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九年级（上）数学综合练习题（二） 数学 选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 1、如果两个相似三角形的相似比是1: 2 ，那么这两个相似三角形的周长比是 A． 2:1 B．1: 2 C． 1: 4 D．1: 2 2、若将抛物线 y= 1 2 x2 先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位得到新的抛物 线，则新 抛物线的解析式是 A． 21 ( 2) 12y x   B． 21 ( 2) 12y x   C． 2( 2) 1y x   D． 21 ( 2) 12y x   3、在 a2□4a□4 的空格□中,任意填上“＋”或“－”,在所有得到的代数式中,能构成完全 平方式的概率是 A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 1 4、如图 4×4 的正方形网格中，△MNP 绕某点旋转一定的角度，得到 △M1N1P1，则其旋转中心可能是 A．点 A B．点 B C．点 C D．点 D 5、如图，⊙ B 的半径为 4 cm ， 60MBN ，点 A，C 分 别是射线 BM ，BN 上的动点，且直线 BNAC  ．当 AC 平移到与⊙ B 相切时， AB 的长度是 A．8cm B． 6cm C． 4cm D． 2cm 6、如图，每个小正方形边长均为 1，则下列图中的三角形 （阴影部分）与左图中 ABC△ 相似的是 A． B． C． D． A B C 7、两圆的圆心距为3，两圆半径分别是方程 2 4 3 0x x   的两根，则两圆的位置关系是 A.内切 B. 相交 C.外切 D. 外离 8、如图， , , ,A B C D O为 的四等分点，动点 P 从圆心O 出发， 沿 O C D O   路 线 作 匀 速 运 动 ． 设 运 动 时 间 为 ( ), ( )t s APB y   ，则下列图象中表示 y 与t 之间函数关系最 恰当的是 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9、边长为 a 的正三角形的外接圆的半径为 ． 10 、 如 图 ， ,AC BD C DE AB E 于点 于点 ， 且 6 8AB DB ， ，则 :ABC DBES S △ △ ．w!w!w.!x!k!b!1.com 11、关于 x 的一元二次方程 01)1( 22  axxa 的一 个根是 0，则 a 的值为 ． 12、已知点 A 的坐标为 ( )a b， ，O 为坐标原点，连结OA ，将线段OA 绕点O 按逆时针方 向旋转 90°得 1OA ，则点 1A 的坐标为 ． 三、解答题（本题共 25 分，每小题 5 分） 13、解方程： 23 2 6x x  14、如图，在 ABC△ 中， 90C  ∠ ，在 AB 边 上取一点 D ，使 BD BC ，过 D 作 DE AB 交 AC 于 E ， 8 6AC BC ， ．求 DE 的长． 15、如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，若 PA⊥AB，PO 过 AC 的中点 M，求证： PC 是⊙O 的切线． C A O B D P E D C B A 16、如图，从一个半径为 1m 的圆形铁皮中剪出一个圆心角为 90 的扇形，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，求此圆锥的底面圆的 半径． 17、如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔 5 米有 一棵树，在北岸边每隔 50 米有一根电线杆．小丽 站在离南岸边15 米 的点 P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆 A、B，恰好 被南岸的 两棵树 C、D 遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度． 四、解答题（本题共 10 分，每小题 5 分） 18、关 x 的一元二次方程( x  2)( x  3)= m 有两个实数根 x 1、 x 2， （1）求 m 的取值范围； （2）若 x 1、 x 2 满足等式 x 1 x 2  x 1  x 2+1=0，求 m 的值． 19、如图，AB 为 O 的直径，CD 是弦，且 AB  CD 于点 E．连接 AC 、OC 、 BC ． （1）求证：  ACO = BCD ． （2）若 EB =8cm ，CD = 24cm ，求 O 的直径． 五、解答题（本题共 10 分，每小题 5 分） 20、某校有A、B两个餐厅，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个餐厅用餐． (1)请用列表或画树形图的方法求甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率； (2)求甲、乙、丙三名学生中至少有一人在B餐厅用餐的概率． 21、如图，已知二次函数 2 2 1y x x   的图象的顶点为 A ．二次函数 2y ax bx  的图象 与 x 轴交于原点O 及另一点C ，它的顶点 B 在函数 2 2 1y x x   的图象的对称轴上． （1）求点 A 与点C 的坐标； （2）当四边形 AOBC 为菱形时，求函数 2y ax bx  的关系式． B A O C O E D C B A 六、解答题（本题共 6 分） 22、阅读材料： 为解方程   22 21 5 1 4 0x x     ，我们可以将 2 1x  视为一个整体，设 2 1x y  ， 则原方程可化为 2 5 4 0y y   ，① 解得 1 1y  ， 2 4y  ． 当 1y  时， 2 1 1x   ， 2 2x  即 2x   ． 当 4y  时， 2 1 4x   ， 2 5x  即 5x   ． 原方程的解为 1 2x  ， 2 2x   ， 3 5x  ， 4 5x   ． 