福州文博中学中考攻略(1)几何最值问题解法探讨.doc

天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。‎ 解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。‎ 一、 应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值：‎ 例1.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【 】‎ A．　　　B．　　　C．5　　　D．‎ ‎【考点】‎ ‎【分析】‎ 例2.在锐角三角形ABC中，BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是 。‎ 例3、如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是 _ ．‎ 二、应用垂线段最短的性质求最值：‎ 例4.在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是 ．‎ ‎【考点】‎ ‎【分析】‎ ‎ ‎ 例5.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【 】A． 1 B． C． 2 D．＋1‎ ‎【考点】 ‎ ‎【分析】‎ 第5页（共5页）天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 例6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：‎ ‎①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF不可能为正方形；‎ ‎③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；‎ ‎④点C到线段EF的最大距离为．其中正确结论的个数是【 】 ‎ ‎　A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 ‎【考点】‎ ‎【分析】‎ 例8.如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ．‎ ‎【考点】‎ ‎【分析】‎ 例9.如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．‎ ‎（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；‎ ‎（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．‎ 第5页（共5页）天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 例10.（2011云南昆明12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=‎10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为‎1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为‎2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．（1）求AC、BC的长；‎ ‎（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．‎ 三、应用轴对称的性质求最值 例11.如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为【 】‎ A．130° B．120° C．110° D．100°‎ ‎【考点】‎ ‎【分析】‎ 第5页（共5页）天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 例12.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为【 】‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ 例13.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是 【 】‎ A．3 B．‎4 C．5 D．6‎ 例14.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC平分∠BAD，‎ 点E在AB上，且AE=2（AE＜AD），点P是AC上的动点，则PE+PB的最小值 是 ．‎ 一、 应用二次函数求最值：‎ 例15.正方形ABCD的边长为‎1cm，M、N分别是BC．CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM= cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 cm2．‎ ‎【考点】‎ ‎【分析】‎ 例16.如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是　　．‎ ‎【考点】‎ ‎【分析】‎ 例17.在矩形ABCD中，AB=2，AD=3,P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E.‎ ‎(1)连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；‎ ‎(2)若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式。当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？(3)若PE∥BD，试求出此时BP的长.‎ ‎【考点】‎ 第5页（共5页）天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎【分析】‎ 例6.（2012江苏苏州8分）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为.⑴当 时，求弦PA、PB的长度；‎ ‎⑵当x为何值时，的值最大？最大值是多少？‎ ‎【考点】‎ ‎【分析】‎ ‎ ‎ 第5页（共5页）天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