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高三第二次调研测试数学参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．D 2．B 3．B 4．B 5．C 6．A 7．C 8．C
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9． C 10．ABD 11．BCD 12．ACD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．0.4 14．答案不唯一，只要形如 2a， 或 2a， ，其中 0 1a ≤ 的均正确．
15． 1
3
16．198
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．解：在直角三角形 ABD中， 2 2
2 2 2 2
2 4
b cBD AD AB c ，所以
2
cBD ．
所以 5sin
5
BDA
AD
． ……2 分
又因为 1sin Ac ，所以 5c ． ……4 分
由 5b c 得， 5b ．因为 5sin
5
A ， π0 2A ， ，则 2 2 5cos 1 sin
5
A A ……5 分
在 ABC△ 中，由余弦定理，得 2
2 2 55 5 2 5 5 10
5
a ． ……7 分
由正弦定理，得
sin sin
a b
A ABC
，即 105
sin 5
5
ABC
，所以 2sin 2ABC ．……9 分
又因为 π π2ABC ， ，所以 3π
4
ABC ． ……10 分
18．解：（1）当 2n≥ 时，因为 1 4n nS a ，所以 14n nS a ，两式相减得， 1 14 4n n na a a ．
所以 1 12 2 2n n n na a a a ． ……2 分
当 1n 时，因为 1 4n nS a ，所以 2 14S a ，又 1 4a ，故 2 12a ，于是 2 12 4a a ，
所以 1 2n na a 是以 4 为首项 2 为公比的等比数列． ……3 分
所以 1
1 2 2nn na a
，两边除以 12n 得， 1
1 1
2 2
n n
n n
a a
． ……4 分
又 1 22
a
，所以
2
n
n
a
是以 2 为首项 1 为公差的等差数列．
所以 1
2
n
n
a
n ，即 1 2nna n ． ……6 分
（2）若选①： 1n n nb a a ，即 12 2 1 2 3 2n n n
nb n n n ．……8 分
A
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因为 1 2 34 2 5 2 6 2 3 2nnT n ，
所以 2 3 4 12 4 2 5 2 6 2 3 2nnT n ．
两式相减得， 1 2 3 14 2 2 2 2 3 2n n
nT n ……10 分
1
1
4 2 1
8 3 2
2 1
n
nn
所以 12 2 4n
nT n . ……12 分
若选②： 2log n
n
a
b n ，即 2 2 2
1 1log log 2 logn
n
n nb nn n
． ……8 分
所以 2 2 2
2 3 1log log log 1 21 2n
nT nn
2
12 3 1log
1 2 2
n nn
n
2
1
log 1
2
n n
n
……12 分
若选③： 2
1
n
n
n n
a
b
a a
，即 1
1 1
4 4 1 14n n
n
n n n n
a ab a a a a
． ……8 分
所以
1 2 2 3 1
1 1 1 1 1 14 4 4n
n n
T
a a a a a a
1 1
1 14
na a
……10 分
1
1 14 4 2 2nn
1
11
2 2nn
． ……12 分
19．解：（1）因为 1AO 平面 ABC， AC ⊂平面 ABC，所以 1AO AC ． ……1分
又因为 1AC A B ， 1 1 1A B AO A ， 1A B ⊂平面 1A BO， 1AO⊂平面 1A BO，
所以 AC 平面 1A BO． ……3分
又因为 BC⊂平面 A1BO，所以 AC BC ． ……4 分
（2）以O为坐标原点，与CA平行的直线为 x轴，OB所在直线为 y轴， 1OA 所在直线为 z轴，
建立如所示的空间直角坐标系 O xyz，
则 (0 0 0)O ， ， ， (2 3 1 0)A ， ， ， (0 1 0)B ， ， ， 1(0 0 1)A ， ， ．
所以 (0 1 0)OB ， ，
， ( 2 3 2 0)AB ， ，
， 1 (0 0 1)OA ， ，
，
于是 4AB ．由 1 1 1ABC A BC 是三棱台，所以 1 1//AB A B ．
又因为 1 1 2A B ，所以 1 1
1 ( 3 1 0)
2
A B AB ， ，
．
所以 1 1 1 1 ( 3 1 1)OB OA A B ， ，
． ……7 分
设平面 1 1BBC C 的法向量 ( )x y z ， ，n ，由
1
0
0
OB
OB
，
，
n
n
得
0
3 0
y
x y z
，
，
取 1x ，则 0y ， 3z ，即 (1 0 3) ， ，n ……9 分
因为 1OA 平面 ABC，所以平面 ABC的法向量为 1 (0 0 1)OA ， ，
． ……10 分
所以
1
1 2
2 2 2 2 21
1 0 0 0 3 1 3cos
2| | | | 1 0 3 0 0 1
OAOA
OA
，
nn
n
，
因为二面角 1B BC A 为钝二面角，所以二面角 1B BC A 的大小是 5π
6
． ……12 分
20．解：（1）依题意， X 的所有可能取值为 0，1，2，3，且
C
A
B
O
1C 1B
1A
y
z
x
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3 2
1
3
