西城2011,5文科.doc

北京市西城区 2011 年高三二模试卷 数学（文科） 2011.5 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项. 1.已知集合 {0,1}A  , { 1,0, 3}B a   ，且 A B ，则 a等于 （A）1 （B）0 （C） 2 （D） 3 2.已知 i是虚数单位，则复数 2z 1 2i+3i  所对应的点落在 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 3.已知 a b ，则下列不等式正确的是 （A） 1 1 a b  （B） 2 2a b （C）2 2a b   （D） 2 2a b 4.在 ABC 中，“ 0AB BC    ”是“ ABC 为直角三角形”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件 5．一个几何体的三视图如图所示，则其体积等于 1 正(主)视图 俯视图 2 2 2 侧(左)视图 2 1 （A）2 （B）1 （C） 1 6 （D） 2 3 6.函数 sin ( )y x x  R 的部分图象如图所示，设O为坐 标原点， P是图象的最高点， B是图象与 x轴的交点，则 tan OPB  x B Py O （A）10 （B）8 （C） 8 7 （D） 4 7 7．若 2a  ，则函数 3( ) 3 3f x x ax   在区间 (0, 2)上零点的个数为 （A）0 个 （B）1个 （C）2 个 （D）3个 8．已知点 ( 1,0), (1,0)A B 及抛物线 2 2y x ，若抛物线上点P满足 PA m PB ，则m 的最大值为 （A）3 （B）2 （C） 3 （D） 2 第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9. 已知 }{ na 为等差数列， 3 4 1a a  ，则其前6项之和为_____. 10．已知向量 (1, 3)a ， (0, 3) a b ，设a 与b 的夹角为 ，则  _____. 11.在 ABC 中，若 2B A ， : 1: 3a b  ，则 A  _____. 12．平面上满足约束条件 2, 0, 6 0 x x y x y         的点 ( , )x y 形成的区域为D，则区域D的面积为 ________；设区域D关于直线 2 1y x  对称的区域为 E，则区域D和区域 E中距离 最近的两点的距离为________. 13.定义某种运算， a b 的运算原理如右图所示. 则0 ( 1)   ______； 设 ( ) (0 ) (2 )f x x x x    .则 (1)f  ______. 14.数列 { }na 满足 1 1a  ， 1 1n n na a n      ，其中  R ， 1 2n  ，， ．给出下列命题： ①  R，对于任意 i *N ， 0ia  ； ②  R，对于任意 2( )i i  *N ， 1 0i ia a   ； ③  R，m *N ，当 i m （ i *N ）时总有 0ia  . 其中正确的命题是______.（写出所有正确命题的序号） a b 开始 输入 ,a b 否 结束 S b S a 输出 S 是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 15.（本小题满分 13 分） 已知函数 12 sin( ) 4 3( ) sin x f x x     . （Ⅰ）求函数 ( )f x 的定义域； （Ⅱ）若 ( ) 2f x  ，求 sin 2x的值. 16.（本小题满分 13 分） 如图，菱形 ABCD的边长为6， 60BAD   , AC BD O .将菱形 ABCD沿对角 线 AC折起，得到三棱锥 B ACD ,点M 是棱 BC的中点， 3 2DM  . （Ⅰ）求证： //OM 平面 ABD； （Ⅱ）求证：平面 ABC 平面 MDO； （Ⅲ）求三棱锥 M ABD 的体积. 17.（本小题满分 13 分） 由世界自然基金会发起的“地球 1 小时”活动，已发展成为最有影响力的环保活动之 一，今年的参与人数再创新高.然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑 问.对此，某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不 支持”态度的人数如下表所示： 支持 保留 不支持 20岁以下 800 450 200 20岁以上（含 20岁） 100 150 300 （Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从“支持”态度的 人中抽取了 45 人，求n的值； （Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取 5 人看成一个总体，从这 5 人中任意选取 2人，求至少有1人 20 岁以下的概率； （Ⅲ）在接受调查的人中，有 8 人给这项活动打出的分数如下:9.4，8.6，9.2，9.6， 8.7，9.3，9.0，8.2.把这 8 个人打出的分数看作一个总体，从中任取1个数，求该数与总 体平均数之差的绝对值超过 0.6 的概率. A B A B C C D M O D O 18.（本小题满分 14 分） 设函数 ( ) e xf x  ，其中 e为自然对数的底数. （Ⅰ）求函数 ( ) ( ) eg x f x x  的单调区间； （Ⅱ）记曲线 ( )y f x 在点 0 0( , ( ))P x f x （其中 0 0x  ）处的切线为 l， l与 x轴、 y 轴所围成的三角形面积为 S，求 S的最大值. 