第 6 讲 体积公式与体积变换
一．填空题（共 2 小题）
1．在正三棱锥 A BCD 中， E 、 F 是 AB 、 BC 的中点， EF DE ，若 BC a ，则正三棱锥 A BCD 的体
积为 32
24 a ．
【解答】解： / /EF AC ， EF DE
AC DE
AC BD （正三棱锥性质）
AC 平面 ABD
所以正三棱锥 A BCD 是正方体的一个角， 2
2AB a
正三棱锥 A BCD 的体积 31 1 2 2 2 2
3 2 2 2 2 24V a a a a
故答案为： 32
24 a
2．已知两平行平面 、 间的距离为 2 3 ，点 A 、 B ，点 C 、 D ，且 4AB ， 3CD ，若异面直
线 AB 与 CD 所成角为 60 ，则四面体 ABCD 的体积为 6 ．
【解答】解：在 内过 C 作 / /CE AB ，使得 CE AB ，
则四边形 CEBA 是平行四边形，
两平行平面 、 间的距离为 2 3 ，
B 到平面 CDE 的距离 2 3h ．
1 1 1 3 4 sin 60 2 3 63 3 2D ABC D BCE B CDE CDEV V V S h ．
故答案为：6．
二．解答题（共 15 小题）
3．如图，四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD ， 1
2AB BC AD ，
90BAD ABC ．
（1）证明：直线 / /BC 平面 PAD ；
（2）若 PCD 面积为 2 7 ，求四棱锥 P ABCD 的体积．
【解答】（1）证明：四棱锥 P ABCD 中， 90BAD ABC ． / /BC AD ， AD 平面 PAD ，BC
平面 PAD ，
直线 / /BC 平面 PAD ；
（2）解：四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD ， 1
2AB BC AD ，
90BAD ABC ．设 2AD x ，
则 AB BC x ， 2CD x ， O 是 AD 的中点，
连接 PO ， OC ， CD 的中点为： E ，连接 OE ，
则 2
2OE x ， 3PO x ， 2 2 7
2
xPE PO OE ，
PCD 面积为 2 7 ，可得： 1 2 72 PE CD ，
即： 1 7 2 2 72 2
x x ，解得 2x ， 2 3PO ．
则 1 1 1 1( ) (2 4) 2 2 3 4 33 2 3 2P ABCDV BC AD AB PO ．
4．如图，在三棱锥 P ABC 中， PA AB ， PA BC ， AB BC ， 2PA AB BC ， D 为线段 AC 的中
点， E 为线段 PC 上一点．
（1）求证： PA BD ；
（2）求证：平面 BDE 平面 PAC ；
（3）当 / /PA 平面 BDE 时，求三棱锥 E BCD 的体积．
【解答】解：（1）证明：由 PA AB ， PA BC ，
AB 平面 ABC ， BC 平面 ABC ，且 AB BC B ，
可得 PA 平面 ABC ，
由 BD 平面 ABC ，
可得 PA BD ；
（2）证明：由 AB BC ， D 为线段 AC 的中点，
可得 BD AC ，
由 PA 平面 ABC ， PA 平面 PAC ，
可得平面 PAC 平面 ABC ，
又平面 PAC 平面 ABC AC ，
BD 平面 ABC ，且 BD AC ，
即有 BD 平面 PAC ，
BD 平面 BDE ，
可得平面 BDE 平面 PAC ；
（3） / /PA 平面 BDE ， PA 平面 PAC ，
且平面 PAC 平面 BDE DE ，
可得 / /PA DE ，
又 D 为 AC 的中点，
可得 E 为 PC 的中点，且 1 12DE PA ，
由 PA 平面 ABC ，
可得 DE 平面 ABC ，
可得 1 1 1 2 2 12 2 2BDC ABCS S ，
则三棱锥 E BCD 的体积为 1 1 11 13 3 3BDCDE S ．
5．如图四面体 ABCD 中， ABC 是正三角形， AD CD ．
（1）证明： AC BD ；
（2）已知 ACD 是直角三角形，AB BD ，若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且 AE EC ，求四面体 ABCE
与四面体 ACDE 的体积比．
【解答】证明：（1）取 AC 中点 O ，连结 DO 、BO ，
ABC 是正三角形， AD CD ，
DO AC ， BO AC ，
DO BO O ， AC 平面 BDO ，
BD 平面 BDO ， AC BD ．
解：（2）法一：连结 OE ，由（1）知 AC 平面 OBD ，