1 2 1 1 10 C
3 3 3 3 9
P X ， 2 2
2
4
2 1 1 81 C
3 3 3 81
P X ，
2 2
2
4
2 1 2 162 C
3 3 3 81
P X ， 2 3
2
3
2 1 2 2 163 C
3 3 3 3 27
P X ， ……4 分
所以 X 的概率分布列为
X 0 1 2 3
P 1
9
8
81
16
81
16
27
所以 1 8 16 16 1840 1 2 39 81 81 27 81E X ． ……6 分
（2）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件 A．设第 i场甲、乙两队积分分别为 iX ，
iY，则 3i iY X ， 1i ， 2．因两队积分相等，则 1 2 1 2X X Y Y ，即
1 2 1 23 3X X X X ，则 1 2 3X X ……8 分
所以 1 2 1 20 3 1 2P A P X P X P X P X
1 2 1 22 1 3 0P X P X P X P X ……10 分
1 16 8 16 16 8 16 1
9 27 81 81 81 81 27 9 1120
6561
答：甲、乙比赛两场后，两队积分相等的概率为
1120
6561． ……12 分
21．解：（1）设 1( 0)F c ， ， 2 ( 0) ( 0)F c c ， ，其中 2 2c a b ．
因为 1 2 10PF PF ，所以 2 23 1 3 1 10c c ，
解得 2 16c 或 0c ，又 0c ，故 4c ． ……2 分
所以 2 22 3 4 1 3 4 1 4 2a ，即 2 2a ． ……4 分
所以 2 2 2 8b c a ．
所以C的方程为
22
1
8 8
yx ． ……5 分
（2）设 1 1A x y， ， 2 2B x y， ，则 2 2D x y ， ．
设直线 l方程为 3y x m ，与双曲线C方程联立，消去 y得， 2 28 6 8 0x mx m ．
由 2 26 32 8 0m m ，得 8m ． 1 2
3
4
mx x ，
2
1 2
8
8
mx x ． ……7 分
所以
2
2
1 2 1 2 1 2 1 23 3 9 3 98
my y x m x m x x m x x m ． ……8 分
所以 1 2 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1
3 3 3 3 9
y y y y y yk k
x x x x x x
……10 分
2
1 2
2
1 2
8 38 1
8 38
m x x
m x x
． 所以 1 2k k 为定值． ……12 分
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22．解：（1） ( )f x 的定义域为 (0 ) ， ，
( ) 1( ) ln
eax
f xg x a x a
x
，则 2
1( ) axg x
x
．
1 当 0a≤ 时， ( ) 0g x 在 (0 )x ， 上恒成立， ( )g x 单调递减； ……2 分
2 当 0a 时，令 ( ) 0g x 得， 1x a ，所以，当 10x a ， 时， ( ) 0g x ， ( )g x 递减；当
1x a ， 时， ( ) 0g x ， ( )g x 递增．
综上，当 0a≤ 时， ( )g x 的减区间为 (0 ) ， ，无增区间；
当 0a 时， ( )g x 的减区间为 10 a， ，增区间为 1
a ， . ……4 分
（2）①因为 ( )f x 有两个极值点，所以 ( )g x 有两个零点.由（1）知， 0a≤ 时不合；
当 0a 时， 1( ) (2 ln )g x g a aa
极小值
．
（ⅰ）当 20 ea 时， 1( ) 0g x g a ， ( )g x 没有零点，不合；
（ⅱ）当 2ea 时， 1 0g a ， ( )g x 有一个零点 1
a
，不合；
（ⅲ）当 2ea 时， 1 0g a ． ……6 分
2
1 ( 1 2ln )g a a a
a
，设 ( ) 1 2lna a a ， 2ea ，则 2( ) 1 0a a ．
所以 2 2( ) (e ) e 3 0a ，即 2
1 0g
a
．所以存在 1 2
1 1x aa
， ，使得 1( ) 0g x ．
又因为 1 e 0 eg ，所以存在 2
1 1
ex a ， ，使得 2( ) 0g x ． ( )f x 的值变化情况如下表：
x 1(0, )x 1x 1 2( , )x x 2x 2( , )x
( )f x 0 0
( )f x ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以当 2ea 时， ( )f x 有两个极值点.综上， a的取值范围是 2(e ) ， . ……8 分
②因为
3
22ea ， 2 3 2ln 02g aa a ，所以 1 22
1 1 2x xa aa
. ……9 分
因为 1x ， 2x 是 1( ) lng x a x a x 的两个零点，所以 1
1
1ln 1x ax ， 2
2
1ln 1x ax ．
所以
1 11 1
2
1 1 1
( ) e (ln 1) e
ax axf x x
x x ax
，
2 22 2
2
2 2 2
( ) e (ln 1) e
ax axf x x
x x ax
．
记 2
e( )
ax
h x
ax
( 2
1 2x aa
)，则
3
2e
( ) 0
ax x ah x
x
，所以 ( )h x 在 2
1 2
aa
， 上单调递增．
又因为 1 22
1 1 2x xa aa
，所以 1 2( ) ( )h x h x ，即 1 2
1 2
( ) ( )f x f x
x x
． ……12 分
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