19.（本小题满分 14 分） 已知椭圆 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a b  ）的焦距为 2 3，离心率为 3 2 . （Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）设过椭圆顶点 (0, )B b ，斜率为 k的直线交椭圆于另一点D，交 x轴于点 E，且 , ,BD BE DE 成等比数列，求 2k 的值. 20.（本小题满分 13 分） 若函数 )(xf 对任意的 xR，均有 )(2)1()1( xfxfxf  ，则称函数 )(xf 具有 性质 P . （Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质 P，并说明理由. ① ( 1)xy a a  ； ② 3y x . （Ⅱ）若函数 )(xf 具有性质 P，且 (0) ( ) 0f f n  （ 2,n  n *N ）， 求证：对任意 {1,2,3, , 1}i n  有 ( ) 0f i  ； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意 [0, ]x n 均有 0)( xf .若成立给出证明，若 不成立给出反例. 北京市西城区 2011 年高三二模试卷 参考答案及评分标准 数学（文科） 2011.5 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C A D B B C 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9. 3 10. 120 11. 30 12. 1； 2 5 13. 1； 1 14. ①③ 注：12、13题第一问 2分，第二问 3分. 14题只选出一个正确的命题给 2分，选出错误的命题即得 0分. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标 准给分. 15.（本小题满分 13 分） 解：解：（Ⅰ）由题意， sin 0x  ， ……………2 分 所以， ( )x k k  Z . ……………3 分 函数 ( )f x 的定义域为 { , }x x k k  Z . ……………4 分 （Ⅱ）因为 ( ) 2f x  ，所以 12 sin( ) 2sin 4 3 x x    ， ……………5分 2 2 12( sin cos ) 2sin 2 2 3 x x x   ， ……………7分 1cos sin 3 x x  ， ……………9 分 将上式平方，得 11 sin 2 9 x  ， ……………12 分 所以 8sin 2 9 x  . ……………13分 16.（本小题满分 13 分） （Ⅰ）证明：因为点O是菱形 ABCD的对角线的交点， 所以O是 AC的中点.又点M 是棱 BC的中点， 所以OM 是 ABC 的中位线， //OM AB . ……………2分 因为OM 平面 ABD , AB 平面 ABD， 所以 //OM 平面 ABD . ……………4分 （Ⅱ）证明：由题意， 3OM OD  , 因为 3 2DM  ,所以 90DOM  ，OD OM . ……………6分 又因为菱形 ABCD，所以OD AC . …………7分 因为OM AC O , 所以OD 平面 ABC ， ……………8分 因为OD 平面MDO， 所以平面 ABC 平面MDO . ……………9分 （Ⅲ）解：三棱锥M ABD 的体积等于三棱锥D ABM 的体积. ……………10 分 由（Ⅱ）知，OD 平面 ABC， 所以 3OD  为三棱锥D ABM 的高. ……………11 分 ABM 的面积为 1 1 3 9 3sin120 6 3 2 2 2 2 BA BM       ， ……………12 分 所求体积等于 1 9 3 3 2ABMS OD   . ……………13 分 17.（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）由题意得 800 100 800 450 200 100 150 300 45 n        ， ……………2分 所以 100n  . ……………3 分 （Ⅱ）设所选取的人中，有m人 20岁以下，则 200 200 300 5 m   ，解得 2m  .………5 分 也就是 20岁以下抽取了 2人，另一部分抽取了 3人，分别记作 A1，A2；B1，B2，B3， 则从中任取 2人的所有基本事件为 (A1,B1)，(A1, B2)，(A1, B3)，(A2 ,B1)，(A2 ,B2)，(A2 ,B3)， (A1, A2)，(B1 ,B2)，(B2 ,B3)，(B1 ,B3)共 10个. ………7分 其中至少有 1人 20 岁以下的基本事件有 7 个：(A1, B1)，(A1, B2)，(A1, B3)，(A2 ,B1)， (A2 ,B2)，(A2 ,B3)，(A1, A2)， …………8分 所以从中任意抽取 2人，至少有 1人 20岁以下的概率为 7 10 . ……………9 分 （Ⅲ）总体的平均数为 1 (9.4 8.6 9.2 9.6 8.7 9.3 9.0 8.2) 9 8 x          ，………10 分 那么与总体平均数之差的绝对值超过 0.6的数只有 8.2， ……………12 分 A B C M O D 所以该数与总体平均数之差的绝对值超过 0.6的概率为 8 1 . ……………13 分 18.