OE 平面 OBD ， OE AC ，
设 2AD CD ，则 1OC OA ， EC EA ，
AE CE ， 2AC ， 2 2 2EC EA AC ，
2EC EA CD ，
E 是 线 段 AC 垂 直 平 分 线 上 的 点 ，
2EC EA CD ，
由余弦定理得：
2 2 2 2 2 2
cos 2 2
BC BD CD BC BE CECBD BC BD BC BE
，
即
24 4 2 4 2
2 2 2 2 2
BE
BE
，解得 1BE 或 2BE ，
2BE BD ， 1BE ， BE ED ，
四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的高都是点 A 到
平面 BCD 的高 h ，
BE ED ， DCE BCES S ，
四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比为 1．
法 二 ： 设 2AD CD ， 则
2AC AB BC BD ， 1AO CO DO ，
4 1 3BO ， 2 2 2BO DO BD ，
BO DO ，
以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OD 为 z 轴，
建立空间直角坐标系，
则 ( 1C ，0，0) ， (0D ，0，1) ， (0B ， 3 ，0) ，
(1A ，0， 0) ，
设 (E a ， b ， )c ， DE DB ， (0 1) ，则 (a ，
b ， 1) (0c ， 3 ， 1) ，解得 (0E ， 3 ，1 ) ，
(1, 3 ,1 )CE ， ( 1, 3 ,1 )AE ，
AE EC ， 2 21 3 (1 ) 0AE CE
，
由 [0 ，1]，解得 1
2
， DE BD ，
四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的高都是点 A 到
平面 BCD 的高 h ，
DE BD ， DCE BCES S ，
四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比为 1．
6．如图，在四棱锥 P ABCD 中， / /AB CD ，且 90BAP CDP
（1）证明：平面 PAB 平面 PAD ．
（2）若 PA PD AB DC ， 90APD ，四棱锥 P 一 ABCD 的体积为 9，求四棱锥 P ABCD 的侧面积
【解答】证明：（1） 90BAP CDP ， PA AB ， PD DC ，
/ /AB CD ， PD AB ， AB 平面 PAD ，
AB 平面 PAB ，
平面 PAD 平面 PAB ．
解：（2）设 PA PD AB DC a ，
2AD BC a ，
过 P 作 PE AD ， E 为垂足，
AB 平面 PAD ， AB PE ，
AB AD A ， PE 平面 ABCD ，
1 2 2 93 2P ABCDV a a a ，
解得 3a ，
四棱锥 P ABCD 的侧面积：
PAD PAB PDC PBCS S S S S
2 2 21 1 1 1 32 22 2 2 2 2a a a a a
2(3 3) 27 9 3
2 2
a ．
7．如图，已知正三棱锥 P ABC 的侧面是直角三角形， 6PA ，顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D ，D
在平面 PAB 内的正投影为点 E ，连接 PE 并延长交 AB 于点 G ．
（Ⅰ）证明： G 是 AB 的中点；
（Ⅱ）在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F （说明作法及理由），并求四面体 PDEF 的体积．
【解答】解：（Ⅰ）证明： P ABC 为正三棱锥，且 D 为顶点 P 在平面 ABC 内的正投影，
PD 平面 ABC ，则 PD AB ，
又 E 为 D 在平面 PAB 内的正投影，
DE 面 PAB ，则 DE AB ，
PD DE D ，
AB 平面 PDE ，连接 PE 并延长交 AB 于点 G ，
则 AB PG ，
又 PA PB ，
G 是 AB 的中点；
（Ⅱ）在平面 PAB 内，过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F ， F 即为 E 在平面 PAC 内的正投影．
正三棱锥 P ABC 的侧面是直角三角形，
PB PA ， PB PC ，
又 / /EF PB ，所以 EF PA ， EF PC ，因此 EF 平面 PAC ，
即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影．
