安徽省淮南第一中学2019级高二第一学期理科数学周练（8）解析版.pdf

1 安徽省淮南第一中学 2019 级高二第一学期理科数学周练（8）解析版 时间：60分钟 满分：100 分 一、选择题：（共 12 小题，每小题 4 分，共 48分） 1.设 P是椭圆  ² 5 x +  ² 3 y =1上的动点，则 P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（） A．2 2 B．2 3 C．2 5 D．4 2 【答案】C 2. 已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 ，离心率等于 ，则 C 的方程是（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵ 3．过椭圆 x2 4 ＋y2＝1 的左焦点 F1作直线 l 交椭圆于 A，B 两点，F2是椭圆右焦点，则△ABF2的 周长为( ) A．8 B．4 2 C．4 D．2 2 答案 A 解析 因为椭圆为 x2 4 ＋y2＝1，所以椭圆的半长轴 a＝2，由椭圆的定义可得|AF1|＋|AF2|＝2a ＝4，且|BF1|＋|BF2|＝2a＝4，所以△ABF2 的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋ (|BF1|＋|BF2|)＝4a＝8. 4. 已知 1F ， 2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若 1 2PF PF ，且 2 1 60PF F  ，则C 的 离心率为 A． 3 1 2  B． 2 3 C． 3 1 2  D． 3 1 (1,0)F 2 1 1 43 22  yx 1 34 22  yx 1 24 22  yx 1 34 22  yx 1, 2, 3c a b   2 【答案】 D 【解析】在 1 2F PF△ 中， 1 2 2 190 , 60F PF PF F    ，设 2PF m ， 1 2 12 2 , 3c F F m PF m   ， 又由椭圆定义可知 1 22 ( 3 1)a PF PF m    ，则 2 2 3 1 2 ( 3 1) c c m e a a m       ，故选 D． 5.如果方程 x2 a2＋ y2 a＋6 ＝1表示焦点在 x轴上的椭圆，则实数 a的取值范围是( ) A．(－6，－2) B．(3，＋∞) C．(－6，－2)∪(3，＋∞) D．(－6，－3)∪(2，＋∞) 答案 C 解析 由题意，得    a2>a＋6， a＋6>0， 解得    a3， a>－6， 所以－61 B．m>0 C.0b>0)的左、右焦点，P 是椭圆上一点， 则△PF1F2面积的最大值为________. 答案 2 解析 解法一：∵△PF1F2的面积为 1 2 |PF1||PF2|·sin∠F1PF2≤ 1 2     |PF1|＋|PF2| 2 2＝ 1 2 a2.又 2a＝4， ∴a2＝4，∴△PF1F2面积的最大值为 2. 解法二：由题意可知 2a＝4，解得 a＝2.当 P点到 F1F2距离最大时，S△PF 1 F 2 最大，此时 P为短 轴端点，S△PF 1 F 2 ＝ 1 2 ·2c·b＝bc.又 a2＝b2＋c2＝4，∴bc≤ b2＋c2 2 ＝2，∴当 b＝c＝ 2时，△ PF1F2面积最大，为 2. 14.直线 y＝x＋m被椭圆 2x2＋y2＝2截得的线段的中点的横坐标为 1 6 ，则中点的纵坐标为 y xF2F1 O B A 6 ________. 答案 － 1 3 解析 解法一：由    y＝x＋m， 2x2＋y2＝2， 消去 y并整理得 3x2＋2mx＋m2－2＝0，设线段的两 端点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－ 2m 3 ，∴－ 2m 3 ＝ 1 3 ，解得 m＝－ 1 2 .由截得的线 段的中点在直线 y＝x－ 1 2 上，得中点的纵坐标 y＝ 1 6 － 1 2 ＝－ 1 3 . 解法二：设线段的两端点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 2x2 1＋y2 1＝2,2x2 2＋y2 2＝2.两式 相减得 2(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0.把 y1－y2 x1－x2 ＝1，x1＋x2＝ 1 3 代入上式，得 y1＋y2 2 ＝－ 1 3 ，则中点的纵坐标为－ 1 3 . 15.已知椭圆C ： 2 2 1 9 4 x y   ，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为 A，B ， 线段MN 的中点在C 上，则 | | | |AN BN  ． 答案：12【解析】设MN 交椭圆于点 P ，连接 1F P和 2F P ，利用中位线定理可得 AN BN  1 22 2 2 2 4 12F P F P a a     ． 16.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C : x2 + y2 =1+ x y就是其中之一（如 图）。给出下列三个结论： ① 曲线C恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ② 曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 2 ; ③ 曲线C所围城的“心形”区域的面积小于 3. 