数学答案.docx

第 1 页 共 7 页 2020 学年第二学期杭州二中高三仿真考 数学试题卷 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页，选择题部分 1 至 2 页；非选择题部分 3 至 4 页。 满分 150 分。考试用时 120 分钟。 考生注意： 1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定 的位置上。 2. 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的 作答一律无效。 参考公式： 若事件 ,A B 互斥，则      P A B P A P B   若事件 ,A B 相互独立，则     ( )P AB P A P B 若事件 A 在一次试验中发生的概率为 p ，则 n 次 独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 ( ) (1 ) ( 0,1,2, , )k k n k n nP k C p p k n    台体的体积公式  1 1 2 2 1 3V S S S S h   其中 1 2,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示 台体的高 柱体的体积公式V Sh 其中 S 表示柱体的底面积， h 表示柱体的高 锥体的体积公式 1 3V Sh 其中 S 表示锥体的底面积， h 表示锥体的高 球的表面积公式 24S R 球的体积公式 34 3V R 其中 R 表示球的半径 选择题部分（共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.已知双曲线的渐近线方程为 y x  ，则离心率为（ ） A. 3 2 B. 2 C. 2 D. 3 2.已知虚数 x 满足 3 1x  ， x 表示 x 的共轭复数，则结论不正确的是（ ） A. 2 1x  B. 1x x  C. 2x x D. x x 3.小猫在一个物理问题计算过程中遇到了对数据 121.002 的处理，经过思考，小猫决定采用精确到 0.001的 近似值，则这个近似值是（ ） 第 2 页 共 7 页 A. 1.000 B. 1.024 C. 1.025 D. 1.023 4.函数   cos xf x x  的图象大致是（ ） 5.已知正实数 , ,a b c ，且 3a b c   ，则“ ln ln lna b c  ”是“ 1 1 a c    ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.定义 x 表示不超过 x 的最大整数，若数列 na 的通项公式为 3 1na n  ，则满足等式 3 101 2 5 5 5 5 a aa a                         （ ） A. 30 B. 29 C. 28 D. 27 7.函数   sinf x ax x  的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数 a 的取值范围是（ ） A.  0,1 B.  0 C.  0,1 D.  1, 8.定义集合           , , , , cos sin 2, 0.2 , , 2x y x R y R M x y x y N x y x y              ，则下 列判断正确的是（ ） A. M N   B.  C M N   C. 若 1 2 3 1 2 2 2, , , : cos sin 2, : cos sin 23 3l l l M l x y l x y                    ， 3 2 2: cos sin 23 3l x y               ，则由 1 2 3, ,l l l 围成的三角形一定是正三角形，且所有正三角形面积一 定相等 D. 满足 P M 且 P N 的点 P 构成区域的面积为  4 1  9.已知 AB 是 O 的定直径，过 O 上的动点 P 作切线与过点 ,A B 的切线分别交于点 M N、 ，连接 ,BM AN 交于点T ，则点T 的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线的一段 D. 线段 10.在 ABC 中， ,M N 是边 BC 上的点，且 BM MN NC  ，若 2AB AM AC AN      ，则 cos AMN 的最小 值（ ） 第 3 页 共 7 页 A. 1 7 B. 2 2 7 C. 3 7 D. 4 7 非选择题部分（共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。 11.定义集合     2 21 , 2 3 0A x f x x B x x x       ，则 A B  ； RA C B  12.已知实数 ,x y 满足 0 0 2 x y x y       ，则 2 1 y x   的最大值是 ；若不等式 2ax y  恒成立，则实数 a 的 取值范围是 13.如图， ABC 的三边 10, 12,AB BC  14CA  , ,D E F 分别是三边的中点，沿 , ,DF FE ED 将 , ,ADF CEF BED   折起，使得 , ,A B C 重合于点 P ，则四面体 PDEF 的表面积为 ；体积 为 14.在 ABC 中，  22sin 3sin , sin 2cos sin2 A A B C B C   ，则 A  ， tanC  15.有 3 个人在一楼进入电梯，楼上共有 4 层，设每个人在任何一层出电梯的概率相等，并且各层楼无人 再进电梯，设电梯中的人走空时电梯需停的次数为 ，则  E   16.从集合 0,1,2,3,4,5,6 中任意取 5 个不同的数字组成五位单伞数（中间数为数字最大，从中间向两侧依 次递减），则这样的不同五位单伞数共有 个（用数字作答） 17.已知三棱锥 P ABC 中， , , 3PA PB PA PC BPC     ，且 1, 2, 3PA PB PC   ，长度为 1 的线段 MN 的端点 M 在 PA 上，端点 N 在侧面 PBC 内运动，若 MN 的中点为T ， ABC 的重心为 G ，则GT 的最小值 是 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.（本小题满分 14 分）已知 0, 3      且满足： 4 3sin sin 3 5        （Ⅰ）求 cos 2 3     的值； （Ⅱ）已知函数   sin cos cos sin6 6f x x x               ，若方程  f x a 在区间 0, 2      内有两个不同的 解，求实数 a 的取值范围. 第 4 页 共 7 页 19.（本小题满分 15 分）已知三棱锥 P ABC ，侧面 PAC  底面 , 4, 3ABC PA AC BC   ，且 ,AC BC 120 ,PAC M   是 PC 的中点. （Ⅰ）求证： PB AM ； （Ⅱ）求直线 AM 与平面 PAB 所成角的余弦值. 第 5 页 共 7 页 20.（本小题满分 15 分）在已知确定的 ABC 内部进行以下操作：第 1 次取 1 个点 1P ，连接 , ,A B C 得到 1a 个 三角形；第 2 次在得到的 1a 个三角形中选 2 个，在其内部各取 1 个点分别为 21 22,P P ，连接它们所在区域的 三角形的三个顶点把 ABC 划分总共得到 2a 个不同的三角形；第 3 次在得到的 2a 个三角形中选 3 个，在其 内部各取 1 个点分别为 31 32 33, ,P P P ，连接它们所在区域的三角形的三个顶点把 ABC 划分总共得到 3a 个不同 的三角形；…，第 n 次在得到的 1na  个三角形中选 n 个，在其内部各取 1 个点分别为 1 2, , ,n n nnP P P ，连接它 们所在区域的三角形的三个顶点把 ABC 划分总共得到 na 个不同的三角形. （Ⅰ）求数列 na 的通项公式； （Ⅱ）构造数列   1 1n nb n a   ，求证： 1 2 3 1 1 1 1 2 nb b b b      . 第 6 页 共 7 页 21.（本小题满分 15 分）已知 F 是抛物线 2 4y x 的焦点，过定点  2,1P 作直线l 交抛物线于 ,A B 两点，取 定点  1,1C  . （Ⅰ）若 0CF AB    ，求直线 l 的方程； （Ⅱ）是否存在直线 l ，使得 F 恰好是 ABC 的重心， 如果存在，求出 l 的方程；如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）求 ABC 面积的最小值. 第 7 页 共 7 页 22.（本小题满分 15 分）已知函数   xf x e mx  有两个不同的零点 1 2,x x ，且 1 2x x . （Ⅰ）求实数 m 的取值范围； （Ⅱ）若不等式    2 1xxf x mx x k e    对任意的  0,x  恒成立，求实数 k 的最大值； （Ⅲ）求证： 1 2 3 ex x m    . 2