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第十二章 全等三角形
学习内容： 12.1全等三角形
学习目标: 1.能说出怎样的两个图形是全等形，并会用符号语言表示两个三角形全等。
2.能在全等三角形中正确地找出对应顶点、对应边、对应角。
3.能说出全等三角形的对应边、对应角相等的性质。
学习重点：探究全等三角形的性质
学习难点: 掌握两个全等三角形的对应边、对应角
学习方法：小组讨论，合作探究
一 课前预习：阅读课本P31-32，解决下列问题
(一)、全等形、全等三角形的概念
阅读课本P31内容，回答课本思考问题，并完成下面填空：
1．能够完全重合的两个图形叫做 ．
全等图形的特征：全等图形的 和 都相同．
2．全等三角形．新- 课-标- 第- 一-网
全等三角形
定义
能够 的两个三角形。
表示
用 表示，左图记作：△ABC △DEF
读法
读作：
对应边
全等三角形＿＿＿＿的边，如左图，
AB与 ＿＿，BC与 ＿＿，AC与 ＿＿。
对应
顶点
全等三角形＿＿＿＿的顶点，如左图，
点A与 ＿＿，点B与 ＿＿，点C与 ＿＿。
对应角
全等三角形＿＿＿＿的角，∠A与＿＿，
∠B与＿＿，∠C与∠＿＿。
注意记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
（二）、全等三角形的对应元素及表示
阅读课本P31第一个思考及下面两段内容，完成下面填空：
1． 平移 翻折 旋转
启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后， 变化了，但 、 都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形 ，这也是我们通过运动的方法寻全等的一种策略．
2．全等三角形的对应元素（说一说）
（1）对应顶点（三个）——重合的
（2）对应边（三条） ——重合的
（3）对应角（三个） ——重合的
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3．寻找对应元素的规律
（1）有公共边的，公共边是 ；（2）有公共角的，公共角是 ；
（3）有对顶角的，对顶角是 ；
（4）在两个全等三角形中，最长边对应最长边，最短边对应最短边；
最大角对应最大角，最小角对应最小角．X |k |B| 1 . c|O |m
简单记为：（1）大边对应大边，大角对应 ;
(2) 公共边是对应边，公共角是 ，对顶角也是 ;
4．“全等”用“ ”表示，读作“ ”
如图甲记作：△ABC≌△DEF 读作：△ABC全等于△DEF
如图乙记作： 读作：
如图丙记作： 读作：
注意：两个三角形全等时，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．
（三）、全等三角形的性质
阅读课本P32第二个思考及下面内容，完成下面填空：
全等三角形的性质：全等三角形的 相等；全等三角形的 相等．
课堂探究（小组讨论 合作交流）
活动一：观察下列各组的两个全等三角形，并回答问题：
（1） 如图（1）△ABC≌△DEF ，BC的对应边是 ，即可记为BC= 。
∠A对应角是 即可记为∠A = 。。
（2） 如图（2）△ABC≌△DEF，△ABC的边AC的对应边是 ，即可记为AC= 。
（3） 如图（3）△ABC≌△ ，∠ABC对应角是 即可记为∠ = ∠ 。
（4） 如图（4）△ABC≌△ ，△ABC的∠BAC的对应角是 即可记为∠ = ∠ 。
（5） △ABC≌与△DEF，AB=DE,AC=DF,BC=EF,写出所有对应角相等的式子。
规律总结：
1.全等三角形的对应边 ，对应角 。
2.两个三角形全等，与它们所在的位置 关系。(填有或无)
二、范例分析
例1．如图1，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中的对应边和对应角．
图1 图2
例2．如图2，已知△ABE≌△ACD，∠ADC=∠AEB，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角．
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三、【自能训练】
1．“全等”用符号 表示，读作： ．
2．若△BCE≌△CBF，则∠CBE= ，
∠BEC= ，BE= ， CE= ．
3．判断题
（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等． （ ）
（2）全等三角形的周长相等，面积也相等． （ ）
（3）面积相等的三角形是全等三角形． （ ）
（4）周长相等的三角形是全等三角形． （ ） 第4题图
4．如图：△ABC≌△DBF，找出图中的对应边，对应角．新 课 标 第 一 网
答：∠B的对应角是 ，∠C的对应角是 ，∠BAC的对应角是 ；
AB的对应边是 ，AC的对应边是 ，BC的对应边是 ．
5．如下图，≌，并且，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．如下图，≌，若，，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．以上都不对
7．如下图，直角△ABC沿直角边所在直线向右平移得到，下列结论错误的是（ ）
A．≌ B． C． D．
8．在中，，与全等的三角形有一个角为，则中与这个角对应相等的角是（ ）
A． B． C． D．或
第5题图 第6题图 第7题图
9．如图，已知≌，求证：
10.如图，AB与AC，AD与AE是对应边，已知：，求的大小。
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学习内容：11.2三角形全等的判定（1）
学习目标: 1.经历三角形全等的判定的全过程，体会利用操作 归纳获得数学结论的过程。
2.掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性。
3. 通过对问题的共同探讨培养学生的协作能力。
学习重点:三角形全等的条件。
学习难点:寻求三角形全等的条件．
学习方法：小组讨论，合作探究
一 课前预习
阅读课本P35-37，解决下列问题：1.画一个三角形与已知三角形的三边相等.
