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2012年中考数学一轮复习精品讲义
第二章 整式的加减
本章小结
小结1 本章内容概览
本章的主要内容是整式和整式的加减．学习本章知识，要了解单项式、多项式和整式的概念，会确定单项式的系数和次数，会确定多项式的项数和次数．理解同类项的概念，掌握合并同类项的方法以及去括号时符号的变化规律．能够熟练地进行整式的加减运算，正确地进行分析实际问题中的数量关系，并会列出整式表示，从而体会用字母表示数，由算术到代数的进步．
小结2 本章重点、难点：
本章的重点是同类项、整式的加减，难点是去括号与求值运算．
小结3 本章学法点津
1.学习本章知识时，要注意把数字和字母联系起来，从具体情境中探索数量关系和变化规律，注意知识的内在联系．
2.要注意对整式加减运算法则探索过程的理解，体会“数式的通性”．
3.要注意归纳、类比、转化等数学思想方法的运用，通过观察、实验、探究、发现，进而归纳总结规律，提高利用规律解决实际问题的能力，培养创新精神和自学意识．
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知识网络结构图
重点题型总结及应用
题型一 整式的加减运算
例1 已知与是同类项，则ab的值为 .
解析：由同类项的定义可得a－3＝3，5－b＝3，所以a＝6，b＝2．因而ab＝62＝36．
答案：36
点拨 所含字母相同，相同字母的指数也分别相同，这是两个单项式成为同类项必须具备的条件，即
例2 计算：（7x2＋5x－3）－（5x2－3x＋2）．
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解：原式＝7x2＋5x－3－5x2＋3x－2＝2x2＋8x－5．
方法 本题考查整式的加减及去括号法则．合并同类项时注意字母和字母的指数不变，只把系数相加减．
题型二 整式的求值
例3 已知（a＋2）2＋|b＋5|＝0，求3a2b一[2a2b－（2ab－a2b）－4a2]－ab的值．
分析：由平方与绝对值的非负性，得a＝－2，b＝－5．先化简，再代入求值．
解：因为（a＋2）2≥0，|b＋5|≥0，且（a＋2）2＋|b＋5|＝0，
所以a＋2＝0，且b＋5＝0．
所以a＝－2，b＝－5．
3a2b－[2a2b－（2ab－a2b）－4a2]－ab
＝3a2b－2a2b＋2ab－a2b＋4a2－ab
＝4a2＋ab.
把a＝－2，b＝－5代入4a2＋ab，得
原式＝4×（－2）2＋（－2）×（－5）＝16＋10＝26．
例4 已知2a2－3ab＝23，4ab＋b2＝9，求整式8a2＋3b2的值．
解：因为2a2－3ab＝23，所以8a2－12ab＝92，所以12ab＝8a2－92．
因为4ab＋b2＝9，所以12ab＋3b2＝27，所以12ab＝27－3b2．
由此得8a2－92＝27－3b2，即8a2＋3b2＝119．
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题型三 整式的应用
例5 图2－3－1是一个长方形试管架，在a cm长的木条上钻了4个圆孔，每个孔的直径为2 cm，则x等于（ ）
A. cm B. cm C. cm D. cm
解析：由题意得5x＋2×4＝a，所以x＝（cm）． 答案：D
点拨 本题要注重结合图形来分析问题，以提高综合解决问题的能力．
例6 用正三角形和正六边形按如图2－3－2所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n个图案中正三角形的个数为 （用含”的代数式表示）．
解析：第一个图案中正三角形的个数为： 4＝2×1＋2；
第二个图案中正三角形的个数为：6＝2×2＋2；
第三个图案中正三角形的个数为：8＝2×3＋2；
．．，；
第n个图案中正三角形的个数为：2n＋2．
答案：2n＋2
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思想方法归纳
1. 整体思想
整体思想就是在考虑问题时，将具有共同特征的某一项或某一类看成一个整体，从宏观上进行分析，抓住问题的整体结构和本质特点，全面关注条件和结论，加以研究、解决，使问题的解答简捷、明快，往往能化繁为简，由难变易，获得解决问题的捷径，从而促进问题的解决．
例1 计算当a＝1，b＝－2时，代数式的值．
分析：因为a＝1，b＝－2，所以a＋b＝－1，a－b＝3．
解：原式＝
．
当a＝l，b＝－2时，原式.
