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24.7线段垂直平分线的性质定理及其逆定理
教学设计思想
我们已经探究出线段的垂直平分线所具有的性质，本节学习这个性质的证明及其应用，以启发引导的方式，引导学生完成定理的证明。对于逆命题的书写，先回顾有关的知识，再书写，师生一起完成证明。对于用尺规作线段垂直平分线的过程，要学生说出每步作法的依据。
教学目标
知识目标
总结线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的证明和简单应用；
经历用尺规作线段垂直平分线的过程，并能说明其依据。
能力目标
经历探索、猜测、证明过程，进一步发展推理、证明意识和能力。
情感目标
在探索活动中感受数学的严密性、严谨性；
在各种活动中获得猜想。
教学重点和难点
重点是线段垂直平分线的性质定理及其逆定理及它们的实际应用；
难点是线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的应用。
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教学方法
启发引导、合作探究
课时安排
１课时
教具学具准备
投影仪或电脑、三角板
教学过程设计
我们已经探究出线段的垂直平分线所具有的性质，怎样对这个性质进行证明呢？
（一）线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
下面我们就来证明这个定理。
如图，已知线段AB，直线EF⊥AB，垂足为O，AO=BO，点P是EF上异于点 O的任意一点。
求证：PA=PB。
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证明：∵EF⊥AB(已知)，
∴∠POA=∠POB=90°(垂直的定义)。
在△PAO和△PBO中，
AO=BO(已知)，
∠POA=∠POB(已证)，
PO=PO(公共边)，
∴△PAO≌△PBO(SAS)。
∴PA=PB。
（二）做一做
1、写出上面定理的逆命题。
2、填写下面命题证明过程的理由。
已知：如图，P为线段AB外的一点，且PA=PB。
求证：点P在线段AB的垂直平分线上。
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证明：过点P作直线EF⊥AB，垂足为O，则
∠POA＝∠POB＝90°( )。
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
PA＝PB( )，
PO＝PO( )，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO ( )。
∴AO＝BO( )。
∴EF是线段AB的垂直平分线( )。
∴点P在线段AB的垂直平分线上。
加深学生对逆命题和逆定理含义的理解，让学生独立正确地说出线段垂直平分线的性质定理的逆命题和证明过程的依据。
1、略
2、垂直的定义，已知，公共边，HL，全等三角形的对应边相等，线段垂直平分线的定义。
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由此，我们得到：
线段垂直平分线性质定理的逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
（三）观察与思考
观察下面用尺规作线段垂直平分线的步骤(图24—25)，思考这种作法的依据。
步骤一：分别以点A，B为圆心，以固定长(大于AB长的一半)为半径画弧，两弧分别交于点E，F。
步骤二：过点E，F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。
使学生明白尺规作线段垂直平分线的依据。依据是线段垂直平分线的性质定理的逆定理。
（四）练习
1、已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=5，BC边的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E。
求△ABE的周长。
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2、已知：如图，三条路围成一个三角地带，要在它的中间建一个市场，并且使市场到三个交叉路口的距离相等。怎样才能找到这个位置呢?画出示意图，并说明理由。
1、8
2、分别作AB，BC的垂直平分线，两线相交于点O(如图)，则点O即为所求。可根据线段垂直平分线的性质定理及其逆定理进行证明。
（五）小结
引导学生总结本节的主要知识点，及解题时分析的思路。
（六）板书设计
线段垂直平分线的性质定理及其逆定理
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线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线性质定理的逆定理
观察与思考
练习
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