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2021 届高三最后一卷·理科数学参考答案
题
号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答
案
C C B B C B D B B A D D
1.【解析】 (1, ), [ 2, 2], (1,2]M N M N .
2.【解析】因为 i 1 2iz ,所以 2 iz ,所以 2 iz . 5z , 1 2z , 2z i , 2 2z i .
3.【解析】略
4.【解析】由雷达图可知,A 校在本次模拟考试中,语文成绩较好,数学成绩较低,所以各科成绩不均衡,A
校和 B 校相比较,地理成绩差距大,历史成绩相同,语文成绩 A 校比 B校的好,数学、地理、化学科 B校的成
绩比 A 校好,综上可知说法正确的是 B.
5.【解析】注意分母恒大于 0,函数值的正负取决于分子二次函数的正负,选 C,
6.【解析】因为BD DC
,所以点D为 BC 的中点,又 2AM OD OM OA
,所
以 2OA OM OD
, 2OB OC OD
, 所 以
2 2OA OB OC OM OD OD OM
,所以 1 .故选 B.
7.【解析】因为 为锐角,且
1
0<
2
m ,所以 0
6 6
.又因为 2 2cos(2 ) 1 2sin ( ) 1 2
3 6
m
,所以
2 2 2 4 2sin(2 ) 1 (1 2 ) 4 4 2 1
3
m m m m m
, 2cos(2 ) cos(2 ) 2 1
6 3 2
m m
,故选 D.
8.【解析】因为 (1 ) (1 ) 0f x f x ,可知函数关于点 (1, 0) 中心对称,因为对任意的 [0,2]x , ( )f x 是单
调函数,且 [0,1)x 时, 2 2( ) 1xf x mx m .所以当
1
2
m
时,解得 2m ,当
0
2
m
,解得 0m ,综
上可得 ( , 0] [2, )m .
9.【解析】设 1 1( , )A x y , 2 2( , )B x y ,且线段 AB的中点坐标为 (2, 4)M ,则 1 2 1 24, 8x x y y ,
又 A, B 关于直线 6y x 对称,所以
1 2
1 2
1 1
y y
x x
,且 A, B 在双曲线上,
2 2
1 1
2 2
1
x y
a b
,
2 2
2 2
2 2
1
x y
a b
,
相减可得
2 2 2 2
1 2 1 2
2 2
0
x x y y
a b
,即 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
( )( ) ( )( )
0
x x x x y y y y
a b
,故 2 2
4 8
0
a b
,即
2
2
2
b
a
,
离心率为
2
2
1 3
b
e
a
,故选 B.
10.【解析】由余弦定理得 2 2 24 5 3
cos ,
2 4 5 5
4
A
sin ,
5
3
A
又 A C , 2 2 2+ =ABB ADD ,即0
2
A
,则
2
C
,所以 cos
5
4
C .
A
B
C
D
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在 BCD△ 中, 利用余弦定理
2 2 2 2 2 2 4
5
3
cos
2 2
BC CD BD BC CD
C
BC CD BC CD
,
整理得
22 2 8
9
2
5
9
5
BC CD BC CD BC CD BC CD .利用基本不等式得
2
2 2
4
2
5 5
9
BC CD
BC CD BC CD
,即
29
10
9BC CD
,解得3 10BC CD ,当
且仅当 10
2
BC CD
时,等号成立.所以四边形 ABCD 的面积为 3 4 1 10 10 3 27
+ =
2 2 2 2 5 4
.
11.【解析】依题意,令 3( ) 2sin cosf x x x ,所以
2 2 4( )=6sin cos 2sinf x x x x 2 2 2 2 22sin (3cos sin ) 2sin (4cos 1)x x x x x ,又 (0, )x ,令
( ) 0f x ,可得
1
cos
2
x ,所以
3
x
或
2
3
x
,当 (0, )
3
x
, ( ) 0f x ,所以 3( ) 2sin cosf x x x
在 (0, )
3
x
单调递增;当
2
( , )
3 3
x
, ( ) 0f x ,所以 3( ) 2sin cosf x x x 在
2
( , )
3 3
x
单调递减;当
2
( , )
3
x
, ( ) 0f x ,所以 3( ) 2sin cosf x x x 在
2
( , )
3
x
单调递增;又
3 3
( )
3 8
f
, ( ) 0f ,
所以实数 a 的最小值为
3 3
8
.