点拨 把（a－b），（a＋b）分别看做一个整体，直接合并同类项，而不是去括号再合并同类项．
例2 若a2＋ab＝20，ab－b2＝－13，求a2＋b2及a2＋2ab－b2的值．
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分析：把a2＋ab，ab－ b2分别看做一个整体．
解：∵a2＋ab－（ab－ b2）＝a2＋b2，∴a2＋b2＝20－（－13）=33．
又∵（a2＋ab）＋（ab－ b2）＝a2＋2ab－b2，∴a2＋2ab－ b2＝20－13＝7．
点拨 通过对已知条件相减或相加，得出待求的多项式，从而求出多项式的值．考查了学生的洞察能力．
2 数形结合思想
例3 如图2－3－3所示，已知四边形ABCD是长方形，分别用整式表示出图中Sl，S2，S3，S4的面积，并表示出长方形ABCD的面积．
解：S1＝m（2m－n）＝2m2－mn，S2＝n（2m－n）＝2mn－ n2，S3＝ n2，S4＝mn．
S长方形ABCD＝S1＋S2＋S3＋S4＝（2m2－mn）＋（2mn－ n2）＋n2＋mn＝2m2－mn＋2mn－ n2＋n2＋mn＝2 m2＋2mn．
中考热点聚焦
考点1 单项式
考点突破：单项式是整式中的基础知识，在中考中的考查一般难度不大，多以选择题或填空题的形式出现．解决此类问题要理解单项式的定义及单项式次数的含义．
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例1 （2011•柳州）单项式3x2y3的系数是 3 ．
考点：单项式。
专题：计算题。
分析：把原题单项式变为数字因式与字母因式的积，其中数字因式即为单项式的系数．
解答：解：3x2y3=3•x2y3，其中数字因式为3，
则单项式的系数为3．
故答案为：3．
点评：确定单项式的系数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数的关键．找出单项式的系数的规律也是解决此类问题的关键．
写出含有字母x，y的五次单项式 （只要求写出一个）.
解析：写出的单项式应满足x的指数与y的指数和为5．答案不唯一，例如x3 y2， x4 y等. 答案：x3 y2， x4 y等.
例2 若单项式3x2 yn与－2xmy3是同类项，则m＋n＝ ．
解析：由同类项的定义可知，x，y的指数分别相同，即m＝2，n＝3．所以m＋n＝5．
答案：5
考点2 列整式表示数量关系
考点突破：
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一些问题中的数量关系，可列整式表示，列式时要明确要表示的量与已知量之间的关系．中考中对此知识点的考查常以填空题为主．
例3 （2011•湘西州）若一个正方形的边长为a，则这个正方形的周长是 4a ．
考点：列代数式。
分析：正方形的边长a，正方形的周长为：4×正方形的边长．
解答：解：正方形的边长：4a．
故答案为：4a．
点评：本题考查列代数式，根据正方形的周长公式可求解．
三个连续整数中，n是最小的一个，这三个数的和为 .
解析：若n为最小的一个整数，则另两个整数可表示为n＋1，n＋2，所以这三个数的和为n＋（n＋1）＋（n＋2）＝3n＋3． 答案：3n＋3
例4 （2011浙江金华，11，4分）“x与y的差”用代数式可以表示为 .
考点：列代数式。
专题：和差倍关系问题。
分析：用减号连接x与y即可．
解答：解：由题意得x为被减数，y为减数，
∴可得代数式x﹣y．
故答案为：x﹣y．
点评：考查列代数式；根据关键词得到运算关系是解决本题的关键．
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用代数式表示“a，b两数的平方和”，结果为 .
