海淀区高三年级第二学期期中练习
数 学（理）
答案及评分参考 2011．4
选择题 （共 40 分）
一、选择题（本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A C D B B D
非选择题 （共 110 分）
二、填空题（本大题共 6 小题,每小题 5 分. 共 30 分.有两空的题目，第一空 3 分，第二空 2
分）
9.1 2i 10. s1 > s2 > s3 11. 70 ； 3
12. 1
2
13. ① ③ 14. (2,4); 3
三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分)
15.（共 13 分）
解：（I）因为 1tan 2B ， 1tan 3C , tan tantan( ) 1 tan tan
B CB C B C
, …………………1 分
代入得到，
1 1
2 3tan( ) 11 11 2 3
B C
. …………………3 分
因为 180A B C , …………………4 分
所以 tan tan(180 ( )) tan( ) 1A B C B C . …………………5 分
（II）因为 0 180A ，由（I）结论可得： 135A . …………………7 分
因为 1 1tan tan 02 3B C ，所以0 90C B . …………8 分
所以 5sin ,5B 10sin 10C . …………9 分
由
sin sin
a c
A C
得 5a ， …………………11 分
所以 ABC 的面积为： 1 1sin2 2ac B . ………………13 分
16. （共 14 分）
解：(Ⅰ)证明：∵ / / , / /AD EF EF BC ，
∴ / /AD BC .
又∵ 2BC AD ,G 是 BC 的中点，
∴ / /AD BG ，
∴四边形 ADGB 是平行四边形，
∴ / /AB DG . ……………2 分
∵ AB 平面 DEG ， DG 平面 DEG ，
∴ / /AB 平面 DEG . …………………4 分
(Ⅱ) 解法 1
证明：∵ EF 平面 AEB ， AE 平面 AEB ，
∴ EF AE ，
又 ,AE EB EB EF E ， ,EB EF 平面 BCFE ，
∴ AE 平面 BCFE . ………………………5 分
过 D 作 / /DH AE 交 EF 于 H ，则 DH 平面 BCFE .
∵ EG 平面 BCFE ， ∴ DH EG . ………………………6 分
∵ / / , / /AD EF DH AE ，∴四边形 AEHD 平行四边形，
∴ 2EH AD ，
∴ 2EH BG ，又 / / ,EH BG EH BE ，
∴四边形 BGHE 为正方形，
∴ BH EG ， ………………………7 分
又 ,BH DH H BH 平面 BHD ， DH 平面 BHD ,
∴ EG ⊥平面 BHD . ………………………8 分
∵ BD 平面 BHD ,
∴ BD EG . ………………………9 分
解法 2
∵ EF 平面 AEB ，AE 平面 AEB ，BE 平面 AEB ，
∴ EF AE ， EF BE ，
又 AE EB ,
∴ , ,EB EF EA 两两垂直. ……………………5 分
以点 E 为坐标原点， , ,EB EF EA 分别为 , ,x y z 轴建立如图的
空间直角坐标系.
由已知得， A （0，0，2）， B （2，0，0），
C （2，4，0）， F （0，3，0）， D （0，2，2），
G （2，2，0）. …………………………6 分
∴ (2,2,0)EG ， ( 2,2,2)BD ，………7 分
H
A D
FE
B G C
x
z
y
A D
FE
B G C
∴ 2 2 2 2 0BD EG , ………8 分
∴ BD EG . …………………………9 分
(Ⅲ)由已知得 (2,0,0)EB 是平面 EFDA 的法向量. …………………………10 分
设平面 DCF 的法向量为 ( , , )x y zn ，∵ (0, 1,2), (2,1,0)FD FC ，
∴ 0
0
FD n
FC n
，即 2 0
2 0
y z
x y
，令 1z ,得 ( 1,2,1) n . …………………………12 分
设二面角C DF E 的大小为 ，
则 2 6cos cos , 62 6
EB n ， …………………………13 分
∴二面角C DF E 的余弦值为 6 .6
…………………………14 分
17. （共 13 分）新 课标 第 一网
解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为 A …………………………1 分
事件 A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ……………2 分
15
13
3
2
10
4
10
6)( Ap …………………………4 分
(Ⅱ) 由题可知 X 可能取值为 0,1,2,3.
