(北区)参考答案.doc

北京市西城区 2012—2013 学年度第一学期期末试卷（北区） 九年级数学参考答案及评分标准 2013.1 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D C B A D C B 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 题号 9 10 11 12 答案 6π 1 2y y 15°或 75° ②④ 阅卷说明：第 11 题写对一个答案得 2 分. 第 12 题只写②或只写④得 2 分；有错解得 0 分. 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13．解：原式 23 3 22 4 ( ) 32 2 2       ....................................................................4 分 6 3  . ..........................................................................................................5 分 14．解：（1） 2 4 1y x x   2( 4 4) 3x x    2( 2) 3x   ..............................................................................................2 分 （2）∵抛物线 2 4 1y x x   的顶点坐标为 (2, 3) ， ........................................ 3 分 ∴平移后的抛物线的顶点坐标为(3, 1) . .................................................... 4 分 ∴平移后所得抛物线的解析式为 2 2( 3) 1 6 8y x x x      . ............ 5 分 15．解：在 Rt△DBC 中，∠C=90°，sin∠CBD= 2 3 ，DB=6，(如图 1) ∴ 2sin 6 43CD DB CBD      . ……………1 分 ∴ 1 2AD CD  1 4 22   . ………………………2 分 ∵ 2 2 2 26 4 2 5CB BD CD     ，.................................................................3 分 AC= AD+CD=2+4=6， ....................................................................................... 4 分 在 Rt△ABC 中，∠C=90°， ∴ 2 5 5tan 6 3 CBA AC    . ................................................................................... 5 分 图 1 16．（1）证明：如图 2. ∵OC=OB， ∴∠BCO=∠B. ∵∠B=∠D， ∴∠BCO=∠D. ………………………………2 分 （2）解：∵AB 是⊙O 的直径，且 CD⊥AB 于点 E， ∴ 1 2CE CD  1 4 2 2 22   . .................................................................. 3 分 在 Rt△OCE 中， 2 2 2OC CE OE  ， 设⊙O 的半径为 r，则 OC=r，OE=OA  AE=r 2， ∴ 2 2 2(2 2) ( 2)r r   . .................................................................................4 分 解得 3r  . ∴⊙O 的半径为 3. ........................................................................................ 5 分 17．（1）证明：如图 3. ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC. ∴∠B=∠ECF，∠DAE=∠AEB．……2 分 又∵∠DAE=∠F， ∴∠AEB=∠F. ∴△ABE∽△ECF． .................................................................................. 3 分 （2）解：∵△ABE∽△ECF， ∴ AB BE EC CF  . ...................................................................................................4 分 ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴BC=AD=8. ∴EC=BC BE=8  2=6. ∴ 5 2 6 CF  . ∴ 12 5CF  . ……………………………………………5 分 18．解：（1）作 PC⊥AB 于 C.（如图 4） 在 Rt△PAC 中，∠PCA=90°，∠CPA=90°  45°=45°. ∴ 2cos45 100 50 22PC PA     . ………………2 分 在 Rt△PCB 中，∠PCB=90°，∠PBC=30°. ∴ 2 100 2PB PC  . 答：B 处距离灯塔 P 有100 2 海里. …………………3 分 （2）若海轮到达 B 处没有触礁的危险. ..............................................................4 分 理由如下： ∵ 200 100 2OB OP PB    ， 而100 2 150 ， 图 3 图 4 图 2 ∴ 200 100 2 200 150   . ∴ 50OB  . .................................................................................................... 