2.全等三角形判定方法“边边边”.3.作一个角等于已知角.
【自能学习】
一、课前准备
1． 叫做全等三角形
2．全等三角形的 和 相等
3．将△ABC沿直线BC平移，得到△DEF，说出你得到的结论，说明理由？
如果AB=5， ∠A=55°， ∠B=45°，那么DE= ，∠F= ．
三自主探究（小组讨论 合作交流）
活动一探究三角形全等的条件:阅读课本探究1之前，回答下面问题：
1. 思考：两个三角形，有三条对应边，三个对应角，如果满足这六个条件中的一个或两个相等时，能不能保证所画出的两个三角形一定全等？
2. 只给一个条件。
（1）只给一条边时； （2）只给一个角时
结论：只有一条边或一个角对应相等的两个三角形 全等(填“一定”或“不一定”)
3.给出两个条件
（1）给出两个角相等： （2）给出两条边相等
结论：两个角对应相等的两个三角形 全等(填“一定”或“不一定”)
结论：两条边对应相等的两个三角形 全等(填“一定”或“不一定”)
（3）给出一边一角相等：
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结论：一条边一个角对应相等的两个三角形 全等(填“一定”或“不一定”)
总结：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形全等。
（4）如果两个三角形有三个条件对应相等，这两个三角形全等吗？我们也可以分情况讨论，有哪几种情况？
你觉得总共有几种情况，分别是
①我们先来探究两个三角形三个角对应相等的情况：
300
700
800
300
800
700
结论：两个三角形的三个角对应相等，这两个三角
形 全等（填“一定”或“不一定”）
活动二：探究三条边对应相等的两个三角形是否全等。
②我们这节课来重点研究两个三角形三条边对应相等的情况．画出一个三角形，使它的三边长分别为3cm、 4cm、6cm ，把你画的三角形与小组内画的进行比较，它们一定全等吗？（怎么画？是不是有难度？可以参看教材哦，最好画在另外的纸上，然后剪下来与其他同学的比较，看是否能够重合，重合即全等）
1.先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB， B′C′ =BC， A′C′ =AC。把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
2.做法看课本35页探究2. 比较验证结果
③上面的探究反映了什么规律？回答下面问题：
的两个三角形全等，简写为“ ”或“ ”．
三角形全等的判定方法：SSS
（1） 内容；三边对应 ＿＿＿的两个三角形全等。
（2） 简写：“＿＿＿”或“＿＿＿”
2.尺规作图
（1）定义：只用＿＿＿和＿＿＿的作图方法
3. 书写格式
在△ABC和△DEF中
AB = DE
BC = EF
AC=DF
∴ △ABC≌＿＿＿ (＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿)
4.如图AB=CD,AC=BD, △ABC和△DCB是否全等？试说明理由。
解：△ABC≌△DCB
理由：在△ABC和△DCB中
AB=CD
AC=BD
= （ ）
△ABC≌△DCB (SSS)
三、例题学习
阅读课本P36例1，学习“边边边”证明两个三角形全等的格式．
例1．1、[例]如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．
求证：△ABD≌△ACD．
证明：∵D是BC
∴ =
∴在△ 和△ 中
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AB=
BD=
AD=
∴△ABD △ACD( )
温馨提示：证明的书写步骤：①准备条件：证全等时需要用的间接条件要先证好；
②三角形全等书写三步骤：
A、写出在哪两个三角形中，B、摆出三个条件用大括号括起来，C、写出全等结论。
思考：利用本题的条件，你能证明AD⊥BC吗？
补例．如图，AB=AD，BC=CD，求证：（1）△ABC≌△ADC； （2）∠B=∠D．
A
B
C
D
练习：
1、如图，OA＝OB，AC＝BC. 求证：∠AOC＝∠BOC.