3 0
4 6
3
10
1( 0) 30
C CP X C
,
2 1
4 6
3
10
3( 1) 10
C CP X C
,
1 2
4 6
3
10
1( 2) 2
C CP X C
,
0 3
4 6
3
10
1( 3) 6
C CP X C
. ………………8 分
…
……………9 分
(Ⅲ)设随机选取 3 件产品都不能通过检测的事件为 B ……………10 分
事件 B 等于事件“随机选取 3 件产品都是二等品且都不能通过检测”
所以， 31 1 1( ) ( )30 3 810P B . ……………13 分
18. （共 13 分）
解：（Ⅰ） ( )f x 的定义域为 (0, ) ， ………………………1 分
X 0 1 2 3
P 30
1
10
3
2
1
6
1
当 1a 时， ( ) lnf x x x ， 1 1( ) 1 xf x x x
， ………………………2 分
………………………3 分
所以 ( )f x 在 1x 处取得极小值 1. ………………………4 分
（Ⅱ） 1( ) lnah x x a xx
，
2
2 2 2
1 (1 ) ( 1)[ (1 )]( ) 1 a a x ax a x x ah x x x x x
………………………6 分
①当 1 0a 时，即 1a 时，在 (0,1 )a 上 ( ) 0h x ，在 (1 , )a 上 ( ) 0h x ，
所以 ( )h x 在 (0,1 )a 上单调递减，在 (1 , )a 上单调递增； ………………………7 分
②当1 0a ，即 1a 时，在 (0, ) 上 ( ) 0h x ，
所以，函数 ( )h x 在 (0, ) 上单调递增. ………………………8 分
（III）在 1,e 上存在一点 0x ，使得 0( )f x 0( )g x 成立，即
在 1,e 上存在一点 0x ，使得 0( ) 0h x ，即
函数 1( ) lnah x x a xx
在 1,e 上的最小值小于零. ………………………9 分
由（Ⅱ）可知
①即1 ea ，即 e 1a 时， ( )h x 在 1,e 上单调递减，
所以 ( )h x 的最小值为 (e)h ，由 1(e) e 0e
ah a 可得
2e 1
e 1a
，
因为
2e 1 e 1e 1
，所以
2e 1
e 1a
； ………………………10 分
②当1 1a ，即 0a 时， ( )h x 在 1,e 上单调递增，
所以 ( )h x 最小值为 (1)h ，由 (1) 1 1 0h a 可得 2a ； ………………………11 分
③当1 1 ea ，即 0 e 1a 时， 可得 ( )h x 最小值为 (1 )h a ，
因为 0 ln(1 ) 1a ，所以， 0 ln(1 )a a a
故 (1 ) 2 ln(1 ) 2h a a a a
此时， (1 ) 0h a 不成立. ………………………12 分
综上讨论可得所求 a 的范围是：
2e 1
e 1a
或 2a . ………………………13 分
19. （共 14 分）
x (0,1) 1 (1, )
( )f x — 0 +
( )f x 极小
解：（Ⅰ）由已知可得
2 2
2
2
1
4
a be a
，所以 2 23 4a b ① ……………1 分
又点 3(1, )2M 在椭圆C 上，所以 2 2
1 9 14a b
② ……………2 分
由①②解之，得 2 24, 3a b .
