山东省淄博市2014年中考数学试题（word版，含解析）.doc

山东省潍坊市 2014 年中考数学试卷 一、选择题 1．（3分）（2014•潍坊） 的立方根是（ ） A．﹣1 B．0 C．1 D．±1 考点： 立方根 分析： 根据开立方运算，可得一个数的立方根． 解答： 解： 的立方根是 1， 故选：C． 点评： 本题考查了立方根，先求幂，再求立方根． 2．（3分）（2014•潍坊）下列标志中不是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 考点： 中心对称图形 分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 解答： 解：A、是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是中心对称图形，故此选项不合题意； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意； D、是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 点评： 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形 的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心 对称图形是要寻找对称中心，旋转 180度后与原图重合． 3．（3分）（2014•潍坊）下列实数中是无理数的是（ ） A． B．2﹣2 C． 5. D．sin45° 考点： 无理数 分析： 根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 解答： 解：A、B、C、是有理数； D、是无限不循环小数，是无理数； 故选：D． 点评： 本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数． 4．（3分）（2014•潍坊）一个几何体的三视图如图，则该几何体是（ ） A． B． C． D． 考点： 由三视图判断几何体 分析： 由空间几何体的三视图可以得到空间几何体的直观图． 解答： 解：由三视图可知，该组合体的上部分为圆台，下部分为圆柱， 故选：D． 点评： 本题只要考查三视图的识别和判断，要求掌握常见空间几何体的 三视图，比较基础． 5．（3分）（2014•潍坊）若代数式 有意义，则实数 x的取值范围是（ ） A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且 x≠3 C．x＞﹣1 D．x＞﹣1且 x≠3 考点： 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件 分析： 根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0列式计算即可得解． 解答： 解：由题意得，x+1≥0且 x﹣3≠0， 解得 x≥﹣1且 x≠3． 故选 B． 点评： 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被 开方数是非负数． 6．（3分）（2014•潍坊）如图，▱ABCD的顶点 A、B、D在⊙O上，顶点 C在⊙O的直径 BE上，连接 AE，∠E=36°，则∠ADC的度数是（ ） A．44° B．54° C．72° D．53° 考点： 圆周角定理；平行四边形的性质 分析： 首先根据直径所对的圆周角为直角得到∠BAE=90°，然后利用四边形 ABCD 是平行四边形，∠E=36°，得到∠BEA=∠DAE=36°，从而得到∠BAD=126°， 求得到∠ADC=54°． 解答： 解：∵BE是直径， ∴∠BAE=90°， ∵四边形 ABCD是平行四边形，∠E=36°， ∴∠BEA=∠DAE=36°， ∴∠BAD=126°， ∴∠ADC=54°， 故选 B． 点评： 本题考查了圆周角定理及平行四边形的性质，解题的关键是认真审题，发现 图形中的圆周角． 7．（3分）（2014•潍坊）若不等式组 无解，则实数 a的取值范围是（ ） A．a≥﹣1 B．a＜﹣1 C．a≤1 D．a≤﹣1 考点： 解一元一次不等式组 分析： 分别求出各不等式的解集，再与已知不等式组无解相比较即可得出 a的取值 范围． 解答： 解： ，由①得，x≥﹣a，由②得，x＜1， ∵不等式组无解， ∴﹣a≥1，解得 a≤﹣1． 故选 D． 点评： 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大 中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 8．（3分）（2014•潍坊）如图，已知矩形 ABCD的长 AB为 5，宽 BC为 4，E是 BC边上 的一个动点，AE⊥EF，EF交 CD于点 F．