根据以上材料，解答下列问题． ⑴填空：在原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了_____的 数学思想． ⑵解方程 4 2 6 0x x   七、解答题（本题共 21 分，每小题 7 分） 23、如图，P 为正方形 ABCD 内一点，若 PA=a，PB=2a，PC=3a(a ＞0)． (1) 求∠APB 的度数； (2) 求正方形 ABCD 的面积． 24、一开口向上的抛物线与 x 轴交于 A，B 两点，C（ m ， 2 ）为抛物线顶点，且 AC⊥BC． （1）若 m 是常数，求抛物线的解析式； （2）设抛物线交 y 轴正半轴于 D 点，抛物线的对称轴交 x 轴于 E 点。问是否存在实数 m， 使得△ E OD 为等腰三角形？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由． 25、如图，在梯形 ABCD 中， AD BC∥ ， 6cmAD  ， 4cmCD  ， 10cmBC BD  ， 点 P 由 B 出发沿 BD 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，线段 EF 由 DC 出发沿 DA 方向 匀速运动，速度为 1cm/s，交 BD 于 Q，连接 PE．若设运动时间为t （s）（ 0 5t  ）．解答 下列问题： （1）过 P 作 PM AD∥ ，交 AB 于 M ．当 t 为何值时， AMPE 四边形 是 ？ （2）设 y = EQ PQ （cm2），求 y 与t 之间的函数关系式， 并求t 为何值时， y 有最大值，最大值是多少； （3）连接 PF ，在上述运动过程中，五边形 PFCDE 的面 积是否发生变化？说明理由． P D C B A 九年级（上）数学综合练习题（二） 参考答案及评分标准 选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C B A B B C 一、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9、 3 3 a ； 10、9:16 ； 11、 1 ； 12、 ( )b a ， ． 三、解答题（本题共 25 分，每小题 5 分） 13、解：移项，得 23 6 2x x  ．………………………………………1 分 二次项系数化为 1，得 2 22 3x x  ．………………………………………2 分 配方 2 5( 1) 3x   ………………………………………3 分 由此可得 1 151 3x   ， 2 151 3x   ………………………………………5 分 14、解：在 ABC△ 中， 90 8 6C AC BC  ， ，∠ ， 2 2 10AB AC BC    ．………………………………………1 分 又 6BD BC  ， 4AD AB BD    ． DE AB ， 90ADE C   ∠ ∠ ． 又 A A∠ ∠ ， AED ABC△ ∽△ ．………………………………………3 分 DE AD BC AC   ．………………………………………4 分 4 6 38 ADDE BCAC      ．………………………………………5 分 15、证明：连接 OC，………………………………………1 分 ∵PA⊥AB， ∴∠PA0=900， ∵PO 过 AC 的中点 M，OA=OC，∴PO 垂直平分 AC. ………2 分 ∴ PA PC ,∴∠PAC=∠PCA . …………………………3 分 ∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠PAC+∠CAO=∠PA0=900, ………4 分 即 PC 是⊙O 的切线．………………………………………5 分 16、解：连结 BC ，依题意，线段 BC 是 O 的直径．……1 分 2 22AB BC  ， ………………………………………2 分  90 2 2 360 2 ABBC     ．……………………………3 分 设圆锥的底面圆的半径为 r ，则 22 2r  .……………………………………4 分 2 4r  ．………………………………………5 分 答：圆锥的底面圆的半径为 2 4 m. 17、解：设河宽为 x 米．………………………………………1 分 AB CD  ， PCD PAB  .………………………………2 分 15 15 AB x CD   ．………………………………………………3 分 依题意 20, 50CD AB  20 15 50 15 x    ．解得， 22.5x  （米）………………………4 分 答：河的宽度为 22.5 米．………………………………………5 分 四、解答题（本题共 10 分，每小题 5 分） 18、解：由( x  2)( x  3)= m ， 整理，得 2 5 6 0x x m    ．………………………………………1 分 （1）∵方程有两个实数根， ∴ 2 4b ac  = 25 4(6 ) 0m   ．………………………………………2 分 解之，得 1 4m   ．………………………………………3 分 （2）取 m=2，则方程为 2 5 4 0x x   ．……………………4 分 解得 1 1x  或 2 4x  ．………………………………………5 分 19、（1）证明： AB 是 O 的直径， 90ACB   .  AB  CD ， BCD CAB   .………1 分 AO CO ， CAB ACO   .………2 分 ACO BCD   .…………………………3 分 (2)解：设 O 的半径为 R ,则 8OE R  .  AB  CD ， 1 122CE CD   .………………………4 分 在 Rt OCE 中， 2 2 2OC CE OE  ， 2 2 212 ( 8)R R    ．解得， 13R  ．  O 的直径为 26cm. ………………………………………5 分 五、解答题（本题共 10 分，每小题 5 分） 20、解：(1)依题意，列出甲、乙、丙三名学生在A、B两个餐厅用餐的所有结果（树形图 略），………………………………………3分 甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率为 2 1 8 4P   ；………………………4分 (2)由题意可知，甲、乙、丙三名学生中至少有一人在B餐厅用餐的概率为 7 8P  ……5分 21、解：（1） 2 22 1 ( 1) 2y x x x      ，所以顶点 A 的坐 标为 (1 2)， ．