2012 年湖北省荆门市中考数学试卷解析
一、选择题(本大题 12 个小题,每小题只有唯一正确答案,每小题 3 分,共 36 分)
1. 下列实数中,无理数是( )
A.
﹣
B.
π
C.
D.
|﹣2|
解析::A、﹣ 是有理数,故本选项错误;
B、是无理数,故本选项正确;
C、 =3,是有理数,故本选项错误;
D、|﹣2|=2,是有理数,故本选项错误;
故选 B.
2. 用配方法解关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x﹣3=0,配方后的方程可以是( )
A.
(x﹣1)2=4
B.
(x+1)2=4
C.
(x﹣1)2=16
D.
(x+1)2=16
解析:把方程 x2﹣2x﹣3=0 的常数项移到等号的右边,得到 x2﹣2x=3,
方程两边同时加上一次项系数一半的平方,得到 x2﹣2x+1=3+1,
配方得(x﹣1)2=4.
故选 A.
3. 已知:直线 l1∥l2,一块含 30°角的直角三角板如图所示放置,∠1=25°,则∠2 等于( )
A.
30°
B.
35°
C.
40°
D.
45°
解析:∵∠3 是△ADG 的外角,
∴∠3=∠A+∠1=30°+25°=55°,
∵l1∥l2,
∴∠3=∠4=55°,
∵∠4+∠EFC=90°,
∴∠EFC=90°﹣55°=35°,
∴∠2=35°.
故选 B.
4. 若 与|x﹣y﹣3|互为相反数,则 x+y 的值为( )
A.
3
B.
9
C.
12
D.
27
解析:∵ 与|x﹣y﹣3|互为相反数,
∴ +|x﹣y﹣3|=0,
∴ ,
②﹣①得,y=12,
把 y=12 代入②得,x﹣12﹣3=0,
解得 x=15,
∴x+y=12+15=27.
故选 D.
5.对于一组统计数据:2,3,6,9,3,7,下列说法错误的是( )
A.
众数是 3
B.
中位数是 6
C.
平均数是 5
D.
极差是 7
解析:A.∵3 出现了 2 次,最多,∴众数为 3,故此选项正确;
B.∵排序后为:2,3,3,6,7,9,
∴中位数为:(3+6)÷2=4.5;故此选项错误;
C. = =5;故此选项正确;
D.极差是 9﹣2=7,故此选项正确;
故选 B.
6. 已知点 M(1﹣2m,m﹣1)关于 x 轴的对称点在第一象限,则 m 的取值范围在数轴上表
示正确的是( )
A.
B.
C.
D.
解析:由题意得,点 M 关于 x 轴对称的点的坐标为:(1﹣2m,1﹣m),
又∵M(1﹣2m,m﹣1)关于 x 轴的对称点在第一象限,
∴ ,
解得: ,
在数轴上表示为: .
故选 A.
7. 下列 4×4 的正方形网格中,小正方形的边长均为 1,三角形的顶点都在格点上,则与△ABC
相似的三角形所在的网格图形是( )
A.
B.
C.
D.
解析:根据勾股定理,AB= =2 ,
BC= = ,
AC= = ,
所以△ABC 的三边之比为 :2 : =1:2: ,
A、三角形的三边分别为 2, = , =3 ,三边之比为 2: :3 = :
:3,故本选项错误;
B、三角形的三边分别为 2,4, =2 ,三边之比为 2:4:2 =1:2: ,故本
选项正确;
C、三角形的三边分别为 2,3, = ,三边之比为 2:3: ,故本选项错误;
D、三角形的三边分别为 = , = ,4,三边之比为 : :4,故
本选项错误.
故选 B.
8. 如图,点 A 是反比例函数 y= (x>0)的图象上任意一点,AB∥x 轴交反比例函数 y=
﹣ 的图象于点 B,以 AB 为边作▱ ABCD,其中 C、D 在 x 轴上,则 S□ABCD 为( )
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
解析:设 A 的纵坐标是 b,则 B 的纵坐标也是 b.
把 y=b 代入 y= 得,b= ,则 x= ,,即 A 的横坐标是 ,;
同理可得:B 的横坐标是:﹣ .
则 AB= ﹣(﹣ )= .
则 S□ABCD= ×b=5.
故选 D.