12.【解析】取 AC中点 D,则 PD AC ,BD AC ,D为直角 ABC 外接圆圆心,得 AB=BC=2,
AC= 2 2 ,BD= 2 ,PD= 3 ,作 PE BD 于 E ,易证 PE 平面 ABC ,故 PBE 就是 PB 与
平 面 ABC 所 成 角 , 故
2 2
cos PBD=
3
. 在 PBD 中 , 由 余 弦 定 理 得 ,
2 2 2
3=PB +2-2PB 2 2
3
,解得 PB=3,故 BE = 2 2 ,PE=1.建立空间直角坐标系,则
D(1,1,0),P(2,2,1),设外接球的球心 O 为(1,1,,z),由 OB=OP 得,1+1+z2=1+1+(z-1)2,解得
1
2
z
,故
1 3
R 1+1+ =
4 2
.
所以 23
4 ( ) 9
2
S .
13.【答案】5 4 0x y 【解析】由 ( ) (4 ln 1)f x x x 得
4
( ) 4 ln 1 4ln 5f x x x x
x
, (1) 1f ,则曲线
( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线斜率为 (1) 5k f ,因此所求切线方程为 (1 1)5y x ,即 5 4 0x y .
14.【答案】 2 2 【解析】由抛物线的定义可得 2 3
2
p
,解得 2p ,故 2 2 2 2 2 2t t .
15.【答案】5【解析】∵
2 2
5 5 5( )( ) ( ) ( )
y y
x x y x x y x y
x x
, 5( )x x y 的展开式通项为
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5
5Ck k k
kT x x y 6
5Ck k kx y , 5
2
( )x
x
y
y
的展开式通项为
2
5 4 2
5 5C Cr r r r r r
r
y
S x y x y
x
,由
6 3
4 3
k
r
,
可得
3
1
k
r
,因此,式子
2
5( )( )
y
x x y
x
的展开式中, 3 3x y 的系数为 3 1
5 5C C 5 .
16. 【答案】 3 ; (2 3,4]【解析】由 2sin 3 cos cos 3 cosb A a A C c A 及正弦定理,
得 sin sin 3 cos (sin cosB A A A C sin cos )C A ,即 sin sin 3 cos sin( )B A A A C ,∴ sin sin 3 cos sinB A A B ,
∵ 0
π
2
B ,∴ sin 0B ,可得 tan 3A ,∵
π
0
2
A ,∴
π
3
A .又∵ ABC△ 是锐角三角形,∴
0
2
2π
3
π
0
2
π
B
B
,
解得
π
6
π
2
B ,由正弦定理得
2 4 3
sin sin sin 33
2
b c a
B C A
,
4 3 2π 4 3 3
[sin sin( )] (sin cos
3 3 3 2
b c B B B B
1
sin )
2
B
4 3 3 3
( sin cos ) 4sin( )
3
π
2 2 6
B B B ,
∵
π
6
π
2
B ,∴
π π 2π
( , )
6 3 3
B ,∴
π 3
sin( ) ( ,1]
6 2
B ,∴ (2 3,4]b c .故答案为: 3 ; (2 3,4].
