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解答开放题
我们知道中考数学试卷中会有一些开放性试题，这些试题考查的知识点较多，综合性强，还考查对数学的理解和对数学知识的运用，灵活多变，有一定的难度。
开放性试题，可以分为三类，即条件开放性试题、过程开放性试题、结论开放性试题，这些试题没有固定的解题步骤和解答的程序，且答案不唯一。
下面我们就看几个例题，希望能帮助你掌握解答这类试题的基本方法。
例1 如图，在下面四个等式：①，②，③，④中选出两个作为条件，推出是等腰三角形．写出所有的方法，并完成其中一种的证明．
分析：这是一个条件开放的题目。
首先，我们将条件进行组合。
根据下表可以得到12种组合，由于其中（1，2）与（2，1）表示同一种意思，所以去掉重合后共有6种组合。即:
1
2
3
4
1
（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，1）
（2，3）
（1，4）
3
（3，1）
（3，2）
（3，4）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（1）①，②
（2）①，③
（3）①，④
（4）②，③
（5）②，④
（6）③，④
然后，我们从结论出发去思考。
（1）若是等腰三角形，则必须AE= DE，需要△ABE≌△DCE
（2）若是等腰三角形，则必须∠EAD=∠EDA，需要△ABD≌△DCA
显然，每个组合中的两个条件是不够的，题目中还有哪些隐含的条件呢？我们发现，图中的∠AEB=∠DEC（对顶角相等）。这样，我们发现：
组合（1）：①，②再加上图中的∠AEB=∠DEC
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（对顶角相等）不能证明△ABE≌△DCE或△ABD≌△DCA全等。
组合（2）：①，③再加上图中的∠AEB=∠DEC（对顶角相等）→△ABE≌△DCE（SAS）
组合（3）：①，④再加上图中的∠AEB=∠DEC（对顶角相等）→△ABE≌△DCE（SAS）
组合（4）②，③再加上图中的∠AEB=∠DEC（对顶角相等）→△ABE≌△DCE（ASA）
组合（5）②，④再加上图中的∠AEB=∠DEC（对顶角相等）→△ABE≌△DCE（SAS）
组合（6）：③，④再加上图中的∠AEB=∠DEC（对顶角相等）也不能证明△ABE≌△DCE或△ABD≌△DCA全等。
而根据上面的组合，使△ABD≌△DCA全等不可能。
下面完成解答：
答：方法1：①③；
方法2：①④；
方法3：②③；
方法4：②④.
已知：①③（或①④，或②③，或②④）
求证：是等腰三角形．
证明：在和中，
∴
∴ 即是等腰三角形
条件开放性试题，需要考虑完备性，即要将所有可能的情况都考虑到，这就需要选择方法，在这里我们使用了在计算概率时常用的方法——列表法，以保证各种情况都考虑到。
条件开放性试题，由于条件是开放的，因此，这类问题常常需要从结论出发进行分析思考，寻求结论成立所需要的条件，这是一种逆向思维的方法。
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条件开放题，常常出现一些条件不能使结论成立，这类条件需要通过正确的判断进行甄别，将不符合要求的条件舍去。
例2 如图，直线的解析表达式为，
且与轴交于点，直线 经过点A，B，直线，
交于点C．在直线上存在异于点的另一点，
使得与的面积相等，请直接写出点
的坐标．
分析：这是一个过程开放的题目。
我们发现所求的P点必须满足两个条件：
条件1，点在直线上；
条件2，使得与的面积相等。
我们知道，两个三角形面积相等的条件有： 图1
（1）等底同高的两个三角形的面积相等。如图1，A是CP的中点，DE⊥CP，垂足为E，则与的面积相等。
（2）同底等高的两个三角形面积相等。如图2，
AD⊥BC，A/D⊥BC，A//D⊥BC，垂足分别为D、E、F，且AD= A/D= A//D，则与△A/BC、 图2
△A//BC的面积相等。
（3）全等三角形的面积相等。如图3，延长DA
到E，使AE=DA，在CA的延长线上取点P，使CA=AP，
连接EP，显然构造的△AEP与△ADC全等，则与
的面积相等。。 图3
我们发现，根据条件1，与的位置应该
与图1或图3类似。
对于图1，我们只要使PA=AC即可。也就是将点C绕
点A旋转180°，就得到P点。只要知道了点C
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的坐标，就可以写出点P的坐标了。从图中我们可以直观的看
出C（-3，2），则P（6，3）。
对于图3，我们要使AE=AD，还要使PA=AC，同样只要知道点C的坐标，就可以写出点P的坐标了。
这时我们还需要再找一下，看还有没有满足条件的点。显然没有了。
另外我们还可以验证一下，我们找到的P点，是否在l2上：