9. 如图,△ABC 是等边三角形,P 是∠ABC 的平分线 BD 上一点,PE⊥AB 于点 E,线段
BP 的垂直平分线交 BC 于点 F,垂足为点 Q.若 BF=2,则 PE 的长为( )
A.
2
B.
2
C.
D.
3 解析:∵△ABC 是等边三角形 P 是∠ABC 的平分线,
∴∠EBP=∠QBF=30°,
∵BF=2,FQ⊥BP,
∴BQ=BF•cos30°=2× = ,
∵FQ 是 BP 的垂直平分线,
∴BP=2BQ=2 ,
在 Rt△BEF 中,
∵∠EBP=30°,
∴PE= BP= .
故选 C.
10.如图,已知正方形 ABCD 的对角线长为 2 ,将正方形 ABCD 沿直线 EF 折叠,则图
中阴影部分的周长为( )
A.
8
B.
4
C.
8
D.
6
解析:∵正方形 ABCD 的对角线长为 2 ,
即 BD=2 ,∠A=90°,AB=AD,∠ABD=45°,
∴AB=BD•cos∠ABD=BD•cos45°=2 × =2,
∴AB=BC=CD=AD=2,
由折叠的性质:A′M=AM,D′N=DN,A′D′=AD,
∴图中阴影部分的周长为:
A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8.
故选 C.
11. 已知:多项式 x2﹣kx+1 是一个完全平方式,则反比例函数 y= 的解析式为( )
A.
y=
B.
y=﹣
C.
y= 或 y=﹣
D.
y= 或 y=﹣ 解析:∵多项式 x2﹣kx+1 是一个完全平方式,
∴k=±2,
把 k=±2 分别代入反比例函数 y= 的解析式得:y= 或 y=﹣ ,
故选:C.
12. 已知:顺次连接矩形各边的中点,得到一个菱形,如图①;再顺次连接菱形各边的中
点,得到一个新的矩形,如图②;然后顺次连接新的矩形各边的中点,得到一个新的菱形,
如图③;如此反复操作下去,则第 2012 个图形中直角三角形的个数有( )
A.
8048 个
B.
4024 个
C.
2012 个
D.
1066 个
解析:第 1 个图形,有 4 个直角三角形,
第 2 个图形,有 4 个直角三角形,
第 3 个图形,有 8 个直角三角形,
第 4 个图形,有 8 个直角三角形,
…,
依次类推,当 n 为奇数时,三角形的个数是 2(n+1),当 n 为偶数时,三角形的个数是 2n
个,
所以,第 2012 个图形中直角三角形的个数是 2×2012=4024.
故选 B.
二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 3 分,共 15 分)
13. 计算 ﹣(﹣2)﹣2﹣( ﹣2)0= .
解析:原式= ﹣ ﹣1=﹣1.
故答案为:﹣1.
14. 如图,在直角坐标系中,四边形 OABC 是直角梯形,BC∥OA,⊙P 分别与 OA、OC、
BC 相切于点 E、D、B,与 AB 交于点 F.已知 A(2,0),B(1,2),则 tan∠FDE= .
解析:连接 PB、PE.
∵⊙P 分别与 OA、BC 相切于点 E、B,
∴PB⊥BC,PE⊥OA,
∵BC∥OA,
∴B、P、E 在一条直线上,
∵A(2,0),B(1,2),
∴AE=1,BE=2,
∴tan∠ABE= = ,
∵∠EDF=∠ABE,
∴tan∠FDE= .
故答案为: .
15 如图是一个上下底密封纸盒的三视图,请你根据图中数据,计算这个密封纸盒的表面积
为 cm2.(结果可保留根号)
解析:根据该几何体的三视图知道其是一个六棱柱,
∵其高为 12cm,底面半径为 5,
∴其侧面积为 6×5×12=360cm2
密封纸盒的侧面积为: ×5×6×5 =75 cm2
∴其全面积为:(75 +360)cm2.
故答案为:(75 +360).
16.新定义:[a,b]为一次函数 y=ax+b(a≠0,a,b 为实数)的“关联数”.若“关联数”[1,m
﹣2]的一次函数是正比例函数,则关于 x 的方程 的解为 .
