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第三章 空间向量与立体几何
课题：3.2.1立体几何中的向量方法（一） 第 课时
课型： 新授课
教学目标：
教学目标：
㈠ 知识目标：
向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．
㈡能力目标：
理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量的运算律；解决简单的立体几何中的问题．
㈢德育目标：
学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．
批注：
教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用．
教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．
教学用具： 多媒体，三角板，直尺
教学方法：讨论法．
教学过程：
一.引入
以前人们为夯实地面，采用的是一种由三人合作使用的石制工具，石墩上有三个石耳，用三根粗绳子拴着，三个人站在三个方位上，同时拉绳子使石墩离开地面，然后石墩落下夯实地面．若三个人所站方位使得绳子两两成等角，且与水平地面所成角为45°，为了使质量为100 kg的石墩垂直离开地面，每个人至少需要用 kg的力．
问题1：在空间中给定一个定点A(一个石耳)和一个定方向(绳子方向)，能确定这条直线在空间的位置吗？
提示：能．
问题2：在空间过一定点且与一定直线垂直的平面位置确定吗？
提示：确定．
二．新课讲解：
1．直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线 的向量．
2．平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的 a，则a叫做平面α的法向量.
由直线上一点和直线的方向向量可以确定直线的位置；由平面上一点和平面的法向量也可以确定平面的位置．
问题1：若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，当a∥u时，l与α
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有什么关系？若a⊥u呢？
问题2：若u，v分别是平面α，β的法向量，则u∥v，u⊥v时，α，β是什么位置关系？
空间中平行关系、垂直关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则
线线平行 l∥m⇔ ⇔ ；
线面平行 l∥α⇔ ⇔ ；
面面平行 α∥β⇔ ⇔ .
线线垂直 l⊥m⇔ ⇔ ；
线面垂直 l⊥α⇔ ⇔ ；
面面垂直 α⊥β⇔ ⇔ .
归结小结：
1.直线的方向向量不是唯一的，可以分为方向相同和相反两类．解题时，可以选取坐标最简的方向向量．
2.一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可以根据需要进行选取，一个平面的所有法向量共线．
3.因为直线的方向向量与平面的法向量可以确定直线和平面的位置，所以可以利用直线的方向向量和平面的法向量来表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系．
[例1] (1)设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1与l2的位置关系：
①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)；
②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)；
③a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)．
(2)设u，v分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系：
①u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，－)；
②u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)；
③u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)．
(3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列条件判断α和l的位置关系：
①u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)；
②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)；
③u＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)．
[思路点拨] 先判断直线的方向向量与平面的法向量的关系，再判断线面、面面关系．
[精解详析] (1)①∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，
∴a＝－b，∴a∥b，∴l1∥l2.
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②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，
∴l1⊥l2.
③∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，
∴a与b不共线，也不垂直，∴l1与l2相交或异面(不垂直)
(2)①u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，－)，
∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.
②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－v，
∴u∥v，∴α∥β.
③∵u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)，
∴u与v不共线，也不垂直，
∴α与β相交但不垂直．
(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，
∴u·a＝－6＋8－2＝0，∴u⊥a，
∴l⊂α或l∥α.
②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，u＝－a，
∴l⊥α.
③∵u＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)，∴u与a不共线，也不垂直，
∴l与α相交，但不垂直．
同步训练：
1．已知直线l的方向向量为u＝(2,0，－1)，平面α的一个法向 量为v＝(－2,1，－4)，则l与α的位置关系为________．
解析：∵u·v＝(2,0，－1)·(－2,1，－4)＝－4＋0＋4＝0 ，
∴u⊥v，∴l∥α或l⊂α.
2．根据下列条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、 直线与平面的位置关系．
(1)直线l1与l2的方向向量分别是 a＝(1，－2，－2)，b＝(－2，－3,2)．
(2)平面α，β的法向量分别为 u＝(1,3,6)，v＝(－2，－6，－12)．
(3)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是 a＝(2,0,3)，v＝(1，－4，－3)．
(4)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是 a＝(3,2,1)，v＝(1，－2,1)．
解：(1)∵a＝(1，－2，－2)，b＝(－2，－3,2)，
∴a·b＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.
(2)∵u＝(1,3,6)，v＝(－2，－6，－12)，
∴v＝－2(1,3,6)＝－2u，∴u∥v，∴α∥β.
(3)∵a＝(2,0,3)，v＝(1，－4，－3)，
∴a与v既不共线也不垂直，∴l与α斜交．
(4)∵a＝(3,2,1)，v＝(1，－2,1)，
∴a·v＝3－4＋1＝0，a⊥v，
∴l⊂α或l∥α.
[例2] 已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，求平面ABC的一个法向量．
[精解详析] 设坐标原点为O，
由已知可得＝－
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＝(0,2,0)－(1,0,0)＝(－1,2,0)，
＝－＝(0,0,3)－(1,0,0)＝(－1,0,3)．
设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝(x，y，z)·(－1,2,0)＝－x＋2y＝0，
n·＝(x，y，z)·(－1,0,3)＝－x＋3z＝0.
不妨令x＝6，则y＝3，z＝2.
因此，可取n＝(6,3,2)为平面ABC的一个法向量．
[一点通] 利用待定系数法求法向量的解题步骤：
同步训练：
3．已知平面内的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则该平面的一个法向量为( )
A．(1，－1,1) B．(2，－1,1)
C．(－2,1,1) D．(－1,1，－1)
4.四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°， SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.在如图所示的坐标系Axyz中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量．
【方法小结】
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利用向量方法证明几何中的平行问题可以通过两条途径实现，一是利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系；二是通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．
教学后记：
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