答案：a2＋b2
考点3 找图形的变化规律
考点突破：此类问题是近几年中考的热点，做题时要根据前几个图形的个数找出
规律，并用整式表示出第n个图形的结果．重在考查思维的灵活性和概括能力．
例5 观察下列图形（图2－3－4）及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算1＋8＋16＋24＋…＋8n（n是正整数）的结果为（ ）
A．（2n＋1）2 B．（2n－1）2 C．（n＋2）2 D．n2
解析：∵1＋8＝9＝32，1＋8＋16＝25＝52，1＋8＋16＋24＝49＝72，…，∴1＋8＋16＋24＋…＋8n＝（2n＋1）2． 答案：A
综合验收评估测试题
一、选择题
l. 在代数式－2x2，3xy，，，0，mx－ny中，整式的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D. 5
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2. 二下列语句正确的是（ ）
A．x的次数是0 B．x的系数是0 C. －1是一次单项式 D．－1是单项式
3. 下列不属于同类项的是（ ）
A．－1和2 B．x2y和4×105x2y C. 和 D．3x2y和－3x2y
4. 下列去括号正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5. 现规定一种运算：a*b＝ab＋a－b，其中a，b为有理数，则3*5的值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
6. 若式子的值为8，则式子的值为（ ）
A．1 B．5 C．3 D．4
7. 三个连续奇数，中间的一个是2n＋1（n是整数），则这三个连续奇数的和为（ ）
A．2n－1 B．2n＋3 C．6n＋3 D．6n－3
8. 如果2－（m＋1）a＋an－3是关于a的二次三项式，那么m，n应满足的条件是（ ）
A．m＝1，n＝5 B．m≠1，n＞3
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C．m≠－1，n为大于3的整数 D．m≠－1，n＝5
二、填空题
9. －mxny是关于x，y的一个单项式，且系数是3，次数是4，则m＝ ，n＝ ．
10. 多项式ab3－3a2b2－a3b－3按字母a的降幂排列是 ．按字母b的升幂排列是 ．
11. 当b＝ 时，式子2a＋ab－5的值与a无关．
12. 若－7xyn＋1 3xmy4是同类项，则m＋n ．
13．多项式2ab－5a2＋7b2加上 等于a2－5ab．
三、解答题
14．先化简，再求值：
，其中m＝－l，n＝.
15．如图2－3－5所示的是某居民小区的一块长为b米，宽为2a米的长方形空地，为了美化环境，准备在这个长方形空 地的四个顶点各修建一个半径为a米的扇形花台，然后在花台内种花，其余空地种草．如果建筑花台及种花每平方米需要资金100元，种草每平方米需要资金50元，那么美化这块空地共需资金多少元?
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答案
1．D 解析：不是整式，故选D．
2．D 解析：x的次数是1，系数是1；－1是单项式．故选D．
3．C 解析：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．故选C：
4．D 解析：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．故选D．
5．C 解析：按规定的运算得3*5＝3×5＋3—5＝13．故选C．
6．B 解析：由3x2－2x＋6＝8变形得3x2－2x＝2，所以x2－x＋4＝(3x2－2x)＋4＝×2＋4＝5．故选B．
7．C 解析：已知三个连续奇数中的中间一个为2n＋1（n为整数），那么，较小一个为2n－1，较大一个为2n＋3，所以这三个奇数的和为（2n－1）＋（2n＋1）＋（2n＋3）＝6n＋3．故选C．
8．D 解析：由题意得n－3＝2，且m＋1≠0，所以n＝5且，m≠－1．故选D．
9．－3，3 解析：由系数是3，得－m＝3，所以m＝－3
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．由次数是4，得n＋1＝4，所以n＝3．
10．－a3b－3a2b2＋ab3－3，－3－a3b－3a2b2＋ab3 解析：在排列时，一定要明确针对哪个字母排列，排列时只看这个字母的指数和该项符号，利用加法交换律交换位置即可．
11．－2 解析：2a＋ab－5＝（2＋b）a－5．因为式子的值与a无关，故2＋b＝0，所以b＝－2．
12．4 解析：由同类项的定义可得m＝l，n＋1＝4，即n＝3，所以m＋n＝1＋3；4．
13．6a2－7ab－7b2 解析：加数等于和减另一个加数，即（a2－5ab）－（2ab－5a2＋7b2）＝6a2－7ab－7b2．
14． 解：原式＝2m2n＋mn2－5m2n＋2mn2－3mn2＋6m2n＝3m2n．当m＝－1，n＝时，原式＝3×（－1）2×＝1．
点拨：运用去括号和合并同类项法则进行化简，考查对法则灵活运用的能力．
15．解：根据题意，得
50πa2＋100ab．
答：美化这块空地共需资金（50πa2＋100ab）元．
点拨：根据题意，可以先求出建造花台及种花所需费用，再求出种草的费用，两者相加即为美化这块空地共需的资金．
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