17.【解析】(1)由题设 12 ( 1)n nna n a ,所以 1 1
1 2
n na a
n n
,
数列{ }n
a
n
是首项为 2 ,公比
1
2
q 的等比数列,所以
1 2 21
2 ( ) 2 , 2
2
n n nn
n
a
a n
n
………………6 分
(2)
2
2 2
1 1 1
16 4 1 2 1 2 1
n
n n n n
n
a
b
n a
,注意对任意
*n N , 2 2n n
所以
1 1 1 1 1
( )
2 1 2 1 2 2 1 2 1
nb
n n n n
所以
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(1 ) (1 )
2 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1 2
nT
n n n
……………………………12 分
18.【解析】(1)依题意,由频率分布直方图可知, 2( 2 3 4 0.175 3 ) 1a a a a a , ……………2分
所以 0.025a ,……………………………………………………………………………………………………3分
所以抽取的 10%住户中,家庭人均年收入在 [6,8]万元的比重恰好为8 0.2a ,又恰好为 32 户,所有 10%住户共
计约为 160 户,………………………………………………………………………………………………………4分
进而可得该社区共有住户约 1600 户. ……………………………………………………………………………5分
(2)依题意,在家庭人均年收入不高于 8 万元的住户中分层抽样抽取 10 户,可知 10 户中,收入在 [0,2)是 1
户,[2,4) 是 2 户,[4,6)是 3户,[6,8]是 4户,其中不少于 6万的占 4户,再从这 10 户中随机抽取 4户对其住
房和医疗保健情况进行调查,所有 X 的可能值为 0,1,2,3,4. ……………………………………………6 分
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所以随机变量 X 的分布列
4
6
4
10
1
( 0)
14
C
P X
C
,
3 1
6 4
4
10
8
( 1)
21
C C
P X
C
;
2 2
6 4
4
10
3
( 2)
7
C C
P X
C
,
1 3
6 4
4
10
4
( 3)
35
C C
P X
C
,
0 4
6 4
4
10
1
( 4)
210
C C
P X
C
,
……………………………………………………………………………………………………………9分
即
X 0 1 2 3 4
P
1
14
8
21
3
7
4
35
1
210
……………………………………………………………………………………………………………………………10 分
所以
8 3 4 1 8
1 +2 +3 +4 =
21 7 35 210 5
EX . ………………………………………………………………12 分
19. 【解析】(1)证明:因为 AC=DC=DE=AE,所以四边形 ACDE 是菱形,
所以 //AC DE ,且DE ABC 平面 ,所以 //DE ABC平面 . ………3分
又 //DF BC ,DF ABC 平面 ,所以 //DF ABC平面 ,DF DE D ,
所以平面 //DEF ABC平面 ,所以 //EF 平面 ABC . …………………6 分
(2)如图,取 AC中点O ,连接 OB,OD,分别以 , ,OB OC CD 所在直线为 x y z轴、 轴、 轴建立空间坐标系,则
( 3,0,0)B , (0,0, 3)D , (0,1, 0)C , ………………………………7分
所以 ( 3, 1,0)CB
,
1 3 1
( , ,0)
2 2 2
DF CB
,所以
3 1
( , , 3)
2 2
F .
(0, 2,0)DE CA
,所以 (0, 2, 3)E ,
所以 ( 3, 2, 3)BE
,
3 3
( , ,0)
2 2
EF
.
设平面BEF 的法向量为 ( , , )n x y z
,
则由题意得
0
0
EF n
BE n
,所以
3 2 3 0
3 3
0
2 2
x y z
x y
,
不妨取 3, 1,x y 则 所以
3
( 3, 1, )
3
n
. …………………………………………………………9分
易知平面 ABC 的一个法向量为 (0,0,1)m
,…………………………………………………………………10 分
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所以
3
133cos ,
1313
1
3
m n
,所以平面 ABC 与平面BEF 所成锐二面角的余弦值为
13
13
.………12 分
20.【解析】(1) (2, 0)A , ∴ 2a .又∵
3
2
c
e
a
,所以 3c .
∴
2 2 2 1b a c ,∴椭圆C的方程为
2
2 1
4
x
y .…………………………………………………………4 分
(2)设 1 1( , )P x y , 2 2( , )Q x y ,因为 AM AP AQ
, (2,0)A ,
∴ 1 1( 2, )AP x y
, 2 2( 2, )AQ x y
,∴ 1 2 1 2( 4, + )AM AP AQ x x y y
,
∴ 1 2 1 22,M x x y y .
由
2
2 1
4
( 1)
x
y
y k x
,得
2 2 2 2(4 1) 8 4 4 0k x k x k (判别式 0 ),
得
2
1 2 2 2
8 2
2 2
4 1 4 1
k
x x
k k
, 1 2 1 2 2
2
( 2)
4 +1
k
y y k x x
k
,即
2 2
2 2
( , )
4 1 4 1
k
M
k k
.
设 3(0, )N y , 则MN 中点坐标为 3
2 2
1
( , )
4 1 4 1 2
yk
k k
,
∵M , N 关于直线 l对称,∴MN 的中点在直线 l上,
∴ 3
2 2
1
( 1)
4 1 2 4 1
k y
k
k k
,解得 3 2y k ,即 (0, 2 )N k .