解析:根据题意可得:y=x+m﹣2,
∵“关联数”[1,m﹣2]的一次函数是正比例函数,
∴m﹣2=0,
解得:m=2,
则关于 x 的方程 变为 + =1,
解得:x=3,
检验:把 x=3 代入最简公分母 2(x﹣1)=4≠0,
故 x=3 是原分式方程的解,
故答案为:x=3.
17. 如图(1)所示,E 为矩形 ABCD 的边 AD 上一点,动点 P、Q 同时从点 B 出发,点 P
沿折线 BE﹣ED﹣DC 运动到点 C 时停止,点 Q 沿 BC 运动到点 C 时停止,它们运动的速度
都是 1cm/秒.设 P、Q 同发 t 秒时,△BPQ 的面积为 ycm2.已知 y 与 t 的函数关系图象如
图(2)(曲线 OM 为抛物线的一部分),则下列结论:①AD=BE=5;②cos∠ABE= ;③
当 0<t≤5 时,y= t2;④当 t= 秒时,△ABE∽△QBP;其中正确的结论是 ①③④ (填
序号).
解:根据图(2)可得,当点 P 到达点 E 时点 Q 到达点 C,
∵点 P、Q 的运动的速度都是 1cm/秒,
∴BC=BE=5,
∴AD=BE=5,故①小题正确;
又∵从 M 到 N 的变化是 2,
∴ED=2,
∴AE=AD﹣ED=5﹣2=3,
在 Rt△ABE 中,AB= = =4,
∴cos∠ABE= = ,故②小题错误;
过点 P 作 PF⊥BC 于点 F,
∵AD∥BC,
∴∠AEB=∠PBF,
∴sin∠PBF=sin∠AEB= = ,
∴PF=PBsin∠PBF= t,
∴当 0<t≤5 时,y= BQ•PF= t• t= t2,故③小题正确;
当 t= 秒时,点 P 在 CD 上,此时,PD= ﹣BE﹣ED= ﹣5﹣2= ,
PQ=CD﹣PD=4﹣ = ,
∵ = , = = ,
∴ = ,
又∵∠A=∠Q=90°,
∴△ABE∽△QBP,故④小题正确.
综上所述,正确的有①③④.
故答案为:①③④.
18.先化简,后求值: ,其中 a= +1.
解:
原式=
=
= .…(5 分)
当 a= +1 时,原式= = .…(8 分)
19.如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,将△ABC 沿 AB 向下翻折后,再绕点 A 按顺时针方向
旋转α度(α<∠BAC),得到 Rt△ADE,其中斜边 AE 交 BC 于点 F,直角边 DE 分别交 AB、
BC 于点 G、H.
(1)请根据题意用实线补全图形;
(2)求证:△AFB≌△AGE.
解:(1)画图,如图;…(4 分)
(2)证明:由题意得:△ABC≌△AED.…(5 分)
∴AB=AE,∠ABC=∠E.…(6 分)
在△AFB 和△AGE 中,
∴△AFB≌△AGE(ASA).…(9 分)
20. “端午节”是我国的传统佳节,民间历来有吃“粽子”的习俗.我市某食品厂为了解市民对
去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽(以下分别用 A、B、C、D 表示)
这四种不同口味粽子的喜爱情况,在节前对某居民区市民进行了抽样调查,并将调查情况绘
制成如下两幅统计图(尚不完整).
请根据以上信息回答:
(1)本次参加抽样调查的居民有多少人?
(2)将两幅不完整的图补充完整;
(3)若居民区有 8000 人,请估计爱吃 D 粽的人数;
(4)若有外型完全相同的 A、B、C、D 粽各一个,煮熟后,小王吃了两个.用列表或画树
状图的方法,求他第二个吃到的恰好是 C 粽的概率.
解:(1)60÷10%=600(人).
答:本次参加抽样调查的居民有 600 人.(2 分)
(2)如图;…(5 分)
(3)8000×40%=3200(人).
答:该居民区有 8000 人,估计爱吃 D 粽的人有 3200 人.…(7 分)
(4)如图;
(列表方法略,参照给分).…(8 分)
P(C 粽)= = .