连结 CG ，因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D ，所以 D 是正三角形 ABC 的中心．
由（Ⅰ）知， G 是 AB 的中点，所以 D 在 CG 上，故 2
3CD CG ．
由题设可得 PC 平面 PAB ， DE 平面 PAB ，所以 / /DE PC ，因此 2
3PE PG ， 1
3DE PC ．
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 6PA ，可得 2DE ， 3 2PG ， 2 2PE ．
在等腰直角三角形 EFP 中，可得 2EF PF ．
所以四面体 PDEF 的体积 1 1 1 42 2 23 3 2 3PEFV DE S ．
8．如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ，点 E 、F 分别在 AD ，CD 上，AE CF ，EF 交 BD 于
点 H ，将 DEF 沿 EF 折到△ D EF 的位置．
（Ⅰ）证明： AC HD ；
（Ⅱ）若 5AB ， 6AC ， 5
4AE ， 2 2OD ，求五棱锥 D ABCFE 体积．
【解答】（Ⅰ）证明：菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点O ，点 E 、F 分别在 AD ，CD 上，AE CF ，
/ /EF AC ，且 EF BD
将 DEF 沿 EF 折到△ D EF 的位置，
则 D H EF ，
/ /EF AC ，
AC HD ；
（Ⅱ）若 5AB ， 6AC ，则 3AO ， 0 4B OD ，
5
4AE ， 5AD AB ，
5 155 4 4DE ，
/ /EF AC ，
15
34
5 4
DE EH DH
AD AO OD
，
9
4EH ， 92 2EF EH ， 3DH ， 4 3 1OH ，
3HD DH ， 2 2OD ，
满足 2 2 2HD OD OH ，
则 OHD 为直角三角形，且 OD OH ，
又 OD AC ， AC OH O ，
即 OD 底面 ABCD ，
即 OD是五棱锥 D ABCFE 的高．
底面五边形的面积
9( 6) 11 ( ) 1 21 6926 4 122 2 2 2 4 4
EF AC OHS AC OB
，
则五棱锥 D ABCFE 体积 1 1 69 23 22 23 3 4 2V S OD ．
9．如图，三棱锥 A BCD 中， AB 平面 BCD， CD BD ．
（Ⅰ）求证： CD 平面 ABD ；
（Ⅱ）若 1AB BD CD ， M 为 AD 中点，求三棱锥 A MBC 的体积．
【解答】（Ⅰ）证明： AB 平面 BCD， CD 平面 BCD，
AB CD ，
CD BD ， AB BD B ，
CD 平面 ABD ；
（Ⅱ）解： AB 平面 BCD， BD 平面 BCD，
AB BD ．
1AB BD ，
1
2ABDS ，
M 为 AD 中点，
1 1
2 4ABM ABDS S ，
CD 平面 ABD ，
1 1
3 12A MBC C ABM ABMV V S CD ．
10．如图， ABC 和 BCD 所在平面互相垂直，且 2AB BC BD ， 120ABC DBC ，E 、F 、G
分别为 AC 、 DC 、 AD 的中点，连接 CG 、 EF 、 BG ．
（1）求证： EF 平面 BCG ；
（2）求三棱锥 D BCG 的体积．
【解答】（1）证明： 2AB BC BD ． 120ABC DBC ，
ABC DBC ，则 AC DC ，
G 为 AD 的中点， CG AD ，同理 BG AD ，
又 CG BG G ， AD 平面 BGC ，
/ /EF AD ， EF 平面 BCG ；
（2）解：在平面 ABC 内，作 AO CB ，交 CB 的延长线于O ，
ABC 和 BCD 所在平面互相垂直， AO 平面 BCD，
G 为 AD 的中点， G 到平面 BCD的距离 h 是 AO 长度的一半．
在 AOB 中， sin60 3AO AB ，
1 1 1 3 1sin1203 3 2 2 2D BCG G BCD DCBV V S h BD BC ．
11．如图，四棱锥 P ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形， PO 底面 , 2, ,3ABCD AB BAD M 为 BC
上一点，且 1
2BM ．
（1）证明： BC 平面 POM ；
（2）若 MP AP ，求四棱锥 P ABCD 的体积．
【解答】（1）证明：如图所示，
ABD 为正三角形， 1 12OB BD ．