由于M ,N 关于直线 l对称,所以M , N 所在直线与直线 l垂直,
∴
2
2
2
( 2 )
4 1 1
2
0
4 1
k
k
k k
k
,解得
2
2
k . …………………………………………………12 分
21.【证明】(1)因为 21
sin
2
xf x e x kx x ,所以 sin cos 1x xf x e x e x kx .又 [0, ]
2
x
,
所以 sin 0xe x , ………………………………………………………………………………………………2分
因为
2
k
.设 cos 1xg x e x kx ,则 cos sinx xg x e x e x k ,而 2sin 0xg x x e
,
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所以 cos sinx xg x e x e x k 在 [0, ]
2
x
单调递减,故 2( ) [ ,1 ]g x e k k
.……………………3分
当 2k e
时, ' 0g x , 0 2g x g 成立;此时 ( ) 0f x ,即 ( )f x 在 [0, ]
2
x
上单调递增;(4 分)
当 2
2
e k
时,存在 0 0,
2
x
,使得 g x 在 00, x 上单调递增,在 0 ,
2
x
上单调减,又
(0) 2 0
( ) 1 0
2 2
g
g k
,此时 ( ) 0f x ,即 ( )f x 在 [0, ]
2
x
上单调递增;…………………………………5分
综上可得,当
2
k
时, ( )f x 在 [0, ]
2
x
上单调递增;………………………………………………………6分
另解: 0k 时,
2
1 1 1 0
2 2
kx k
;
0k 时, 1 0kx ,故 sin cos 0xf x e x x ,所以 f x 在[0, ]
2
上单调递增.
(2)因为 21
sin
2
xf x e x kx x ,所以 22 ( ) 2e sin 2xf x x kx x ,
所以要证
2 22 ( ) 1 2 tan 2f x kx x x x x
, [0, )
2
x
,即证明
21
cos (1 )(2 )
2
xe x x x . ……8 分
令 1xy e x ,则 1xy e ,当 0x 时, 0y ,当 0x 时, 0y ,
所以当 0x 时,y 取得最小值 0,所以 1 0xe x ≥ ,即 1xe x .
又当 0,
2
x
时,令 siny x x ,则 cos 1 0y x , ………………………………………………10 分
所以 sin 0y x x ,即 sin x x ,
所以
2 2
2cos 1 2sin 1 1 2 1 1
2 2 2
x x x x x
e x e x x
. …………………………………12 分
22.【解析】(1)由直线 l 的参数方程消去参数 t,得 1 3
3 , 3 4 3 0
4 2
x
y x y
即
所以直线l的普通方程为3x-4y-3=0 ………………………………………………………………………2分
圆 C 的极坐标方程
2 =2 2 sin( )
4
,即 2 =2 sin 2 cos
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将极坐标方程与直角坐标方程的转化公式
2 2 2
cos
sin
x
y
x y
代入上式可得 2 2 2 2 0x y x y
2 2
1 1 2,x y
此为圆 C 的直角坐标方程 ……………………………………………………………5分
(2)由(1)可知圆 C 的圆心为 C(-1,1),半径 2r
所以 2 22 2PQ PC r PC
…………………………………………………………………7分
而|PC|的最小值为圆心 C 到直线 l 的距离
2 2
3 ( 1) 4 1 3
2
3 ( 4)
d
………………………………………9 分
所以|PQ|的最小值为 2 2 2d
………………………………………………………………………………10分
23. 【解析】(1)依题意, 3 3 1 7,x x
若
1
3
x < ,原式化为3 3 1 7x x ,解得
5
4
x ,故
5 1
4 3
x < ;
若
1
3
3
x ,原式化为3 3 1 7x x ,解得
3
2
x ,故
1 3
3 2
x ;
若 3x> ,原式化为 3 3 1 7x x ,解得
9
4
x ,无解;
综上所述,不等式 ( ) 7f x 的解集为
5 3
|
4 2
x x
…………………………………………………5 分
(2) 由题意知,不等式 3 1 4x mx x 在[1,3]上恒成立,
即3 1 4x mx x ,则 1 1mx ,故 1 1 1mx …………………………………………………7 分
即 2 0mx 在[1,3]上恒成立,得
2
0
3
m ,故实数 m 的取值范围为
2
0
3
, …………………10 分