（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）由已知 ( ) e exg x x  ， 所以 ( ) e exg x   ， ……………2 分 由 ( ) e e 0xg x    ，得 1x  ， ……………3 分 所以，在区间 ( ,1) 上， ( ) 0g x  ， 函数 ( )g x 在区间 ( ,1) 上单调递减； ……………4 分 在区间 (1, ) 上， ( ) 0g x  ， 函数 ( )g x 在区间 (1, ) 上单调递增； ……………5 分 即函数 ( )g x 的单调递减区间为 ( ,1) ，单调递增区间为 (1, ) . （Ⅱ）因为 ( ) e xf x  ， 所以曲线 ( )y f x 在点 P处切线为 l： 0 0 0e e ( )x xy x x   . ……………7 分 切线 l与 x轴的交点为 0( 1,0)x  ，与 y轴的交点为 0 0 0(0,e e )x xx ， ……………9分 因为 0 0x  ，所以 0 02 0 0 0 0 1 1(1 )(1 )e (1 2 )e 2 2 x xS x x x x      ， ……………10 分 0 2 0 1 e ( 1) 2 xS x   ， ……………12 分 在区间 ( , 1)  上，函数 0( )S x 单调递增，在区间 ( 1,0) 上，函数 0( )S x 单调递减. ……………13 分 所以，当 0 1x   时， S有最大值，此时 2 e S  ， 所以， S的最大值为 2 e . ……………14 分 19、（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）由已知 2 2 3c  ， 3 2 c a  . ……………2 分 解得 2, 3a c  ， ……………4分 所以 2 2 2 1b a c   ， 椭圆的方程为 2 2 1 4 x y  . ……………5 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得过 B点的直线为 1y kx  ， x y O D B E 由 2 2 1, 4 1, x y y kx        得 2 2(4 1) 8 0k x kx   ， ……………6 分 所以 2 8 1 4D kx k    ，所以 2 2 1 4 1 4D ky k    ， ……………8分 依题意 0k  ， 1 2 k   . 因为 , ,BD BE DE 成等比数列，所以 2BE BD DE ， ……………9 分 所以 2 (1 )D Db y y  ，即 (1 ) 1D Dy y  ， ……………10 分 当 0Dy  时， 2 1 0D Dy y   ，无解， ……………11 分 当 0Dy  时， 2 1 0D Dy y   ，解得 1 5 2Dy   ， ……………12 分 所以 2 2 1 4 1 5 1 4 2 k k     ，解得 2 2 5 4 k   ， 所以，当 , ,BD BE DE 成等比数列时， 2 2 5 4 k   . ……………14 分 20.（本小题满分 13 分） （Ⅰ）证明：①函数 )1()(  aaxf x 具有性质 P . ……………1 分 1 1 1( 1) ( 1) 2 ( ) 2 ( 2)x x x xf x f x f x a a a a a a            ， 因为 1a ， 1( 2) 0xa a a    ， ……………3 分 即 )(2)1()1( xfxfxf  ， 此函数为具有性质 P . ②函数 3)( xxf  不具有性质P . ……………4分 例如，当 1x   时， ( 1) ( 1) ( 2) (0) 8f x f x f f        ， 2 ( ) 2f x   ， ……………5 分 所以， )1()0()2(  fff ， 此函数不具有性质 P . （Ⅱ）假设 )(if 为 (1), (2), , ( 1)f f f n  中第一个大于0的值， ……………6 分 则 0)1()(  ifif ， 因为函数 ( )f x 具有性质 P， 所以，对于任意 n *N ，均有 ( 1) ( ) ( ) ( 1)f n f n f n f n     ， 所以 0)1()()2()1()1()(  ififnfnfnfnf  ， 所以 ( ) [ ( ) ( 1)] [ ( 1) ( )] ( ) 0f n f n f n f i f i f i         ， 与 0)( nf 矛盾， 所以，对任意的 {1,2,3, , 1}i n  有 ( ) 0f i  . ……………9分 （Ⅲ）不成立. 例如 2 ( ) ( ) x x n x f x x x     为有理数， 为无理数. ……………10 分 证明：当 x为有理数时， 1, 1x x  均为有理数， 2 2 2( 1) ( 1) 2 ( ) ( 1) ( 1) 2 ( 1 1 2 ) 2f x f x f x x x x n x x x               ， 当 x为无理数时， 1, 1x x  均为无理数， 22)1()1()(2)1()1( 222  xxxxfxfxf 所以，函数 )(xf 对任意的 xR，均有 )(2)1()1( xfxfxf  ， 即函数 )(xf 具有性质 P . ……………12 分 而当 ],0[ nx （ 2n  ）且当 x为无理数时， 0)( xf . 所以，在（Ⅱ）的条件下，“对任意 [0, ]x n 均有 0)( xf ”不成立.……………13 分 （其他反例仿此给分. 如 ( ) ( ) 0 ( ) 1 x x f x     为有理数 为无理数 ， ( ) ( ) 0 ( ) 1 x x f x     为整数 为非整数 ， 2 ( ) ( ) 0 ( ) x x f x x     为整数 为非整数 ，等.）