( )2 x xy x x x x x N             （II）解不等式 22 40 98 0, :10 51 10 51x x x       得 *, 3 17, 3x N x    故从第 年开始盈利。 （III）（1） 98 982 40 40 (2 ) 40 2 2 98 12y x xx x x            当且仅当 982x x  时，即 x=7 时等号成立. 到 2015 年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利 12×7+30＝114 万元. （2） 2 22 40 98 ( 10) 102, 10 102y x x x        max当x＝ 时，y 故到 2018 年，盈利额达到最大值，工厂获利 102+12＝114 万元 因为盈利额达到的最大值相同，而方案Ⅰ所用的时间较短，故方案Ⅰ比较合理 19. 解： / 2( ) 3 2f x x bx c   函数f(x)在区间  2, 上单调递增，在区间     2 3,2 上单调递减， / ( ) 12 4 0,f x b c     即 4 12c b  ………………………………………3 分  / 3( ) 02f  ， 328 21 0, 4b b      b 是非负整数， 0b  ，………6 分 从而 12c  , 所以 3( ) 12 1f x x x   ……………………8 分 （2） / ( ) 3( 2)( 2)f x x x   , ( )f x 在 2,2 上单调递减，在 2, 上单调递增 0 2, 2 2 0m m      ( )f x 在  2,m m 上单调递减    max min( ) ( 2), ( ) ( )f x f m f x f m    …………………………………………12 分 依题意   max min( ) ( ) 16f x f x m  即 23 2 8 0m m   42 3m m   或 40 2, 23m m     所以， m 的最大值为 4 3 …………………16 分 20. 解：（1）依题目条件有 1 1 1 1 1( 1, )1 n n n n n aa n n Na a a        所以数列 1 na       是以 1 1 1 a m  为首项，1 为公差的等差数列， 所以 1 1 ( 1) 1 n na m     ，即 1 ( 1)n ma n m    .……………………………4 分 (2)由条件可知, 1 , 0( 1 )1 n n n n aa a n n Na     且 1 1 1 1 k ka a     , 即 1 1 1 1, 2,3, , , k k k na a       2 1 1 1 1,a a    3 2 1 1 1,a a   1 1 1 1, n na a     叠加可得 1 1 1 1 n na a    ,而 1 , ( 1, )1 ( 1)n ma m a n n Nn m      1 1 10 1, 1 , 1,2, , ,1 1 km a k nm kkm             1 1 1 , 1,2, , ,1 ( 1) 1 k k ab k nk k k k k          1 2 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) 1 12 2 3 1nb b b n n n             ,得证…………16 分.