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丰台区 2011 年高三年级第二学期统一练习（二） 数 学（文科）参考答案 2011.5 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D C A A B C 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9．Ⅲ 10．3 11． (0, ) 写成闭区间也给满分 12．15 13．12 14． 8， ( 1) 4 n n   注：两个空的填空题第一个空填对得 2 分，第二个空填对得 3 分． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共 13 分） 已知函数 2 1( ) sin 3sin cos 2f x x x x   ． （Ⅰ）求 ( )12f  的值； （Ⅱ）求函数 ( ), [0, ]2y f x x   的最小值，及取得最小值时的 x 的值． 解：（Ⅰ）∵ 2 1( ) sin 3sin cos 2f x x x x   3 1sin 2 cos22 2x x  sin(2 )6x   ， ………………5 分 ∴ 3( ) sin( 2 ) sin( )12 12 6 3 2f             ． ………………7 分 （Ⅱ）∵ 0 2x   ∴ 0 2x   ． ∴ 526 6 6x      ． ………………9 分 ∴ 1 sin(2 ) 12 6x     ， 即 1 ( ) 12 f x   ． ………………11 分 ∴ min 1( ) 2f x   此时 2 6 6x     ∴ 0x  ． ………………12 分 ∴当 0x  时， min 1( ) 2f x   ． ………………13 分 16.（本小题共 13 分） 已知梯形 ABCD 中， //BC AD ， 1 12BC AD  ， 3CD  ，G，E，F 分别是 AD，BC，CD 的中点， 且 2CG  ，沿直线 CG 将△CDG 翻折成△CD G ． （Ⅰ）求证：EF//平面 AD B ； （Ⅱ）求证：平面 CD G ⊥平面 AD G ． 证明：（Ⅰ）∵E，F 分别是 BC，CD 的中点，即 E，F 分别是 BC，C D 的中点， ∴EF 为△ D BC 的中位线． ∴EF// D B ． ………………2 分 又∵ EF  平面 AD B ， D B  平面 AD B ， ………………4 分 ∴EF // 平面 AD B ． ………………6 分 （Ⅱ）∵G 是 AD 的中点， 1 12BC AD  ，即 2AD  ， ∴ 1DG  ． 又∵ 3CD  ， 2CG  ， ∴在 DGC 中， 2 2 2DG GC DC  ∴ DG GC ． ………………9 分 ∴ GC D G ，GC AG ． ∵ AG ∩ D G =G ， ∴ GC  平面 AD G ． ………………12 分 又∵GC  平面 CD G ， ∴平面 CD G ⊥平面 AD G ． ………………13 分 17.（本小题共 13 分） 某校从高一年级学生中随机抽取 60 名学生，将其期中考 试的数学成绩（均为整数）分成六段 50,40 ， 60,50 ，…，  100,90 后得到如下频率分布直方图． （Ⅰ）求分数在 70,80 内的频率； （Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高一年级学生期中 考试数学成绩的平均分； （Ⅲ）用分层抽样的方法在 80 分以上（含 80 分）的学生中 抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从 中任意选取 2 人，求其中恰有 1 人的分数不低于 90 分的概率． F G E A B C D A B C E D F G 解：（Ⅰ）分数在 70,80 内的频率为： 1 (0.010 0.015 0.015 0.025 0.005) 10      1 0.7 0.3   ． ………………3 分 （Ⅱ）平均分为： 45 0.1 55 0.15 65 0.15 75 0.3 85 0.25 95 0.05 71x              ． ………………6 分 （Ⅲ）由题意， 80,90 分数段的人数为：0.25 60 15  人； ………………7 分  90,100 分数段的人数为：0.05 60 3  人； ………………8 分 ∵用分层抽样的方法在 80 分以上（含 80 分）的学生中抽取一个容量为 6 的样本， ∴ 80,90 分数段抽取 5 人，分别记为 A，B，C，D，E；  90,100 分数段抽取 1 人，记为 M． ………………9 分 因为从样本中任取 2 人，其中恰有 1 人的分数不低于 90 分， 则另一人的分数一定是在 80,90 分数段，所以只需在分数段 80,90 抽取的 5 人中确定 1 人． 设“从样本中任取 2 人，其中恰有 1 人的分数不低于 90 分为”事件 A ， ………………10 分 则基本事件空间包含的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)， (B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，(A，M)，(B，M)，(C，M)，(D，M)，(E，M)共 15 种． 事件 A 包含的基本事件有(A，M)，(B，M)，(C，M)，(D，M)，(E，M)5 种．………………12 分 ∴恰有 1 人的分数不低于 90 分的概率为 5 1( ) 15 3P A   ． ………………13 分 18.（本小题共 14 分） 已知函数 21( ) , ( 0)2 af x x ax    ． （Ⅰ）当 1x  时函数 ( )y f x 取得极小值，求 a 的值； （Ⅱ）求函数 ( )y f x 的单调区间． 