【自我小结】本节课我有哪些收获？我还有什么疑惑？
【自能训练】
1．下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的周长和面积分别相等
C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．所有等边三角形都全等．
2．如图，在中，，为的中点，则下列结论中：①≌；②；③平分；④，其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，若，，根据 可得≌．
4．在中，，、分别为、上的点，且，，．求证：
5．如图，点、、、在同一直线上，，，
求证：
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6．如图，已知，，求证：．
五 反馈提升
1. 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.
求证：△ABC≌△DEF
变式训练1: 已知点B、C、E、D在同一条直线上，AB＝DF，AC＝EF，BE= CD，
求证：AC∥EF
变式训练2: 已知AB＝AD，AC＝AE，BC ＝DE求证：∠BAD＝∠CAE
变式训练3: 已知AD＝BC，AB＝CD，求证：∠A＝∠C
思考：、你会作一个角等于已知角吗？（尺规作图，不用量角器哦）
想不出可看教材P36-37，然后把步骤总结一下：（想一想作图的道理）
3、尺规作图。
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已知：∠AOB. 求作：∠DEF,使∠DEF=∠AOB
学习内容：11.2 三角形全等的判定（2）
学习目标:
1.经历三角形全等的判定的全过程，体会利用操作 归纳获得数学结论的过程。
2.掌握三角形全等的“边角边”条件
3.在探索三角形全等及运用的过程培养学生的分析推理及简单的证明的能力。
学习重点：三角形全等的条件——边角边。
学习难点：寻求三角形全等的条件
学习方法：引导发现教学法
一、课前预习
阅读课本P37-39，解决下列问题:
问题： 如果已经知道两边一内角那么它有几种可能情况？（两种——两边及夹角或两边及一边的对角）
【自能学习】一、做一做(第1种：两边及夹角)
1．以两条线段（3cm，4cm）和一个角（45°）画一个三角形，使该角恰为这两条线段的夹角．
参考步骤：（要想一想这么画的道理哦）
（1）画一线段AB使它的长度等于4cm．
（2）以点A为顶点，作∠BAP=45°，在射线AP上截取AC＝3cm，
（3）连结BC，△ABC即为所求．
2．把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形都全等吗？
3．换两条线段和一个角，用同样的方法试试，是否有同样的结论？
结论：两边及其夹角相等，两个三角形一定全等。
4．这样我们就得到判定三角形全等的另一种方法（SAS）：
(1)内容； ＿＿＿和它们的＿＿＿对应相等的两个三角形全等。
(2)简写：“＿＿＿”或“＿＿＿”
2. 书写格式
在△ABC和△DEF中
AB = DE
∠B = ＿＿
BC = EF
∴ △ABC≌＿＿＿ (＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿)
二、思考（第2种：两边及其中一边的对角对应相等）
我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件例如两条边长度分别为2厘米，3厘米，长度为2厘米的边所对的角为30゜能判定两个三角形全等吗？
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结论：两边及其一边所对的角相等，两个三角形不一定全等。
二、学一学
例．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，试说明△ABD≌△ACD．
四、练一练 根据题目条件，判断下面的四组三角形是否一定全等？
(1) (2) (3) (4)
五.例题学习
X |k |B| 1 . c|O |m
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【自我小结】本节课我有哪些收获？我还有什么疑惑？
【自能训练】
1．如右图：OA=OD，OB=OC，求证：△ABO≌△DCO
证明：在△ABO和△DCO中
OA=OD
＝ （ ）
OB=OC
∴△ABO≌△DCO（ ）
2．如右图：已知AB=DC，∠ABC=∠DCB，求证：AC=BD
证明：在△BCD和△BCA
AB=DC，
∠ABC=∠DCB（ ）
BC=________ （ ）
∴△BCD≌ （ ）
∴AC=________（ ）
3．具有下列条件的两个等腰三角形，不能判定它们全等的是（ ）
A．顶角、一腰对应相等 B．底边、一腰对应相等
C．两腰对应相等 D．一腰、一底角、一底边对应相等
4．如图，下列条件中能使≌的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．如图，线段、互相平分交于点，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知，．求证：≌
7．点、、、在同一直线上，，AE=BC且．
求证：⑴≌ ⑵
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8．如图，于，于，，．
求证：
练习
如图，AB=CB, ∠ABD=∠CBD, △ABD与△CBD全等吗？
解：在△ABD与△CBD中
AB=CB （已知）
∠ABD=∠CBD （已知）
=
△ABD≌△CBD （ ）
变式1如上图，AB=CB,BD平分∠ADC, △ABD与△CBD全等吗？
变式2如上图，AD=CD .BD平分∠ADC, △ABD与△CBD全等吗？
变式3如上图，AD=CD .BD平分∠ADC, ∠A=∠C吗？
五 达标测试、反馈提升
1、 已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE
求证：（1） △ABD≌△ACE （2） ∠ADB= ∠AEC
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学习内容： 三角形全等的判定（3）（4）
学习目标:
1.经历三角形全等的判定的全过程，体会利用操作 归纳获得数学结论的过程。