设 BE=x，FC=y，则点 E从点 B运动到点 C时， 能表示 y关于 x的函数关系的大致图象是（ ） A． B． C． D． 考点： 动点问题的函数图象 分析： 利用三角形相似求出 y关于 x的函数关系式，根据函数关系式进行分 析求解． 解答： 解：∵BC=4，BE=x，∴CE=4﹣x． ∵AE⊥EF，∴∠AEB+∠CEF=90°， ∵∠CEF+∠CFE=90°， ∴∠AEB=∠CFE． 又∵∠B=∠C=90°， ∴Rt△AEB∽Rt△EFC， ∴ ，即 ， 整理得：y= （4x﹣x2）=﹣ （x﹣2）2+ ∴y与 x的函数关系式为：y=﹣ （x﹣2）2+ （0≤x≤4） 由关系式可知，函数图象为一段抛物线，开口向下，顶点坐标为（2， ），对称轴为直线 x=2． 故选 A． 点评： 本题考查了动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解 题关键． 9．（3分）（2014•潍坊）等腰三角形一条边的边长为 3，它的另两条边的边长是关于 x的 一元二次方程 x2﹣12x+k=0 的两个根，则 k的值是（ ） A．27 B．36 C．27或 36 D．18 考点： 等腰三角形的性质；一元二次方程的解 分析： 由于等腰三角形的一边长 3为底或腰不能确定，故应分两种情况进行 讨论：①当 3为腰时，其他两条边中必有一个为 3，把 x=3代入原方程 可求出 k的值，进而求出方程的另一根，再根据三角形的三边关系判 断是否符合题意即可；②当 3为底时，则其他两条边相等，即方程有 两个相等的实数根，由△=0可求出 k的值，再求出方程的两个根进行 判断即可． 解答： 解：分两种情况： ①当其他两条边中有一个为 3时，将 x=3 代入原方程， 得 32﹣12×3+k=0，k=27． 将 k=27代入原方程，得 x2﹣12x+27=0， 解得 x=3 或 9． 3，3，9不能够组成三角形，不符合题意舍去； ②当 3为底时，则其他两条边相等，即△=0， 此时 144﹣4k=0，k=36． 将 k=36代入原方程，得 x2﹣12x+36=0， 解得 x=6． 3，6，6能够组成三角形，符合题意． 故 k的值为 36． 故选 B． 点评： 本题考查的是等腰三角形的性质，一元二次方程根的判别式及三角形 的三边关系，在解答时要注意分类讨论，不要漏解． 10．（3分）（2014•潍坊）如图是某市 7月 1日至 10日的空气质量指数趋势图，空气质量 指数小于 100表示空气质量优良，空气质量指数大于 200表示空气重度污染，某人随机选择 7月 1日至 7月 8日中的某一天到达该市，并连续停留 3天，则此人在该市停留期间有且仅 有 1天空气质量优良的概率是（ ） A． B． C． D． 考点： 概率公式；折线统计图 分析： 先求出 3天中空气质量指数的所有情况，再求出有一天空气质量优 良的情况，根据概率公式求解即可． 解答： 解：∵由图可知，当 1号到达时，停留的日子为 1、2、3号，此时 为（86，25，57），3天空气质量均为优； 当 2号到达时，停留的日子为 2、3、4号，此时为（25，57，143）， 2天空气质量为优； 当 3号到达时，停留的日子为 3、4、5号，此时为（57，143，220）， 1天空气质量为优； 当 4号到达时，停留的日子为 4、5、6号，此时为（143，220，160）， 空气质量为污染； 当 5号到达时，停留的日子为 5、6、7号，此时为（220，160，40）， 1天空气质量为优； 当 6号到达时，停留的日子为 6、7、8号，此时为（160，40，217）， 1天空气质量为优； ∴此人在该市停留期间有且仅有 1天空气质量优良的概率= = ． 故选 C． 点评： 本题考查的是概率公式，熟知随机事件 A的概率 P（A）=事件 A 可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关 键． 11．（3分）（2014•潍坊）已知一次函数 y1=kx+b（k＜0）与反比例函数 y2= （m≠0）的 图象相交于 A、B两点，其横坐标分别是﹣1和 3，当 y1＞y2时，实数 x的取值范围是（ ） A．x＜﹣1或 0＜x ＜3 B．﹣1＜x＜0或 0 ＜x＜3 C．﹣1＜x＜0或 x ＞3 D．x＜x＜3 考点： 反比例函数与一次函数的交点问题． 分析： 根据观察图象，可得直线在双曲线上方的部分，可得答案． 解答： 解：如图： 直线在双曲线上方的部分，故答案为：x＜﹣1或 0＜x＜3， 故选：A． 点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，直线在双曲线上 方的部分是不等式的解． 12．（3分）（2014•潍坊）如图，已知正方形 ABCD，顶点 A（1，3）、B（1，1）、C（3， 1）．规定“把正方形 ABCD先沿 x轴翻折，再向左平移 1个单位”为一次变换，如此这样， 连续经过 2014次变换后，正方形 ABCD的对角线交点M的坐标变为（ ） A．（﹣2012，2） B．