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海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学（文） 答案及评分参考 2011．5 选择题 （共 40 分） 一、选择题（本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C B D D B C 非选择题 （共 110 分） 二、填空题（本大题共 6 小题,每小题 5 分. 共 30 分.有两空的题目，第一空 3 分，第二空 2 分） 9. y x  ， 2x   10. 6 11. 1  12. 2 13. 2， n 14. 1 ， (0) (1) ( 1)h h h   三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. （共 13 分） 解：（Ⅰ） xxxxf 2sincossin)(  ，  4sin4cos4sin)4( 2  f …………………1 分 2 22 2 2 2  （ ） （ ） ………………… 4 分 1 . ……………… …6 分 （Ⅱ） xxxxf 2sincossin)(  2 2cos12sin2 1 xx  …………………8 分 2 1)2cos2(sin2 1  xx 2 1)42sin(2 2  x ， ……………… …9 分 由 ]2,0[ x 得 ]4 3,4[42  x ， …………………11 分 所以，当 242  x ，即  8 3x 时， )(xf 取到最大值为 2 12  . ……………13 分 16. （共 13 分） 证明：（Ⅰ）由已知可得 1/ /AF B E ， 1AF B E ， 四边形 EAFB1 是平行四边形，  1// FBAE ， ……………1 分 AE  平面 FCB1 ， 1FB  平面 FCB1 ， / /AE 平面 FCB1 ； ……………2 分 又 ED, 分别是 1,BBBC 的中点，  CBDE 1// ， ……………3 分 ED  平面 FCB1 ， 1B C  平面 FCB1 ， / /ED 平面 FCB1 ； ……………4 分 ,AE DE E AE   平面 EAD ， ED  平面 EAD ， ……………5 分 平面 FCB1 ∥平面 EAD . ……………6 分 (Ⅱ) 三棱柱 111 CBAABC  是直三棱柱，  CC1 面 ABC ，又 AD 面 ABC ，  CC1 AD . ……………7 分 又直三棱柱 111 CBAABC  的所有棱长都相等， D 是 BC 边中点，  ABC 是正三角形， BC AD ， ……………8 分 而 1C C BC C ， 1CC  面 11BBCC ， BC  面 11BBCC ，  AD 面 11BBCC ， ……………9 分 D 1C F E B A C 1A 1B 故 1AD BC . ……………10 分 四边形 1 1BCC B 是菱形， CBBC 11  ， ……………11 分 而 CBDE 1// ，故 1DE BC , ……………12 分 由 DDEAD  AD ， 面 EAD ， ED  面 EAD ， 得 1BC 面 EAD . ……………13 分 17. （共 13 分） 解：（Ⅰ）由条形图可得，选择 A，B，C，D 四款套餐的学生共有 200 人， ……………1 分 其中选 A 款套餐的学生为 40 人， ……………2 分 由分层抽样可得从 A 款套餐问卷中抽取了 4200 4020  份. ……………4 分 设事件 M =“同学甲被选中进行问卷调查”， ……………5 分 则 .1040 4)( MP . ……………6 分 答：若甲选择的是 A 款套餐，甲被选中调查的概率是 0.1. (II) 由图表可知，选 A，B，C，D 四款套餐的学生分别接受调查的人数为 4，5，6，5. 其 中不满意的人数分别为 1，1，0，2 个 . ……………7 分 记对 A 款套餐不满意的学生是 a；对 B 款套餐不满意的学生是 b；对 D 款套餐不满意的学 生是 c，d. ……………8 分 设事件 N=“从填写不满意的学生中选出 2 人，至少有一人选择的是 D 款套餐” ……………9 分 从填写不满意的学生中选出 2 人，共有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6 个基本事件，……10 分 而事件 N 有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5 个基本事件， ……………11 分 则 6 5)( NP . ……………13 分 答：这两人中至少有一人选择的是 D 款套餐的概率是 6 5 . 