2.掌握三角形全等的“角边角”条件
学习重点：三角形全等的条件——角边角。
学习难点：寻求三角形全等的条件
学习方法：引导发现教学法
一、课前预习
阅读课本P39-41，解决下列问题：
三角形全等的判定方法：ASA AAS
【自能学习】一、做一做
1．已知两个角（30°，45°）和一条线段（3cm），以这两个角为内角，以这条线段为这两个角的夹边，画一个三角形．
参考步骤：
（1）一线段AB使它的长度等于3cm；
（2）分别以点A、B为顶点，作∠BAP=30°，∠ABQ=45°，AP、BQ相交于点C；
（3）△ABC即为所求．
思考：1）．把你画的三角形与其他同学画的进行比较，所有的三角形都全等吗？
2）．换两个角和一条线段，用同样的方法试试看，是否有同样的结论？
结论：两角及夹边相等，两个三角形一定全等。
2．由此又得到一个全等三角形的判定方法（ASA）：
三角形全等的判定方法：ASA AAS
(1) ASA 内容； ＿＿＿和它们的＿＿＿对应相等的两个三角形全等。
(2)简写：“＿＿＿”或“＿＿＿”
（3） 书写格式
在△ABC和△DEF中
∠A=∠D
AB=＿＿
∠B = ＿＿
∴ △ABC≌＿＿＿ (＿＿＿)
二、学一学
例．如图所示，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，
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试说明△ABC≌△DCB．
三、想一想
如图，如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形是否一定全等？
你的结论是______________________________，你能证明吗？
证明：
由此得到另一个全等三角形的判定方法（AAS）：
结论：两角及其一角所对的边相等，两个三角形一定全等。
(1) AAS 内容； ＿＿＿和其中一个角的＿＿＿对应相等的两个三角形全等。
(2)简写：“＿＿＿”或“＿＿＿”
2. 书写格式
在△ABC和△DEF中
∠A=∠D
∠B=∠E
BC=＿＿
∴ △ABC≌＿＿＿ (＿＿＿＿＿＿＿＿)
四、理一理
如果知道两个三角形的两个角及一条边分别对应相等，这时应该有两种不同的情况：
一种情况是 ；
另一种情况是 ，
两种情况都可以证明三角形全等．如图所示．
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二、合作探究
1、例1、如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．
求证：AD=AE．
2．已知：点D在AB上，点E在AC上， BE⊥AC, CD⊥AB,AB=AC，求证：BD=CE
三、学以致用
3、如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AD是△ABC的角平分线，
∠1=∠C,求证AC=AB+CE
3、如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AD是△ABC的角平分线，∠1=∠C,求证AC=AB+CE
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四、课堂小结
（1）今天我们又学习了两个判定三角形全等的方法是：
（2）三角形全等的判定方法共有
五、课后检测
1、
2、
3、
4.满足下列哪种条件时,就能判定△ABC≌△DEF ( )
A. AB=DE,BC=EF, ∠A＝∠E; B. AB=DE,BC=EF, ∠C＝∠F
C. ∠A＝∠E,AB=EF, ∠B＝∠D; D. ∠A＝∠D,AB=DE, ∠B＝∠E
A F C D
1
2
E
B
5.如图所示,已知∠A＝∠D,∠1＝∠2,那么要
得到△ABC≌△DEF,还应给出的条件是:( )
A. ∠B＝∠E B.ED=BC
C. AB=EF D.AF=CD
6.如6题图, 在△ABC和△DEF中,AF=DC, ∠A＝∠D,
当_____________时,可根据“ASA”证明△ABC≌△DEF
【自能训练】
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1．下列说法中，正确的是（ ）
A．所有的等腰三角形全等 B．有两边对应相等的两个等腰三角形全等
C．有一边对应相等的两个等腰三角形全等 D．腰和顶角对应相等的两个等腰三角形全等
2．在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A=44°，∠B=67°，∠C′=69°，∠A′=44°，且AC=A′C′，那么这两个三角形（ ）
A．一定不全等 B．一定全等 C．不一定全等 D．以上都不对
3．如图，和中，下列能判定≌的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．如图为打碎的一块三角形玻璃，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
4．在△ABC和△DEF中，条件(1)AB=DE，(2)BC=EF，(3)AC=DF，(4) ∠A=∠D，(5) ∠B=∠E，(6) ∠C=∠F，则下列各组条件中，不能保证△ABC≌△DEF的是（ ）
A．(1) (2) (3) B．(1) (2) (5) C．(1) (3) (5) D．(2) (5) (6)
5．如图，，，则图中全等三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
6．如图，于，于，平分，则图中
全等三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
7．如图，已知，，求证：
8．如图，，，．求证：≌．
五 达标测试、反馈提升
1.如图，已知∠BAD=∠CAE，∠ADE=∠AED，BD=CE
求证：AB=AC
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学习内容： 三角形全等的判定（5）
学习目标:
1.经历直角三角形全等的判定的全过程，体会利用操作 归纳获得数学结论的过程。
2.掌握直角三角形全等的“斜边直角边”条件
3.在探索三角形全等及运用的过程培养学生的分析推理及简单的证明的能力。
学习重点：三角形全等的条件——斜边直角边。
学习难点：寻求直角三角形全等的条件
学习方法：引导发现教学法
一 课前预习:阅读课本P41-42，解决下列问题：三角形全等的判定方法：HL