（﹣2012，﹣2）C．（﹣2013，﹣2）D．（﹣2013，2） 考点： 翻折变换（折叠问题）；正方形的性质；坐标与图形变化-平移 专题： 规律型． 分析： 首先由正方形 ABCD，顶点 A（1，3）、B（1，1）、C（3，1），然 后根据题意求得第 1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点 的坐标，即可得规律：第 n次变换后的点M的对应点的为：当 n为奇 数时为（2﹣n，﹣2），当 n为偶数时为（2﹣n，2），继而求得把正 方形 ABCD连续经过 2014次这样的变换得到正方形 ABCD的对角线 交点M的坐标． 解答： 解：∵正方形 ABCD，顶点 A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）． ∴对角线交点M的坐标为（2，2）， 根据题意得：第 1次变换后的点M的对应点的坐标为（2﹣1，﹣2）， 即（1，﹣2）， 第 2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2﹣2，2），即（0，2）， 第 3次变换后的点 B的对应点的坐标为（2﹣3，﹣2），即（﹣1，﹣2）， 第 n次变换后的点 B的对应点的为：当 n为奇数时为（2﹣n，﹣2）， 当 n为偶数时为（2﹣n，2）， ∴连续经过 2014次变换后，正方形 ABCD的对角线交点M的坐标变 为（﹣2012，2）． 故选：A． 点评： 此题考查了对称与平移的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注 意得到规律：第 n次变换后的对角线交点M的对应点的坐标为：当 n 为奇数时为（2﹣n，﹣2），当 n为偶数时为（2﹣n，2）是解此题的 关键． 二、填空题 13．（3分）（2014•潍坊）分解因式：2x（x﹣3）﹣8= 2（x﹣4）（x+1） ． 考点： 因式分解-十字相乘法等 分析： 首先去括号，进而整理提取 2，即可利用十字相乘法分解因式． 解答： 解：2x（x﹣3）﹣8 =2x2﹣6x﹣8 =2（x2﹣3x﹣4） =2（x﹣4）（x+1）． 故答案为：2（x﹣4）（x+1）． 点评： 此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，熟练掌握十 字相乘法分解因式是解题关键． 14．（3分）（2014•潍坊）计算：82014×（﹣0.125）2015= ﹣0.125 ． 考点： 幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法 分析： 根据同底数幂的乘法，可化成指数相同的幂的乘法，根据积的乘方， 可得答案． 解答： 解：原式=82014×（﹣0.125）2014×（﹣0.125） =（﹣8×0.125）2014×（﹣0.125）=﹣0.125， 故答案为：﹣0.125． 点评： 本题考查了积的乘方，先化成指数相同的幂的乘法，再进行积的乘方 运算． 15．（3分）（2014•潍坊）如图，两个半径均为 的⊙O1与⊙O2相交于 A、B两点，且 每个圆都经过另一个圆的圆心，则图中阴影部分的面积为 2π﹣3 ．（结果保留π） 考点： 扇形面积的计算；等边三角形的判定与性质；相交两圆的性质 分析： 根据题意得出一部分弓形的面积，得出 = ﹣ S 进而得出即可． 解答： 解：连接 O1O2，过点 O1作 O1C⊥AO2于点 C， 由题意可得：AO1=O1O2=AO2= ， ∴△AO1O2是等边三角形， ∴CO1=O1O2sin60°= ， ∴S = × × = ， = = ， ∴ = ﹣S = ﹣ ， ∴图中阴影部分的面积为：4（ ﹣ ）=2π﹣3 ． 故答案为：2π﹣3 ． 点评： 此题主要考查了扇形的面积公式应用以及等边三角形的判定与性质，熟练 记忆扇形面积公式是解题关键． 16．（3分）（2014•潍坊）已知一组数据﹣3，x，﹣2，3，1，6的中位数为 1，则其方差 为 9 ． 考点： 方差；中位数 专题： 计算题． 分析： 由于有 6个数，则把数据由小到大排列时，中间有两个数中有 1，而数据 的中位数为 1，所以中间两个数的另一个数也为 1，即 x=1，再计算数据的 平均数，然后利用方差公式求解． 解答： 解：∵数据﹣3，x，﹣2，3，1，6的中位数为 1， ∴ =1，解得 x=1， ∴数据的平均数= （﹣3﹣2+1+1+3+6）=1， ∴方差= [（﹣3﹣1）2+（﹣2﹣1）2+（1﹣1）2+（1﹣1）2+（3﹣1）2+（6 ﹣1）2]=9． 故答案为 5． 点评： 本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数， 叫做这组数据的方差．