答:他第二个吃到的恰好是 C 粽的概率是 .…(10 分)
21. 如图所示为圆柱形大型储油罐固定在 U 型槽上的横截面图.已知图中 ABCD 为等腰梯
形(AB∥DC),支点 A 与 B 相距 8m,罐底最低点到地面 CD 距离为 1m.设油罐横截面圆
心为 O,半径为 5m,∠D=56°,求:U 型槽的横截面(阴影部分)的面积.(参考数据:sin53°≈0.8,
tan56°≈1.5,π≈3,结果保留整数)
解:如图,连接 AO、BO.过点 A 作 AE⊥DC 于点 E,过点 O 作 ON⊥DC 于点 N,ON 交
⊙O 于点 M,交 AB 于点 F.则 OF⊥AB.
∵OA=OB=5m,AB=8m,
∴AF=BF= AB=4(m),∠AOB=2∠AOF,
在 Rt△AOF 中,sin∠AOF= =0.8=sin53°,
∴∠AOF=53°,则∠AOB=106°,
∵OF= =3(m),由题意得:MN=1m,
∴FN=OM﹣OF+MN=3(m),
∵四边形 ABCD 是等腰梯形,AE⊥DC,FN⊥AB,
∴AE=FN=3m,DC=AB+2DE.
在 Rt△ADE 中,tan56°= = ,
∴DE=2m,DC=12m.
∴S 阴=S 梯形 ABCD﹣(S 扇 OAB﹣S△OAB)= (8+12)×3﹣( π×52﹣ ×8×3)=20(m2).
答:U 型槽的横截面积约为 20m2.
22. 荆门市是著名的“鱼米之乡”.某水产经销商在荆门市长湖养殖场批发购进草鱼和乌鱼
(俗称黑鱼)共 75 千克,且乌鱼的进货量大于 40 千克.已知草鱼的批发单价为 8 元/千克,
乌鱼的批发单价与进货量的函数关系如图所示.
(1)请直接写出批发购进乌鱼所需总金额 y(元)与进货量 x(千克)之间的函数关系式;
(2)若经销商将购进的这批鱼当日零售,草鱼和乌鱼分别可卖出 89%、95%,要使总零售
量不低于进货量的 93%,问该经销商应怎样安排进货,才能使进货费用最低?最低费用是
多少?
解:(1)批发购进乌鱼所需总金额 y(元)与进货量 x(千克)之间的函数关系式
y= ;
(2)设该经销商购进乌鱼 x 千克,则购进草鱼(75﹣x)千克,所需进货费用为 w 元.
由题意得:
解得 x≥50.
由题意得 w=8(75﹣x)+24x=16x+600.
∵16>0,∴w 的值随 x 的增大而增大.
∴当 x=50 时,75﹣x=25,W 最小=1400(元).
答:该经销商应购进草鱼 25 千克,乌鱼 50 千克,才能使进货费用最低,最低费用为 1400
元.
23. 已知:y 关于 x 的函数 y=(k﹣1)x2﹣2kx+k+2 的图象与 x 轴有交点.
(1)求 k 的取值范围;
(2)若 x1,x2 是函数图象与 x 轴两个交点的横坐标,且满足(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2.
①求 k 的值;②当 k≤x≤k+2 时,请结合函数图象确定 y 的最大值和最大值.
解:(1)当 k=1 时,函数为一次函数 y=﹣2x+3,其图象与 x 轴有一个交点.…(1 分)
当 k≠1 时,函数为二次函数,其图象与 x 轴有一个或两个交点,
令 y=0 得(k﹣1)x2﹣2kx+k+2=0.
△=(﹣2k)2﹣4(k﹣1)(k+2)≥0,解得 k≤2.即 k≤2 且 k=1.…(2 分)
综上所述,k 的取值范围是 k≤2.…(3 分)
(2)①∵x1≠x2,由(1)知 k<2 且 k=1.
由题意得(k﹣1)x12+(k+2)=2kx1.(*)…(4 分)
将(*)代入(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2 中得:
2k(x1+x2)=4x1x2.…(5 分)
又∵x1+x2= ,x1x2= ,
∴2k• =4• .…(6 分)
解得:k1=﹣1,k2=2(不合题意,舍去).
∴所求 k 值为﹣1.…(7 分)
②如图,∵k1=﹣1,y=﹣2x2+2x+1=﹣2(x﹣ )2+ .