………………………………………1 分 因为二次函数 2y ax bx  的图象经过原点，且它的顶点在二 次函数 2 2 1y x x   图象的对称轴l 上，所以点C 和点O 关 于直线l 对称，所以点C 的坐标为 (2 0)， ．…………2 分 （2）因为四边形 AOBC 是菱形，所以点 B 和点 A 关于直线OC 对称，因此，点 B 的坐标 为 (1 2)， ．………………………………………3 分 因为二次函数 2y ax bx  的图象经过点 B (1 2)， ， (2 0)C ， ， 所以 2 4 2 0. a b a b       ， 解得 2 4 a b     ， ．………………………………………4 分 所以二次函数 2y ax bx  的关系式为 22 4y x x   ．………………………5 分 六、解答题（本题共 6 分） x y O 1 2 3 2 1 1 1 2 2 2 1y x x   A B l C 22、（1）转化．………………………1 分 （2）解：设 2x y ，则原方程可化为 2 6 0y y   ．………………………2 分 解得 1 3y  ， 2 2y   （不合题意，舍去）．………………………4 分 由 2 3x  可得解是： 1 3x  ， 2 3x   ………………………5 分 故方程 4 2 6 0x x   的解是 1 3x  ， 2 3x   ………………………6 分 七、解答题（本题共 21 分，每小题 7 分） 23、解:(1)将△ABP 绕点 B 顺时针方向旋转 90°得△CBQ． 则△ABP≌△CBQ 且 PB⊥QB． 于是 PB=QB=2a，PQ= 2 2PB QB =2 2 a．……1 分 在△PQC 中，∵PC2=9a2，PQ2＋QC2=9a2． ∴PC2=PQ2＋QC2． ∴∠PQC=90°．……………………2 分 ∵△PBQ 是等腰直角三角形， ∴∠BPQ=∠BQP=45°．………………………3 分 故∠APB=∠CQB=90°＋45°=135°．………………………4 分 (2)∵∠APQ=∠APB＋∠BPQ=135°＋45°=180°， ∴三点 A、P、Q 在同一直线上．……………5 分 在 Rt△AQC 中，AC2=AQ2＋QC2=(a＋2 2 a)2＋a2=(10＋4 2 )a2．………………6 分 ∴正方形 ABCD 的面积 2 2 2 ACS AB  =(5＋2 2 )a2……………7 分 24、解：（1）设抛物线的解析式为： 2( ) 2y a x m   ·······················································································1 分 ∵AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB 为等腰直角三角形，又 AB＝4， ∴ B （m+2，0）·························································································· 2 分 代入，得 a＝ 1 2 ．∴解析式为： 2 21 1 22 2y x mx m    ．································· 3 分 （2）由（1）得 D（0， 1 2 m2 2 ），设存在实数 m，使得△ E OD 为等腰三角形． ∵△ E OD 为直角三角形，∴只能 OD＝O E ．···················································4 分 ∴当点 E 在 x 轴正半轴，即 m＞0 时， 1 2 m2－2＝ m ． 解得 m＝1 5 或 m＝1 5 （舍）． 当点 E 在 x 轴负半轴，即 m＜0 时， 1 2 m2－2＝ m ． 当解得 m＝ 1 5  或 m＝ 1 5  （舍）； 当点 E 在原点，即 m＝0 时， B、O、D 三点共线（不合题意，舍） 综上所述：存在实数 m＝1 5 或 m＝ 1 5  ，使得△ E OD 为等腰三角形．······· 7 分 25、（本小题满分 12 分） 解：（1）∵ AMPE 四边形 是 ．∴ PE AB∥ ∴ DE DP DA DB  ．······························ 1 分 而 10DE t DP t  ， ， ∴ 10 6 10 t t ， ∴ 15 4t  ． ∴当 15 (s)4t  ， AMPE 四边形 是 ．········ 2 分 （2）∵ EF 平行且等于CD ，∴ DQE BDC   ． ∵ AD BC∥ ，∴ EDQ CBD   ． ∴ DEQ BCD△ ∽△ ． ∴ DE EQ BC CD  即 10 4 t EQ ． ∴ 2 5EQ t ．·································································································3 分 ∵ DQ BP t  ，∴ 10 2PQ t  ． ∴ y = EQ PQ = 2 5EQ t (10 2 )t 24 5( ) 55 2t    …………………………………………4 分 ∴当 5 2t  时， y 有最大值 5． ··········································································5 分 （3）在 PDE△ 和 FBP△ 中， 10 DE BP t PD BF t PDE FBP PDE FBP            ， ， △ ≌△ ， ···························································· 6 分 ∴ PDEPFCDE PFCDS S S △五边形 四边形 FBP PFCDS S △ 四边形 8 6BCDS △ ． ∴在运动过程中，五边形 PFCDE 的面积不变． 7 分 说明：本试卷解答题只给出了一种解法，其他解法参照评分标准相应给分.