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学案10 函数图像的对称变换
一、课前准备：
【自主梳理】
1．（1）函数与的图像关于 对称；
（2）函数与的图像关于 对称；
（3）函数与的图像关于 对称．
2．奇函数的图像关于 对称，偶函数图像关于 对称．
3．（1）若对于函数定义域内的任意都有，则的图像关于直线 对称．
（2）若对于函数定义域内的任意都有，则的图像关于点 对称．
4．对且，函数和函数的图象关于直线 对称．
5．要得到的图像，可将的图像在轴下方的部分以 为轴翻折到轴上方，其余部分不变．
6．要得到的图像，可将，的部分作出，再利用偶函数的图像关于 的对称性，作出时的图像．
【自我检测】
1．函数的图象关于 对称．
2．在同一坐标系中，函数与的图象关于 对称．
3．函数的图象与函数 的图象关于坐标原点对称．
4．将函数的图象向右平移一个单位得曲线，曲线与曲线关于直线对称，则的解析式为 ．
5．设函数的定义域为，则函数与的图像的关系为关
于 对称．
6．若函数对一切实数都有，且方程恰好有四个不同实根，求这些实根之和为 ．
二、课堂活动：
【例1】填空题：
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（1）对于函数，，“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的 ．
（2）对于定义在上的函数，有下列命题，其中正确的序号为 ．
①若函数是奇函数，则的图象关于点对称；②若对，有，则的图象关于直线对称；③若函数的图象关于直线对称，则函数是偶函数；④函数与函数的图象关于直线对称．
（3）将曲线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到曲线．如果曲线与关于原点对称，则曲线所对应的函数式是 ．
（4）当时，已知，分别是方程和解，则的值为 ．
【例2】作出下列函数的图象：（1）；（2）；
（3）；（4）．
【例3】（1）将函数的图象沿轴向右平移1个单位，得图象，图象与关于原点对称，图象与关于直线对称，求对应的函数解析式；
（2）已知函数的定义域为，并且满足．
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①证明函数的图象关于直线对称；
②若又是偶函数，且时，,求时的表达式．
课堂小结
三、课后作业
1．函数的对称中心是 ．
2．如果函数的图象与函数的图象关于坐标原点对称，则 ．
3．设，若要使的图象关于轴对称，则 ．
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4．已知函数图象的一条对称轴方程为，则 ．
5．已知函数，，且，则与的大小关系为 ．
6．函数在上单调递减，则实数的范围为 ．
7．若函数的图象过点，则的图象一定过点 ．
8．定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意实数都有且，，则
．
9．设函数．
（1）求的最小正周期；
（2）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值．
10．设曲线的方程是，将沿轴、轴正方向分别平移、个单位长度后得到曲线．
（1）写出曲线的方程；
（2）证明曲线与关于点对称；
（3）如果曲线与有且仅有一个公共点，证明：．
．
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四、 纠错分析
错题卡
题 号
错 题 原 因 分 析
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参考答案
【自我检测】
1．原点 2．轴 3． 4． 5．直线 6．8
【例1】（1）必要不充分条件 （2）①③
（3） （4）
【例2】（1）作的图象关于轴的对称图形．
（2）作的图象关于轴的对称图形．
（3）作的图象及它关于轴的对称图形．
（4）作的图形，并将轴下方的部分翻折到轴上方．（图略）
【例3】（1）
（2）①证明：设是函数的图象上任意一点，则．
点关于直线的对称点的坐标应为．
∵．
∴点也在函数的图象上．
∴函数的图象关于直线对称．
②解析：由，及为偶函数，得，；当时，由图象关于对称，用代入，
得，，再由为偶函数，
得，．故．
课后作业：
1． 2． 3．0 4．
5． 6． 7． 8．0
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9．解：（1）=
=
=
故的最小正周期为T = =8．
(2)在的图象上任取一点，它关于的对称点 ．
由题设条件，点在的图象上，从而
=
=
当时，，因此在区间上的最大值为
．
10．解：（1）曲线的方程为；
（2）证明：在曲线上任意取一点，设是关于点的对称点，
则有，∴代入曲线的方程，
得的方程：
即，可知点在曲线上．
反过来，同样证明，在曲线上的点的对称点在曲线上．
因此，曲线与关于点对称．
（3）证明：因为曲线与有且仅有一个公共点，
∴方程组有且仅有一组解，
消去，整理得，这个关于的一元二次方程有且仅有一个根，
∴，即得，
因为，所以．
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