且﹣1≤x≤1.…(8 分)
由图象知:当 x=﹣1 时,y 最小=﹣3;当 x= 时,y 最大= .…(9 分)
∴y 的最大值为 ,最小值为﹣3.…(10 分)
24. 如图甲,四边形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上,顶点在 B 点的抛
物线交 x 轴于点 A、D,交 y 轴于点 E,连接 AB、AE、BE.已知 tan∠CBE= ,A(3,0),
D(﹣1,0),E(0,3).
(1)求抛物线的解析式及顶点 B 的坐标;
(2)求证:CB 是△ABE 外接圆的切线;
(3)试探究坐标轴上是否存在一点 P,使以 D、E、P 为顶点的三角形与△ABE 相似,若存
在,直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)设△AOE 沿 x 轴正方向平移 t 个单位长度(0<t≤3)时,△AOE 与△ABE 重叠部分的
面积为 s,求 s 与 t 之间的函数关系式,并指出 t 的取值范围.
解:由题意,设抛物线解析式为 y=a(x﹣3)(x+1).
将 E(0,3)代入上式,解得:a=﹣1.
∴y=﹣x2+2x+3.
则点 B(1,4).
(2)证明:如图 1,过点 B 作 BM⊥y 于点 M,则 M(0,4).
在 Rt△AOE 中,OA=OE=3,
∴∠1=∠2=45°,AE= =3 .
在 Rt△EMB 中,EM=OM﹣OE=1=BM,
∴∠MEB=∠MBE=45°,BE= = .
∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°.
∴AB 是△ABE 外接圆的直径.
在 Rt△ABE 中,tan∠BAE= = =tan∠CBE,
∴∠BAE=∠CBE.
在 Rt△ABE 中,∠BAE+∠3=90°,∴∠CBE+∠3=90°.
∴∠CBA=90°,即 CB⊥AB.
∴CB 是△ABE 外接圆的切线.
(3)解:Rt△ABE 中,∠AEB=90°,tan∠BAE= ,sin∠BAE= ,cos∠BAE= ;
若以 D、E、P 为顶点的三角形与△ABE 相似,则△DEP 必为直角三角形;
①DE 为斜边时,P1 在 x 轴上,此时 P1 与 O 重合;
由 D(﹣1,0)、E(0,3),得 OD=1、OE=3,即 tan∠DEO= =tan∠BAE,即∠DEO=∠BAE
满足△DEO∽△BAE 的条件,因此 O 点是符合条件的 P1 点,坐标为(0,0).
②DE 为短直角边时,P2 在 x 轴上;
若以 D、E、P 为顶点的三角形与△ABE 相似,则∠DEP2=∠AEB=90°,
sin∠DP2E=sin∠BAE= ;
而 DE= = ,则 DP2=DE÷sin∠DP2E= ÷ =10,OP2=DP2﹣OD=9
即:P2(9,0);
③DE 为长直角边时,点 P3 在 y 轴上;
若以 D、E、P 为顶点的三角形与△ABE 相似,则∠EDP3=∠AEB=90°,
cos∠DEP3=cos∠BAE= ;
则 EP3=DE÷cos∠DEP3= ÷ = ,OP3=EP3﹣OE= ;
综上,得:P1(0,0),P2(9,0),P3(0,﹣ ).
(4)解:设直线 AB 的解析式为 y=kx+b.
将 A(3,0),B(1,4)代入,得 解得
∴y=﹣2x+6.
过点 E 作射线 EF∥x 轴交 AB 于点 F,当 y=3 时,得 x= ,∴F( ,3).
情况一:如图 2,当 0<t≤ 时,设△AOE 平移到△DNM 的位置,MD 交 AB 于点 H,MN
交 AE 于点 G.
则 ON=AD=t,过点 H 作 LK⊥x 轴于点 K,交 EF 于点 L.
由△AHD∽△FHM,得 ,即 .
解得 HK=2t.
∴S 阴=S△MND﹣S△GNA﹣S△HAD= ×3×3﹣ (3﹣t)2﹣ t•2t=﹣ t2+3t.
情况二:如图 3,当 <t≤3 时,设△AOE 平移到△PQR 的位置,PQ 交 AB 于点 I,交 AE
于点 V.
由△IQA∽△IPF,得 .即 ,
解得 IQ=2(3﹣t).
∴S 阴=S△IQA﹣S△VQA= ×(3﹣t)×2(3﹣t)﹣ (3﹣t)2= (3﹣t)2= t2﹣3t+ .
综上所述:s= .