根据图中提供的信息，我们知道A（4，0），B（3，），这时，直线l2的解析表达式为，将P（6，3）代入解析式，等式成立。因此，P（6，3）就是符合条件的点。
例3 如图，已知半径为1的与轴交于两点，为的切线，切点为，圆心的坐标为（2，0），线段上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：这是一个结论开放的题目。
我们发现所求的P点必须满足两个条件：
条件1，点在线段OM上；
条件2，使得以为顶点的三角形与△OO1M相似。
我们知道是直角三角形，且OO1=2，O1M=1，根据勾股定理，可得MO=。
若以为顶点的三角形与△OO1M相似，则它也一定是直角三角形，且∠MOO1为公共角。显然这样的三角形是很容易作出来的，点P一定存在。
我们可以通过作垂线构造直角三角形：
（1）如图，过A作PA⊥x轴，垂足为P。P点的横坐标就是线段OA的长度1，纵坐标就是线段AP的长度。
我们可以利用“相似三角形对应边成比例”求得线段OA、AP的长度：
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由于△OAP∽△OMO1→→→AP=，故P（1，）。
我们还可以利用“锐角三角函数”求线段AP的长度：
在Rt△OMO1中，由于OO1=2，O1M=1，所以，
tan∠MOO1=
在Rt△OAP中，由于OA=1，所以tan∠AOP=
因为∠MOO1=∠AOP，所以tan∠MOO1=tan∠AOP，即
故AP=，P（1，）。
我们还可以利用“特殊的直角三角形的性质” 求线段AP的长度：
在Rt△OMO1中，由于OO1=2，O1M=1，所以∠MOO1=30°
在Rt△OAP中，由于OA=1，tan∠AOP= tan 30°==
故AP=，P（1，）。
（2）如图，过A作AP⊥OM，垂足为P，过P
点作PH⊥x轴，垂足为H，这时点P的横坐标就是
线段OH的长度，纵坐标就是线段HP的长度。
在Rt△OAP中，由于OA=1，∠AOP=30°，cos30°==
在Rt△OHP中，由于OP=，∠HOP=30°，
sin 30°=→HP=OPsin30°=×=
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cos30°=→OH=OP cos30°=×=
故P（，）
符合条件的点坐标有（1，）和（，）
例4 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为（10，0），顶点在第一象限内，且，．在过O，B，A的抛物线上是否存在一点，使以为顶点的四边形为梯形？若存在，有几个这样的点P？并求出在第一象限的点的坐标；若不存在，请说明理由；
分析：根据已知条件：的顶点
的坐标为（10，0），顶点在第一象限
内，且，。我们知道
这样的三角形是唯一确定的。
为求出点P，我们需要完成下列任务：
（1）画出过O，B，A的抛物线的草图；
（2）在抛物线上画出梯形；
（3）出点的坐标（只求在第一象限的点的坐标）
我们知道点B不是抛物线的顶点，因此，抛物线的对称轴应该是线段OA的中垂线，这样可以画出草图（如下图）：
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我们知道：“有一组对边平行的四边形是梯形”，同时，以O，B，A为顶点的三角形有三条边，我们可以过三角形的任意一个顶点，作对边的平行线，看这条平行线是否与抛物线相交，如果相交，交点就是P。如下图：
BP∥OA OP∥AB AP∥OB
我们可以清楚的看到符合条件的点P共有三个。当BP∥OA时，点P在第一象限；当OP∥AB时，点P在第四象限；当AP∥OB时，点P在第三象限。
当P在第一象限时，点P的纵坐标与点B的纵坐标相同。
我们可以这样来解：
解：如图，存在，共有3个。
过B作BC⊥OA，垂足为C
在Rt△ABC中 ∵ 即=
∴BC=AB=×=3
由勾股定理，得 BC2+AC2=AB2 ∴AC=
∴OC=OA-CA=4
∴B（4，3）
设过O、A、B三点的抛物线为：y=ax2+bx（a≠0）
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根据题意，得 解得
∴y=x2+x
设P（x，3）在y=x2+x上，当y=3时，得 x2+x =3
整理，得 x2-10x+24=0
解得 x1=4（与点B重合，舍去） x2=6
∴P（6，3）
你发现了吗？题目中并没有要求我们画图、求点B的坐标、求二次函数的解析式，我们为什么要做这些呢？
首先，画图是为了能够清楚地表达我们找到的点P的位置。
其次，为求在第一象限的点P的坐标，我们发现点P的纵坐标与点B的纵坐标相同，同时点P又是抛物线上的点，因此，需要求出点B的坐标和二次函数的解析式。
综上所述，解答开放性题目，需要“数形结合”，即从形的角度探索，从数的角度论证。图形在解题过程中起到很重要的作用。
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