其中，所有正确结论的序号是_______. 解析：配方得 2 2 3 0 2 4 1 xx y            ，解得 2 3 4 x  .所以 x 可取的整数值为-1，0，1， 7 则曲线经过            1,0 , 1, 1 , 0,1 , 0, 1 , 1,0 , 1,1 ,    这 6个整点，结论①正确； 当 x＞0时，由 2 2 1x y xy   得 2 2 2 2 1 2 x y x y xy      （当 x=y时取等号）， 所以 2 2 2x y  ，所以 2 2 2x y  ，即曲线 C上 y轴右边的点到原点的距离不超过 2 ， 结论②正确；根据对称性可得：曲线 C上任意一点到原点的距离都不超过 2 ；故②正确． 如图所示，        0, 1 , 1,0 , 1,1 , 0,1A B C D ， 1 3 1 1 1 1 2 2 ABCDS       ， 根据对称性可知 2 3ABCDS S 心形 .即心形区域的面积大于 3，故③错误．正确结论为①②. 三、解答题（本题共 2小题，每题 18分，共 36分，请把答案写在答题纸上） 17.已知椭圆 4x2＋y2＝1及直线 y＝x＋m. (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数 m的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程. 解 (1)由    4x2＋y2＝1， y＝x＋m， 得 5x2＋2mx＋m2－1＝0，------4分 因为直线与椭圆有公共点， 所以 Δ ＝4m2－20(m2－1)≥0，---6分 解得－ 5 2 ≤m≤ 5 2 .----------9分 (2)设直线与椭圆交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 由(1)知，5x2 ＋2mx＋m2 －1＝0， 所以 x1＋x2＝－ 2m 5 ，x1x2＝ 1 5 (m2－1)，-------11分 所以|AB|＝ x1－x2 2＋ y1－y2 2＝ 2 x1－x2 2 8 ＝ 2[ x1＋x2 2－4x1x2]＝ 2      4m2 25 － 4 5 m2－1 -----14分 ＝ 2 5 10－8m2.---------16分 所以当 m＝0时，|AB|最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为 y＝x.-------18 分 18. 已知椭圆C ： 2 2 2 2 1 x y a b   （ 0a b  ）过点  2, 2P ，且离心率为 2 2 。 ⑴求椭圆C 的方程； ⑵记椭圆C 的上下顶点分别为 ,A B，过点  0,4 斜率为 k 的直线与椭圆C 交于 ,M N 两点，证明：直线 BM 与 AN 的交点G 在定直线上，并求出该定直线的方程。 解析：⑴ 2 2 1 8 4 x y   -----4 分 ⑵由题意得  0,2A ，  0, 2B  ，直线MN 的方程 4y kx  ，设    1 1 2 2, , ,M x y N x y ，-----5分 由 2 2 4 1 8 4 y kx x y        得  2 21 2 16 24 0k x kx    ，-------6分 所以 1 2 2 16 1 2 k x x k     ， 1 2 2 24 1 2 x x k   。---------8分 直线 AN 的方程为 2 2 2 2 y y x x    ，直线 BM 的方程为 1 1 2 2 y y x x    ，---------10分 联立 2 2 1 1 2 2 2 2 y y x x y y x x          ，得     2 1 1 2 22 2 2 y xy y y x     ,-------------11分 注意到点    1 1 2 2, , ,M x y N x y 都在曲线上，所以 2 2 1 1 1 8 4 x y   ， 所以   2 2 1 11 1 2 2 1 8 4 4 y yx y      ，所以  11 1 1 2 2 2 yx y x    ------13分 9 所以         1 2 1 22 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 42 2 2 22 2 2 y y y yy x y yy y y x x x x x                ----14 分 由 1 2 2 16 1 2 k x x k     ， 1 2 2 24 1 2 x x k   ，得  1 2 1 2 2 8 8 1 2 y y k x x k       ，----15 分      2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 8 16 4 4 4 16 1 2 k y y kx kx k x x k x x k            ，------16分 所以 2 2 2 2 8 16 16 2 4 1 2 1 22 1 242 3 1 2 k k ky y k                ，解得 1y  ，------17分 即直线 BM 与 AN 的交点G 在定直线 1y  上。-------18 分