5 分 ∴B 处在圆形暗礁区域外，没有触礁的危险. 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分）w W w . 19．解：（1）它与 x 轴的交点的坐标为( 1 ，0)，（3，0）； ............................................1 分 （2）列表： 图象（如图 5）；………………………… 3 分 （3） b 的取值范围是 3 1b   或 4 21b ．…5 分 阅卷说明：只写 3 1b   或只写 4 21b 得 1 分. 20．（1）证明：∵OA=OC， ∴∠A=∠ACO . ∴∠COB=2∠ACO . 又∵∠COB=2∠PCB， ∴∠ACO =∠PCB . ...........................................................................................1 分 ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACO +∠OCB=90° . ∴∠PCB +∠OCB=90°， 即 OC⊥CP. ∵OC 是⊙O 的半径， ∴PC 是⊙O 的切线. ………………………2 分 （2）解：连接 MA、MB.（如图 6） ∵点 M 是弧 AB 的中点， ∴∠ACM=∠BAM. ∵∠AMC=∠AMN， ∴△AMC∽△NMA . …………………………3 分 ∴ AM MC NM MA  . ∴ 2AM MC MN  . ∵ MC MN =8， ∴ 2 2AM  . ......................................................................................................... 4 分 ∵AB 是⊙O 的直径，点 M 是弧 AB 的中点， ∴∠AMB=90°，AM=BM= 2 2 . ∴ 2 2 4AB AM BM   . ................................................................................5 分 x … 1 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 图 6 21．解：（1）①如图 7 所示. ……………………………………1 分 ②DE 的长为 2 ； ………………………………2 分 （2）点 A 的坐标为( 3,3) ，△FBG 的周长为 6 ， △ABC 与△ A B C  重叠部分的面积为 27 9 3 ． …………………………………5 分 阅卷说明：第（2）问每空 1 分. 22．解：（1）当 2 4x   时，二次函数 142 2  xxy 的最大值为 49 ； ……...1 分 （2）∵二次函数 22 4 1y x x   的对称轴为直线 1x ， ∴由对称性可知，当 4x 和 2x 时函数值相等. ∴若 4p   ，则当 px  时， y 的最大值为 142 2  pp . ..................2 分 若 4 2p   ，则当 2x 时， y 的最大值为 17. ............................... 3 分 （3）t 的值为 1或 5 . .........................................................................................5 分 阅卷说明：只写1或只写 5 得 1 分；有错解得 0 分. 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23．解：（1）∵抛物线 2 1 2(1 )y x m x n    经过点（ 1 ， 13 2m  ）， ∴ 213 ( 1) 2(1 ) ( 1)2m m n        . ∴ 3 2n m  . ..................................................................................................1 分 （2）∵ 2 1 32(1 ) 2y x m x m     ， ∴ 1p m  ， ..................................................................................................2 分 2 13 2q m m    . ........................................................................................3 分 ∵ 1m p  ， ∴ 2 1( 1) 3( 1) 2q p p      . ∴ 2 5 2q p p    . ........................................................................................5 分 （3） m 的取值范围为 3 1 2 2m   且 0m  . ......................................................... 7 分 阅卷说明：只写 3 1 2 2m   或只写 0m  得 1 分. 24．解：（1）① FM EM  3 2 ；.................................................................................................1 分 图 7 ②结论： FM EM 的值不变. （阅卷说明：判断结论不设给分点） 证明：连接 EF、AD、BC.