方差通常用 s2来表示，计算公式是：s2= [（x1﹣x¯） 2+（x2﹣x¯）2+…+（xn﹣x¯）2]；方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方 差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均 值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了中位数． 17．（3分）（2014•潍坊）如图，某水平地面上建筑物的高度为 AB，在点 D和点 F处分 别竖立高是 2米的标杆 CD和 EF，两标杆相隔 50米，并且建筑物 AB、标杆 CD和 EF在同 一竖直平面内，从标杆 CD后退 2米到点 G处，在 G处测得建筑物顶端 A和标杆顶端 C在 同一条直线上；从标杆 FE后退 4米到点 H处，在 H处测得建筑物顶端 A和标杆顶端 E在 同一条直线上，则建筑物的高是 50 米． 考点： 相似三角形的应用 分析： 根据题意可得出△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，再根据相似三角形的 对应边成比例即可得出结论． 解答： 解：∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH， ∴AB∥CD∥EF， ∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH， ∴ = ， = ， ∵CD=DG=EF=2m，DF=50m，FH=4m， ∴ = ①， = ②， ∴ = ，解得 BD=50m， ∴ = ，解得 AB=52m． 故答案为：52． 点评： 本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答 此题的关键． 18．（3分）（2014•潍坊）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈， 周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把 枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为 20尺，底面周长为 3尺，有葛藤自 点 A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 B处，则问题中葛藤的最短长度是 25 尺． 考点： 平面展开-最短路径问题 分析： 这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可 转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出． 解答： 解：如图，一条直角边（即枯木的高）长 20尺， 另一条直角边长 5×3=15（尺）， 因此葛藤长为 =25（尺）． 故答案为 25． 点评： 本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题 是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解． 三、解答题 19．（9分）（2014•潍坊）今年我市把男生“引体向上”项目纳入学业水平体育考试内容， 考试前某校为了解该项目的整体水平，从九年级 220名男生中，随机抽取 20名进行“引体向 上”测试，测试成绩（单位：个）如图 1： 其中有一数据被污损，统计员只记得 11.3是这组样本数据的平均数． （1）求该组样本数据中被污损的数据和这组数据的极差； （2）请补充完整下面的频数、频率分布表和频数分布直方图（如图 2）； 频数、频率分布表： 测试成绩/个 频数 频率 1～5 2 0.10 6～10 6 0.30 11～15 9 0.45 16～20 3 0.15 合计 20 1.00 （3）估计在学业水平体育考试中该校九年级有多少名男生能完成 11个以上（包含 11个）“引 体向上”？ 考点： 频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数与频率；频数（率）分布表． 分析： （1）直接利用平均数求法得出 x的值，进而求出极差即可； （2）直接利用已知数据得出各组频数，进而求出频率，填表和补全条形图 即可； （3）利用样本估计总体的方法得出，能完成 11个以上的是后两组所占百分 比，进而得出九年级男生能完成 11个以上（包含 11个）“引体向上”的人数． 解答： 解：（1）设被污损的数据为 x， 由题意知： =11.3， 解得：x=19， 根据极差的定义，可得该组数据的极差是：19﹣3=16， （2）由样本数据知，测试成绩在 6～10个的有 6名，该组频数为 6，相应频 率是： =0.30， 测试成绩在 11～15个的有 9名，该组频数为 9，相应频率是： =0.45， 补全的频数、频率分布表和频数分布直方图如下所示： 测试成绩/个 频数 频率 1～5 2 0.10 6～10 6 0.30 11～15 9 0.45 16～20 3 0.15 合计 20 1.00 （3）由频率分布表可知，能完成 11个以上的是后两组，（0.45+0.15） ×100%=60%， 由此估计在学业水平体育考试中能完成 11个以上“引体向上”的男生数是： 220×60%=132（名）． 