在 OBM 中，由余弦定理可得： 2 2 21 1 31 ( ) 2 1 cos2 2 3 4OM ，
2 2 2 1OM BM OB ， OM BC ．
PO 平面 ABCD ， PO BC ．
由 PO OM O ， BC 平面 POM ．
（2）解：由（1）可得： OP OM ， OP OA ， 2 2 23( )2MP OP ， 2 2 2( 3)AP OP ．
在 ABM 中，由余弦定理可得： 2 2 21 1 2 212 ( ) 2 2 cos2 2 3 4AM ．
MP AP ， 2 2 2 2 2 2 23 21( 3) ( )2 4AP MP OP OP AM ，
3
2OP ．
2 2 3sin 2 2 33 2ABCDS AB ．
1 1 3 2 3 13 3 2P ABCD ABCDV OP S ．
12．如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA 平面 ABCD ， E 为 PD 的中点．
（1）证明： / /PB 平面 AEC ；
（2）设 1AP ， 3AD ，三棱锥 P ABD 的体积 3
3V ，求 A 到平面 PBC 的距离．
【解答】（1）证明：设 BD 与 AC 的交点为 O ，连接 EO ．
因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点，又 E 为 PD 的中点，所以 / /EO PB ．
又因为 EO 平面 AEC ， PB 平面 AEC ，所以 / /PB 平面 AEC ．
（2）解： 1 3
6 6V PA AB AD AB ．由 3
3V ，可得 2AB ．
作 AH PB 交 PB 于 H ．由题设知 AB BC ， PA BC ，且 4PA AB ，所以 BC 平面 PAB ，
又 AH 平面 PAB ，所以 BC AH ，又 PB BC B ，做 AH 平面 PBC ．
PB 平面 PBC ， AH PB ，在 Rt PAB 中，由勾股定理可得 5PB ，
所以 2 5
5
PA PBAH PB
，所以 A 到平面 PBC 的距离为 2 5
5
．
13．如图，三棱柱 1ABC A 1 1BC 中， CA CB ， 1AB AA ， 1 60BAA ．
（1）证明： 1AB AC ；
（2）若 2AB CB ， 1 6AC ，求三棱锥C A 1BC 的体积．
【解答】（1）证明：取 AB 的中点 O ，连接 CO ， 1OA ， 1A B ．
CA CB ，
CO AB ，
又 1AB AA ， 1 60oBAA ．
△ 1A AB 为等边三角形．
1AO AB ，
又 CO 平面 1COA ， 1AO 平面 1COA ， 1CO AO O ．
AB 平面 1COA ．
又 1AC 平面 1COA ，
因此 1AB AC ；
（2）解：在等边 ABC 中 32 32CO ，
在等边△ 1A AB 中 1
32 32AO ；
在△ 1AOC 中 2 2 2
1 13 3 6OC AO AC ．
△ 1AOC 是直角三角形，且 1 90oAOC ，故 1OC AO ．
又 OC 、 AB 平面 ABC ， OC AB O ，
1AO 平面 ABC ．
故 1AO 是三棱锥 1A ABC 的高．
又 1 2 2sin60 32
o
ABCS ．
三棱锥 1A ABC 的体积 1
1 1 3 3 13 3ABCV S AO ．
三棱锥 1C ABC 的体积为 1．
14．如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， O 为 AB 的中点， CA CB ， 1AB AA ， 1 60BAA ．
（Ⅰ）证明： AB 平面 1AOC ；
（Ⅱ）若 2AB CB ， 1OA OC ，求三棱锥 1A ABC 的体积．
【解答】解：（Ⅰ）证明：在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， O 为 AB 的中点， CA CB ， 1AB AA ，
CO AB ， 1AO AB ，
1CO AO O ， AB 平面 1AOC ．
（Ⅱ）解： 2AB CB ， 1 60BAA ， 1OA OC ，
又 AB 平面 1AOC ． 1AO 平面 ABC ，
三棱锥 1A ABC 的体积：
1
2 2 2 2
1
1 1 12 1 2 2 1 13 3 2A ABC ABCV AO S ．
15．如图，直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中， / /AB CD ， AD AB ， 2AB ， 2AD ， 1 3AA ， E 为 CD