（如图 8） ∵Rt△AOB 中，∠AOB=90°，∠ABO=30°， ∴ 3tan30 3 AO BO   . ∵Rt△COD 中，∠COD=90°，∠DCO=30°， ∴ 3tan30 3 DO CO   . ∴ 3 3 AO DO BO CO   . ∵∠AOD=90°+∠BOD，∠BOC=90°+∠BOD， ∴∠AOD=∠BOC. ∴△AOD∽△BOC． ...............................................................................2 分 ∴ 3 3 AD BC  ，∠1=∠2. ∵点 E、F、M 分别是 AC、CD、DB 的中点，w W w . ∴EF∥AD，FM∥CB，且 1 2EF AD ， 1 2FM CB . ∴ 3 3 EF FM  ， ............................................................................................3 分 ∠3=∠ADC=∠1+∠6，∠4=∠5. ∵∠2+∠5+∠6=90°， ∴∠1+∠4+∠6=90°，即∠3+∠4=90°. ∴∠EFM=90°. .......................................................................................... 4 分 ∵在 Rt△EFM 中，∠EFM=90°， 3tan 3 EFEMF FM    ， ∴∠EMF=30°. ∴ 3cos 2 FM EMFEM    . .........................................................................5 分 （2）线段 PN 长度的最小值为 3 3 22  ，最大值为3 3 2 . ...........................7 分 阅卷说明：第（2）问每空 1 分. 25．解：（1）①∵直线 BE 与 y 轴平行，点 F 的坐标为（ 9 2 ，1）， ∴点 B 的坐标为（ 9 2 ，0），∠FBA=90°，BF=1. 在 Rt△EFM 中，AF= 17 ， ∴ 2 2 17 1 4AB AF FB     . 图 8 ∴点 A 的坐标为（ 1 2 ，0）. ∴抛物线的解析式为 21 1 9 1 5 9( )( )2 2 2 2 2 8y x x x x      . ..................... 1 分 ②点 Q 的坐标为 1Q （ 5 2 ，3）， 2Q （ 5 2 ，5）， 3Q （ 5 2 ，7）. ..................4 分 阅卷说明：答对 1 个得 1 分. （2）∵ 2 2b c   ， 2b t   ， ∴ 2 2c t  . ∴ 21 (2 ) 2 22y x t x t     . 由 21 (2 ) 2 2 02 x t x t     ， ( 2)( 2 2) 0x x t    . 解得 1 2x  ， 2 2 2x t  . ∵ 0t  ， ∴点 A 的坐标为（2，0），点 B 的坐标为（ 2 2t  ，0）. ∴AB= 2 2 2 2t t   ，即 2k  . ................................................................ 5 分 方法一：过点 D 作 DG∥ x 轴交 BE 于点 G， AH∥BE 交直线 DG 于点 H，延长 DH 至点 M，使 HM=BF.（如图 9） ∵DG∥ x 轴，AH∥BE， ∴四边形 ABGH 是平行四边形. ∵∠ABF=90°， ∴四边形 ABGH 是矩形. 同理四边形 CBGD 是矩形. ∴AH=GB=CD=AB=GH= 2t . ∵∠HAB=90°，∠DAF=45°， ∴∠1+∠2=45°. 在△AFB 和△AMH 中， AB=AH， ∠ABF=∠AHM=90°， BF=HM， ∴△AFB≌△AMH. ...................................................................................... 6 分 ∴∠1=∠3，AF=AM，∠4=∠M. ∴∠3+∠2=45°. 在△AFD 和△AMD 中， AF=AM， ∠FAD=∠MAD， AD=AD， ∴△AFD≌△AMD. 图 9 图 10 ∴∠DFA=∠M，FD=MD. w W w .x b 1.c o M ∴∠DFA=∠4. ...............................................................................................7 分 ∵C 是 AB 的中点， ∴DG=CB=HD=t . 设 BF= x ，则 GF= 2t x ，FD=MD=t x . 在 Rt△DGF 中， 2 2 2DF DG GF  ， ∴ 2 2 2( ) (2 )t x t t x    ， 解得 2 3 tx  . ∴ 2tan tan 4 2 33 AB tDFA tFB        . ................................................... 8 分 方法二：过点 D 作 DM⊥AF 于 M.（如图 10） ∵CD⊥AB，DM⊥AF， ∴∠NCA=∠DMN=90°. ∵∠1=∠2， ∴∠NAC=∠NDM. ww w. ∴tan∠NAC=tan∠NDM. ∴ NC NM AC DM  . …………………………….6 分 ∵C 是 AB 的中点，CD=AB= 2t ， ∴AC=t ， 2 2 2 2(2 ) 5AD AC CD t t t     . ∵∠DAM=45°， ∴ 2 10sin 45 5 2 2DM AM AD t t      . 设 CN= x ，则 DN= 2t x . ∴ 10 2 x NM t t  . ∴ 10 2NM x . 在 Rt△DNM 中， 2 2 2DN DM NM  ， ∴ 2 2 210 10(2 ) ( ) ( )2 2t x t x   . 2 23 8 3 0x tx t   . (3 )( 3 ) 0x t x t   . ∴ 1 3 tx  ， 2 3x t  （舍）. http:/ / ∴CN= 3 t ， ...................................................................................................... 7 分 AN= 2 2 10( )3 3 tt t  . ∵EB∥ y 轴， ∴EB⊥ x 轴. ∵CD⊥AB， ∴CD∥EB. ∴ 1 2 AC AN AB AF   . ∴AF= 2 10 3 t . ∴MF= AF AM= 2 10 10 10 3 2 6t t t  . ∴ 10 10tan ( ) 32 6 DMDFA t tMF      . ...................................................8 分