点评： 此题主要考查了频数分布直方表以及条形统计图等知识，正确掌握相关定义 求出各组频率是解题关键． 20．（10分）（2014•潍坊）如图，在梯形 ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，以 AB为直径 作⊙O，恰与另一腰 CD相切于点 E，连接 OD、OC、BE． （1）求证：OD∥BE； （2）若梯形 ABCD的面积是 48，设 OD=x，OC=y，且 x+y=14，求 CD的长． 考点： 切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；梯形 分析： （1）连接 OE，证出 RT△OAD≌RT△OED，利用同弦对圆周角是圆心角的 一半，得出∠AOD=∠ABE，利用同位角相等两直线平行得到 OD∥BE， （2）由 RT△COE≌RT△COB，得到△COD 是直角三角形，利用 S 梯形 ABCD=2S△COD， 求出 xy=48，结合 x+y=14，求出 CD． 解答： （1）证明：如图，连接 OE， ∵CD是⊙O的切线， ∴OE⊥CD， 在 Rt△OAD 和 Rt△OED， ∴Rt△OAD≌Rt△OED（SAS） ∴∠AOD=∠EOD= ∠AOE， 在⊙O中，∠ABE= ∠AOE， ∴∠AOD=∠ABE， ∴OD∥BE． （2）解：与（1）同理可证：Rt△COE≌Rt△COB， ∴∠COE=∠COB= ∠BOE， ∵∠DOE+∠COE=90°， ∴△COD是直角三角形， ∵S△DEO=S△DAO，S△OCE=S△COB， ∴S 梯形ABCD=2（S△DOE+S△COE）=2S△COD=OC•OD=48，即 xy=48， 又∵x+y=14， ∴x2+y2=（x+y）2﹣2xy=142﹣2×48=100， 在 RT△COD中，CD= = = =10， ∴CD=10． 点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定 理、圆周角定理和全等三角形的判定与性质．关键是综合运用，找准线段及 角的关系． 21．（10分）（2014•潍坊）如图，某海域有两个海拔均为 200米的海岛 A和海岛 B，一勘 测飞机在距离海平面垂直高度为 1100米的空中飞行，飞行到点 C处时测得正前方一海岛顶 端 A的俯角是 45°，然后沿平行于 AB的方向水平飞行 1.99×104米到达点 D处，在 D处测 得正前方另一海岛顶端 B的俯角是 60°，求两海岛间的距离 AB． 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 分析： 首先过点 A作 AE⊥CD于点 E，过点 B作 BF⊥CD于点 F，易得四边形 ABFE 为矩形，根据矩形的性质，可得 AB=EF，AE=BF．由题意可知：AE=BF=1100 ﹣200=900米，CD=1.99×104米，然后分别在 Rt△AEC与 Rt△BFD中，利用 三角函数即可求得 CE与 DF的长，继而求得两海岛间的距离 AB． 解答： 解：过点 A作 AE⊥CD于点 E，过点 B作 BF⊥CD于点 F， ∵AB∥CD， ∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°， ∴四边形 ABFE为矩形． ∴AB=EF，AE=BF． 由题意可知：AE=BF=1100﹣200=900米，CD=1.99×104米=19900米． 在 Rt△AEC中，∠C=60°，AE=900米． ∴CE= = =300 （米）． 在 Rt△BFD 中，∠BDF=45°，BF=900米． ∴DF= = =900（米）． ∴AB=EF=CD+DF﹣CE=19900+300 ﹣900=19000+300 （米）． 答：两海岛间的距离 AB为（19000+300 ）米． 点评： 此题考查了俯角的定义、解直角三角形与矩形的性质．注意能借助俯角构造 直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用． 22．（12分）（2014•潍坊）如图 1，在正方形 ABCD中，E、F分别为 BC、CD的中点， 连接 AE、BF，交点为 G． （1）求证：AE⊥BF； （2）将△BCF沿 BF对折，得到△BPF（如图 2），延长 FP到 BA的延长线于点 Q，求 sin∠BQP 的值； （3）将△ABE绕点 A逆时针方向旋转，使边 AB正好落在 AE上，得到△AHM（如图 3）， 若 AM和 BF相交于点 N，当正方形 ABCD的面积为 4时，求四边形 GHMN的面积． 