解：（Ⅰ）函数 ( )f x 的定义域为 ( ,0) ∪ (0, ) ， ………………1 分 2( ) af x x x    ． ………………3 分 ∵ 1x  时函数 ( )y f x 取得极小值， ∴ (1) 0f   ． ………………4 分 ∴ 1a  ． ………………5 分 当 1a  时，在 (0,1) 内 ( ) 0f x  ，在 (1, ) 内 ( ) 0f x  ， ………………6 分 ∴ 1x  是函数 ( )y f x 的极小值点． ∴ 1a  有意义． ………………7 分 （Ⅱ） ( )f x 的定义域为 ( ,0) ∪ (0, ) ， 3 2 2( ) a x af x x x x     ． 令 ( ) 0f x  ，得 3x a ． ………………9 分 （ⅰ）当 0a  时， x 3( , )a 3 a 3( ,0)a (0, ) '( )f x  0   ( )f x  极小值   ………………11 分 （ⅱ）当 0a  时， x ( ,0) 3(0, )a 3 a 3( , )a  '( )f x   0  ( )f x   极小值  综上所述： ………………13 分 当 0a  时，函数 ( )y f x 的单调递减区间为 3( , )a ，单调递增区间为 3( ,0)a ， (0, ) ； 当 0a  时，函数 ( )y f x 的单调递减区间为 ( ,0) ， 3(0, )a ，单调递增区间为 3( , )a  ． ………………14 分 19.（本小题共 14 分） 已知椭圆 C 的长轴长为 2 2 ，一个焦点的坐标为(1,0)． （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）设直线 l：y=kx 与椭圆 C 交于 A，B 两点，点 P 为椭圆的右顶点． （ⅰ）若直线 l 斜率 k=1，求△ABP 的面积； （ⅱ）若直线 AP，BP 的斜率分别为 1k ， 2k ，求证： 1 2k k 为定值． （实际上，P 是不同于 A，B 的任一点，结论都成立．） 解：（Ⅰ）依题意椭圆的焦点在 x 轴上，且 1c  ， 2 2 2a  ， ………………1 分 ∴ 2a  ， 2 2 2 1b a c   ． ………………2 分 ∴椭圆 C 的标准方程为 2 2 12 x y  ． ………………4 分 （Ⅱ）（ⅰ） 2 22 2x y y x      ………………5 分 ∴ 6 3 6 3 x y     或 6 3 6 3 x y       ， ………………7 分 即 6 6( , )3 3A ， 6 6( , )3 3B   ， ( 2,0)P ． 所以 1 2 6 2 322 3 3ABPS     ． ………………9 分 （ⅱ）证明：设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ． 椭圆的右顶点为 ( 2,0)P 2 22 2x y y kx      ， 消 y 整理得 2 2(2 1) 2k x  ， 不妨设 x1>0>x2， ∴ 1 2 2 2 1x k   ， 2 2 2 2 1x k    ； 1 2 2 2 1y k k   ， 2 2 2 2 1y k k    ．……………12 分 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 ) 2AP BP y y y yk k x x x x x x         （ ………………13 分 2 2 2 2 2 1 22 2 1 k k k     2 2 2 1 2 4 2 2 k k      ∴ AP BPk k 为定值 1 2  ． ………………14 分 20.（本小题共 13 分） 已知数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且 2 nS n ．数列{ }nb 为等比数列，且首项 1 1b  ， 4 8b  ． （Ⅰ）求数列{ }na ，{ }nb 的通项公式； （Ⅱ）若数列{ }nc 满足 nn bc a ，求数列{ }nc 的前 n 项和为 nT ； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，问数列{ }nc 中是否存在三项，使得这三项成等差数列．若存在，求出此三 项，若不存在，说明理由． 解：（Ⅰ）∵ 数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且 2 nS n ， ∴ 当 2n  时， 2 2 1 ( 1) 2 1n n na S S n n n       ． 当 1n  时， 1 1 1a S  亦满足上式，故 2 1na n  ， ( *)nN ． ………………3 分 又 数列{ }nb 为等比数列，设公比为 q ， ∵ 1 1b  ， 3 4 1 8b b q  ， ∴ 2q  ． ∴ 12n nb  ( *)nN ． ………………6 分 （Ⅱ） 2 1 2 1n n n b nc a b     ． 1 2 3n nT c c c c    1 2(2 1) (2 1) (2 1)n       1 2(2 2 2 )n n    2(1 2 ) 1 2 n n  ． 所以 12 2n nT n   ． ………………9 分 （Ⅲ）假设数列{ }nc 中存在三项 , ,m k lc c c 成等差数列，不妨设 ( , , *)m k l m k l   N 因为 2 1n nc   ， 所以 m k lc c c  ，且三者成等差数列． 所以 2 k l mc c c  ，即 2(2 1) (2 1) (2 1)k m l     ， 2 2 2 2k m l   ， 即 2 2 2m k l k   ． （方法一） 因为 ( , , *)m k l m k l   N ， 所以 1l k  ， 0m k  ． 所以 2 2l k  ， 2 0m k  ， 所以 2 2 2m k l k   与 2 2 2m k l k   矛盾． 所以数列{ }nc 中不存在成等差数列的三项． ………………13 分 （方法二） 2 2 2 2k m l   2 (1 2 )m l m  所以 12 1 22 k l m m    ， 即 12 1 2k m l m    ． 所以 12 2 1k m l m    ． 因为 ( , , *)m k l m k l   N ， 所以 12k m  ， 2l m 均为偶数，而 1 为奇数， 所以等式不成立． 所以数列{ }nc 中不存在三项，使得这三项成等差数列． ………………13 分 （若用其他方法解题，请酌情给分）