上一点， 1DE ， 3EC
（1）证明： BE 平面 1 1BB C C ；
（2）求三棱锥 1 1 1B EAC 的体积．
【解答】证明：（1）过 B 作 CD的垂线交 CD于 F ，
则 2, 1, 2BF AD EF AB DE FC
在 , 3, , 6Rt BFE BE Rt BFC BC 中 中 ．
在 BCE 中， 2 2 29BE BC EC ，
BE BC ， 1BB 平面 ABCD ， 1BE BB ，
1BC BB B ， BE 平面 1 1BB C C ，
（2）点 E 到平面 11 1A C 的距离为 1 3AA ，
三棱锥 1 1 1B EAC 的体积：
1 1 1 1 1 1 1 1 11
1
3B EA C A A B C A B CV V AA S
1 1 13 [ (2 4) 2 4 2] 23 2 2
．
16．如图，在直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中，底面 ABCD 为梯形， / /AB CD ， 60BAD ， 1CD ， 2AD ，
4AB ，点 G 在线段 AB 上， 3AG GB ， 1 1AA ．
（1）证明： 1 / /D G 平面 1 1BB C C ；
（2）求点 C 到平面 1DC G 的距离．
【解答】（1）证明：在四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中，有 1 1/ /DD CC ，
1DD 平面 1 1BB C C ， 1CC 平面 1 1BB C C ，则 1 / /DD 平面 1 1BB C C ；
/ /DC GB ，由已知可得 1DC GB ，四边形 GBCD 为平行四边形，得 / /DG BC ，
DG 平面 1 1BB C C ， BC 平面 1 1BB C C ，则 / /DG 平面 1 1BB C C ．
又 1DD DG D ，平面 1 / /DD G 平面 1 1BB C C ．
而 1D G 平面 1DD G ， 1 / /D G 平面 1 1BB C C ；
（2）解：在底面梯形 ABCD 中， 60BAD ， 2AD ，
得 D 到 AB 的距离为 2 sin60 3 ，又 1DC ，
1 31 32 2DCGS ，又 1 1 1CC AA ，
则
1
1 3 313 2 6C DGCV ．
在 Rt △ 1C CD 中，由 1 1DC CC ，得 1 2C D ．
在 ADG 中，由 2AD ， 3AG ， 60DAG ，得 2 2 12 3 2 2 3 72DG ．
在底面梯形 ABCD 中，分别过 D ， C 作 AB 的垂线 DE ， CF ，
求得 1AE EF FG ， 3DE CF ，则 2CG ，
在 Rt △ 1C CG 中，可得 2 2
1 2 1 5C G ．
在△ 1C DG 中，由 1 2C D ， 1 5C G ， 7DG ，得 2 2 2
1 1C D C G DG ，
1 1C D C G ，得
1
1 102 52 2C DGS ，设点 C 到平面 1DC G 的距离为 h ．
则由
1 1C DGC C DC GV V ，得 3 1 10
6 3 2 h ，得 30
10h ．
即点 C 到平面 1DC G 的距离为 30
10
．
17．如图所示，在直四棱柱 ABCD A B C D 中，底面 ABCD 为直角梯形， / /AB CD ， AD AB ．连
接 BD ， AC ，已知 2AB ， 4CD ， 3AD ， E 为线段 DD 上的一点，且满足 E 为线段 DD 上的
一点，且满足 2
3ED DD ．
（1）证明： / /BD 平面 EAC ；
（2）若该四棱柱高为 9
2
， AC BD O ， M 为OD的中点，求三棱锥的 M ACE 体积．
【解答】（1）证明：连接 BD ，设 BD AC O ，连接 EO ，
底面 ABCD 为直角梯形，故 / /AB CD ，
~ABO CDO ，
又 1
2AB CD ， 2DO BO ， 2
3DO DB ，
在 DBD 中， 2
3DO DB ， 2
3ED DD ，
/ /EO BD ，
又 EO 平面 EAC ， BD 平面 EAC ，
/ /BD 平面 EAC ．
（2）解： M 为OD 的中点，
M 到面 EAC 的距离为 D到面 EAC 的距离的一半，
1 1
2 2M ACE D ACE A CEDV V V ， 1 1 3 4 32 2 2CEDS D E CD ，
1 1 3 3 33 3A CED CEDV S AD ，
1 3
2 2M ACE A CEDV V ．
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