考点： 四边形综合题 分析： （1）运用 Rt△ABE≌Rt△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°求证； （2）△BCF沿 BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出 QF=QB，解出 BP，QP求解； （3）先求出正方形的边长，再根据面积比等于相似边长比的平方，求得 S△AGN= ，再利用 S 四边形GHMN=S△AHM﹣S△AGN求解． 解答： （1）证明：如图 1，∵E，F分别是正方形 ABCD边 BC，CD的中点， ∴CF=BE， 在 Rt△ABE和 Rt△BCF中， ∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS）， ∠BAE=∠CBF， 又∵∠BAE+∠BEA=90°， ∴∠CBF+∠BEA=90°， ∴∠BGE=90°， ∴AE⊥BF． （2）解：如图 2，根据题意得，FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90° ∵CD∥AB， ∴∠CFB=∠ABF， ∴∠ABF=∠PFB， ∴QF=QB， 令 PF=k（k＞0），则 PB=2k 在 Rt△BPQ中，设 QB=x， ∴x2=（x﹣k）2+4k2， ∴x= ， ∴sin∠BQP= = = ． （3）解：∵正方形 ABCD的面积为 4， ∴边长为 2， ∵∠BAE=∠EAM，AE⊥BF， ∴AN=AB=2， ∵∠AHM=90°， ∴GN∥HM， ∴ = ， ∴ = ， ∴S△AGN= ， ∴S 四边形GHMN=S△AHM﹣S△AGN=1﹣ = ， ∴四边形 GHMN的面积是 ． 点评： 本题主要考查了四边形的综合题，解决的关键是明确三角形翻转后边的大 小不变，找准对应边，角的关系求解． 23．（12分）（2014•潍坊）经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度 v（千米/小时）是车 流密度 x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到 220辆/千米时，造成堵塞，此时车流 速度为 0千米/小时；当车流密度不超过 20辆/千米时，车流速度为 80千米/小时，研究表明： 当 20≤x≤220时，车流速度 v是车流密度 x的一次函数． （1）求大桥上车流密度为 100辆/千米时的车流速度； （2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于 40千米/小时且小于 60千米/小时，应 控制大桥上的车流密度在什么范围内？ （3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度× 车流密度．求大桥上车流量 y的最大值． 考点： 一次函数的应用 分析： （1）当 20≤x≤220时，设车流速度 v与车流密度 x的函数关系式为 v=kx+b，根 据题意的数量关系建立方程组求出其解即可； （2）由（1）的解析式建立不等式组求出其解即可； （3）设车流量 y与 x之间的关系式为 y=vx，当 x＜20和 20≤x≤220时分别表示 出函数关系由函数的性质就可以求出结论． 解答： 解：（1）设车流速度 v与车流密度 x的函数关系式为 v=kx+b，由题意，得 ， 解得： ， ∴当 20≤x≤220时，v=﹣ x+88； （2）由题意，得 ， 解得：70＜x＜120． ∴应控制大桥上的车流密度在 70＜x＜120范围内； （3）设车流量 y与 x之间的关系式为 y=vx， 当 0≤x≤20时 y=80x， ∴k=80＞0， ∴y随 x的增大而增大， ∴x=20时，y最大=1600； 当 20≤x≤220时 y=（﹣ x+88）x=﹣ （x﹣110）2+4840， ∴当 x=110时，y最大=4840． ∵4840＞1600， ∴当车流密度是 110辆/千米，车流量 y取得最大值时 4840辆/小时． 点评： 本题考查了车流量=车流速度×车流密度的运用，一次函数的解析式的运用，一元 一次不等式组的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 24．（13分）（2014•潍坊）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 y轴交于点 C（0，4）， 与 x轴交于点 A和点 B，其中点 A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴 x=1与抛物线交 于点 D，与直线 BC交于点 E． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 F是直线 BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点 F使四边形 ABFC 的面积 为 17，若存在，求出点 F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）平行于 DE的一条动直线 l与直线 BC相交于点 P，与抛物线相交于点 Q，若以 D、E、 P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点 P的坐标． 