故椭圆C 的方程为
2 2
14 3
x y . ……………5 分
(Ⅱ) 当 0k 时， (0,2 )P m 在椭圆C 上，解得 3
2m ，所以| | 3OP . ……6 分
当 0k 时，则由 2 2
,
1.4 3
y kx m
x y
消 y 化简整理得： 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x kmx m ，
2 2 2 2 2 264 4(3 4 )(4 12) 48(3 4 ) 0k m k m k m ③ ……………8 分
设 , ,A B P 点的坐标分别为 1 1 2 2 0 0( , ) ( , ) ( , )x y x y x y、 、 ，则
0 1 2 0 1 2 1 22 2
8 6, ( ) 23 4 3 4
km mx x x y y y k x x mk k
. ……………9 分
由于点 P 在椭圆C 上，所以
2 2
0 0 14 3
x y . ……………10 分
从而
2 2 2
2 2 2 2
16 12 1(3 4 ) (3 4 )
k m m
k k
，化简得 2 24 3 4m k ，经检验满足③式. ………11 分
又
2 2 2
2 2
0 0 2 2 2 2
64 36| | (3 4 ) (3 4 )
k m mOP x y k k
2 2 2
2 2 2
4 (16 9) 16 9
(3 4 ) 4 3
m k k
k k
2
34 .4 3k
………………………12 分
因为 10 2k ，得 23 4 3 4k ，有 2
3 3 14 4 3k
，
故 133 2OP . ………………………13 分
综上，所求 OP 的取值范围是 13[ 3, ]2
. ………………………14 分
(Ⅱ)另解：设 , ,A B P 点的坐标分别为 1 1 2 2 0 0( , ) ( , ) ( , )x y x y x y、 、 ，
由 ,A B 在椭圆上，可得
2 2
1 1
2 2
2 2
3 4 12
3 4 12
x y
x y
①
②
………………………6 分
①—②整理得 1 2 1 2 1 2 1 23( )( ) 4( )( ) 0x x x x y y y y ③ ………………………7 分
由已知可得OP OA OB ，所以 1 2 0
1 2 0
x x x
y y y
④
⑤ ……………………8 分
由已知当 1 2
1 2
y yk x x
,即 1 2 1 2( )y y k x x ⑥ ………………………9 分
把④⑤⑥代入③整理得 0 03 4x ky ………………………10 分
与 2 2
0 03 4 12x y 联立消 0x 整理得 2
0 2
9
4 3y k
……………………11 分
由 2 2
0 03 4 12x y 得 2 2
0 0
44 3x y ，
所以 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 2
4 1 3| | 4 4 43 3 4 3OP x y y y y k
……………………12 分
因为 1
2k ，得 23 4 3 4k ，有 2
3 3 14 4 3k
，
故 133 2OP . ………………………13 分
所求 OP 的取值范围是 13[ 3, ]2
. ………………………14 分
20. （共 13 分）
解：（1）根据题设中有关字母的定义，
1 2 3 42, 1, 0, 1, 0( 5,6,7 )jk k k k k j
1 2 3 42, 2 1 3, 2 1 0 3, 4, 4( 5,6,7, )mb b b b b m
1
1 2
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4 5
(1) 4 1 2
(2) 4 2 3,
(3) 4 3 4,
(4) 4 4 4,
(5) 4 5 4.
g b
g b b
g b b b
g b b b b
g b b b b b
（2）一方面， 1( 1) ( ) mg m g m b n ，根据“数列 A 含有 n 项”及 jb 的含义知 1mb n ，
故 0)()1( mgmg ，即 )1()( mgmg ① …………………7 分
另一方面，设整数 1 2max , , , nM a a a ，则当 m M 时必有 mb n ，
所以 (1) (2) ( 1) ( ) ( 1)g g g M g M g M
所以 ( )g m 的最小值为 ( 1)g M . …………………9 分
下面计算 ( 1)g M 的值：
1 2 3 1( 1) ( 1)Mg M b b b b n M
1 2 3 1( ) ( ) ( ) ( )Mb n b n b n b n
2 3 3 4 4 5( ) ( ) ( ) ( )M M M Mk k k k k k k k k k
2 3[ 2 ( 1) ]Mk k M k
1 2 3 1 2( 2 3 ) ( )M Mk k k Mk k k k
1 2 3( )n Ma a a a b
1 2 3( )na a a a n …………………12 分
∵ 1 2 3 100na a a a n ， ∴ ( 1) 100,g M
∴ ( )g m 最小值为 100 . …………………13 分
说明：其它正确解法按相应步骤给分.
新 课 标第 一网
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