18. （共 14 分） 解：（Ⅰ）因为 2'( ) 2f x x ax b   ， …………………2 分 由 '(0) '(2) 1f f  即 1 4 4 1 b a b      得 1 1 a b    ， …………………4 分 所 以 ( )f x 的 解 析 式 为 3 21( ) 3f x x x x   . …………………5 分 (Ⅱ)若 2b a  ，则 2'( ) 2 2f x x ax a    ， 24 4( 2)a a    ， …………………6 分 （1）当 0  ，即 1 2a   时， '( ) 0f x  恒成立，那么 ( )f x 在 R 上单调递增， 所以，当 1 2a   时， ( )f x 在区间 (0,1) 上单调递增； …………………8 分 （2）解法 1：当 0  ，即 2a  或 1a   时， 令 2'( ) 2 2 0f x x ax a     解得 2 1 2x a a a    ， 2 2 2x a a a    ……………… …9 分 列表分析函数 ( )f x 的单调性如下： x 1( , )x 1 2( , )x x 2( , )x  '( )f x    ( )f x    ………………… 10 分 要使函数 ( )f x 在区间 (0,1) 上单调递增， 只需 2 1 0 '(0) 0 a a a f        或 或 2 1 1 '(1) 0 a a a f        或 ， 解 得 2 1a    或 2 3a  . …………………13 分 解法 2：当 0  ，即 2a  或 1a   时， 因为 2'( ) 2 2f x x ax a    的对称轴方程为 x a …………………9 分 要使函数 ( )f x 在区间 (0,1) 上单调递增， 需 1 '(0) 0 a f     或 2 '(1) 0 a f    解 得 2 1a    或 2 3a  . …………………13 分 综上：当 [ 2,3]a   时，函数 ( )f x 在区间 (0,1) 上单调递增. …………………14 分 19. （共 14 分） 解：(Ⅰ) 2 2,22  a cec ， ……………1 分 2,1  ac ， 122  cab ， …………4 分 椭 圆 C 的 标 准 方 程 是 12 2 2  yx . ………………5 分 (Ⅱ)由已知可得 )0,1(),1,0( FB ， …………………6 分 设 ),( 00 yxA ，则 )1,1(),1,( 00  BFyxBA ，  2 BFBA ， 2)1( 00  yx ， 即 00 1 yx  ， …………………8 分 代入 12 2 0 2 0  yx ，得：      1 0 0 0 y x 或        3 1 3 4 0 0 y x ， 即 )1,0( A 或 )3 1,3 4(A . ………………10 分 当 A 为 )1,0(  时， 1 OFOBOA , ABF 的外接圆是以 O 为圆心，以 1 为半径的圆，该外接圆的方程为 122  yx ； ………………12 分 当 A 为 )3 1,3 4( 时， 1,1  AFBF kk ，所以 ABF 是直角三角形，其外接圆是以 线段 BA 为直径的圆.由线段 BA 的中点 )3 2,3 2( 以及 3 52BA 可得 ABF 的外 接 圆 的 方 程 为 9 5)3 2()3 2( 22  yx . ………………14 分 综上所述， ABF 的外接圆的方程为 122  yx 或 9 5)3 2()3 2( 22  yx . 20. （共 13 分） 解：(Ⅰ)由变换T 的定义可得 1 :0,1,1,0,0,1A ………………2 分 0 :1,0,1A ……………… 4 分 (Ⅱ) 数列 0A 中连续两项相等的数对至少有 10 对 ………………5 分 证明：对于任意一个“0-1 数列” 0A ， 0A 中每一个 1 在 2A 中对应连续四项 1,0,0,1，在 0A 中每一个 0 在 2A 中对应的连续四项为 0,1,1,0， 因此，共有 10 项的“0-1 数列” 0A 中的每一个项在 2A 中都会对应一个连续相等的数对， 所以 2A 中至少有 10 对连续相等的数对. ………………8 分 (Ⅲ) 设 kA 中有 kb 个 01 数对， 1kA  中的 00 数对只能由 kA 中的 01 数对得到，所以 1k kl b  ， 1kA  中的 01 数对有两个产生途径：①由 kA 中的 1 得到； ②由 kA 中 00 得到， 由变换T 的定义及 0 :0,1A 可得 kA 中 0 和 1 的个数总相等，且共有 12k 个， 所以 1 2k k kb l   ， 所以 2 2k k kl l   ， 由 0 :0,1A 可得 1 :1,0,0,1A ， 2 :0,1,1,0,1,0,0,1A 所以 1 21, 1l l  ， 当 3k  时， 若 k 为偶数， 2 2 2k k kl l    , 4 2 4 2k k kl l     ,  2 4 2 2l l  . 上述各式相加可得 1 2 2 4 2 1(1 4 ) 11 2 2 2 (2 1)1 4 3 k k k kl           ， 经检验， 2k  时，也满足 1 (2 1)3 k kl   . 若 k 为奇数， 2 2 2k k kl l    4 2 4 2k k kl l      3 1 2l l  . 上述各式相加可得 1 2 3 2 2(1 4 ) 11 2 2 2 1 (2 1)1 4 3 k k k kl            ， 经检验， 1k  时，也满足 1 (2 1)3 k kl   . 所以 1 (2 1),3 1 (2 1),3 k k k k l k      为奇数 为偶数 . ………………13 分 说明：其它正确解法按相应步骤给分.