考点： 二次函数综合题 分析： （1）先把 C（0，4）代入 y=ax2+bx+c，得出 c=4①，再由抛物线的对称 轴 x=﹣ =1，得到 b=﹣2a②，抛物线过点 A（﹣2，0），得到 0=4a﹣ 2b+c③，然后由①②③可解得，a=﹣ ，b=1，c=4，即可求出抛物线的 解析式为 y=﹣ x2+x+4； （2）假设存在满足条件的点 F，连结 BF、CF、OF，过点 F作 FH⊥x 轴于点 H，FG⊥y轴于点 G．设点 F的坐标为（t，﹣ t2+t+4），则 FH= ﹣ t2+t+4，FG=t，先根据三角形的面积公式求出 S△OBF= OB•FH=﹣ t2+2t+8，S△OFC= OC•FG=2t，再由 S 四边形ABFC=S△AOC+S△OBF+S△OFC， 得到 S 四边形ABFC=﹣t2+4t+12．令﹣t2+4t+12=17，即 t2﹣4t+5=0，由△=（﹣ 4）2﹣4×5=﹣4＜0，得出方程 t2﹣4t+5=0无解，即不存在满足条件的点 F； （3）先运用待定系数法求出直线 BC的解析式为 y=﹣x+4，再求出抛物 线 y=﹣ x2+x+4的顶点 D（1， ），由点 E在直线 BC上，得到点 E（1， 3），于是 DE= ﹣3= ．若以 D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边 形，因为 DE∥PQ，只须 DE=PQ，设点 P的坐标是（m，﹣m+4），则 点 Q的坐标是（m，﹣ m2+m+4）．分两种情况进行讨论：①当 0＜m ＜4时，PQ=（﹣ m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣ m2+2m，解方程﹣ m2+2m= ，求出 m的值，得到 P1（3，1）；②当 m＜0或 m＞4时， PQ=（﹣m+4）﹣（﹣ m2+m+4）= m2﹣2m，解方程 m2﹣2m= ，求 出 m的值，得到 P2（2+ ，2﹣ ），P3（2﹣ ，2+ ）． 解答： 解：（1）∵抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）过点 C（0，4），∴c=4①． ∵对称轴 x=﹣ =1，∴b=﹣2a②． ∵抛物线过点 A（﹣2，0）， ∴0=4a﹣2b+c③， 由①②③解得，a=﹣ ，b=1，c=4， ∴抛物线的解析式为 y=﹣ x2+x+4； （2）假设存在满足条件的点 F，如图所示，连结 BF、CF、OF，过点 F 作 FH⊥x轴于点 H，FG⊥y轴于点 G． 设点 F的坐标为（t，﹣ t2+t+4），其中 0＜t＜4， 则 FH=﹣ t2+t+4，FG=t， ∴S△OBF= OB•FH= ×4×（﹣ t2+t+4）=﹣t2+2t+8， S△OFC= OC•FG= ×4×t=2t， ∴S 四边形ABFC=S△AOC+S△OBF+S△OFC=4﹣t2+2t+8+2t=﹣t2+4t+12． 令﹣t2+4t+12=17，即 t2﹣4t+5=0， 则△=（﹣4）2﹣4×5=﹣4＜0， ∴方程 t2﹣4t+5=0 无解， 故不存在满足条件的点 F； （3）设直线 BC的解析式为 y=kx+n（k≠0）， ∵B（4，0），C（0，4）， ∴ ，解得 ， ∴直线 BC的解析式为 y=﹣x+4． 由 y=﹣ x2+x+4=﹣ （x﹣1）2+ ， ∴顶点 D（1， ）， 又点 E在直线 BC上，则点 E（1，3）， 于是 DE= ﹣3= ． 若以 D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，因为 DE∥PQ，只须 DE=PQ， 设点 P的坐标是（m，﹣m+4），则点 Q的坐标是（m，﹣ m2+m+4）． ①当 0＜m＜4时，PQ=（﹣ m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣ m2+2m， 由﹣ m2+2m= ，解得：m=1或 3． 当 m=1时，线段 PQ与 DE重合，m=1舍去， ∴m=3，P1（3，1）． ②当 m＜0或 m＞4时，PQ=（﹣m+4）﹣（﹣ m2+m+4）= m2﹣2m， 由 m2﹣2m= ，解得 m=2± ，经检验适合题意， 此时 P2（2+ ，2﹣ ），P3（2﹣ ，2+ ）． 综上所述，满足题意的点 P有三个，分别是 P1（3，1），P2（2+ ，2 ﹣ ），P3（2﹣ ，2+ ）． 点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、 一次函数的解析式，四边形的面积，平行四边形的判定等知识，综合性 较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．