一、自主学习1、复习思考
(1)、判定两个三角形全等的方法： 、 、 、
(2)、如图，Rt△ABC中，直角边是 、 ，斜边是
(3)、如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，
①若∠A=∠D，AB=DE，
则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
②若∠A=∠D，BC=EF，
则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
③若AB=DE，BC=EF，
则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）
④若AB=DE，BC=EF，AC=DF
则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）
2、如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？
(1)动手试一试。
已知：Rt△ABC
求作：Rt△， 使=90°， =AB, =BC
作法：
(2) 把△剪下来放到△ABC上，观察△与△ABC是否能够完全重合？
(3)归纳；由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法
斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形 （可以简写成“ ”或“ ”）
A
B
C
A1
B1
C1
(4)用数学语言表述上面的判定方法
在Rt△ABC和Rt中,
∵ ∴Rt△ABC≌Rt△
（5）直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法 “ ”、
“ ”、 “ ”、 “ ”、 还有直角三角形特殊的判定方法 “ ”
二、合作探究
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1、如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，
你能说明BC与BD相等吗？
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三、例题学习
1.已知： AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD. 求证： BC=AD.
补例．如图，于，于，且，求证：．
补例．如图，，，于，于．求证：．
三、学以致用
1、如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC
（填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）
2、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）
A、两条直角边对应相等 B、斜边和一锐角对应相等
C、斜边和一条直角边对应相等 D、两个锐角对应相等
3、如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，
AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由
答：AB平行于CD
理由：∵ AF⊥BC，DE⊥BC （已知）
∴ ∠AFB=∠DEC= °（垂直的定义）
∵BE=CF，∴BF=CE
在Rt△ 和Rt△ 中
∵∴ ≌
（ ）
∴ = （ ）
∴ （内错角相等，两直线平行）
五、当堂检测
如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，
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（1）若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，根据
（2）若AC//DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF，根据
（3）若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF，根据
（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF。则△ACE≌△BDF，根据
（5） 若AC=BD，CE=DF（或AE=BF），则△ACE≌△BDF，根据
六、课堂小结:这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流
2.练习：课本43页 练习1、2
【自能训练】
1．下列命题中正确的有（ ）
①两直角边对应相等的两直角三角形全等；
②两锐角对应相等的两直角三角形全等；
③斜边和一条直角边对应相等的两直角三角形全等；
④一锐角和斜边对应相等的两直角三角形全等．
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
2．如图，和中，，，点、、、
在同一条直线上，再增加一个条件，不能判定≌的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，于，于，图中全等三角形的组数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，于，于，，．
求证：
5．如图，点、、、在同一条直线上，，，，
且，求证：
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7．如图，、、、在同一条直线上，于，于，，．
探究与的关系，并说明理由．
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学习内容： 三角形全等的判定复习
学习目标:
1.进一步掌握三角形全等的条件
2.在解决问题的过程培养学生的分析推理及简单的证明的能力
学习重点（难点）：三角形全等的条件的应用
学习方法：讲练结合法
一、 知识要点回顾
1.全等三角形的概念： 的两个三角形叫做全等三角形。
2．全等三角形的性质：全等三角形的对应边 ，对应角 。
3.全等三角形的判定：（1）一般三角形全等的判定： 。
（2）直角三角形全等的判定： 。
注意（1）“分别对应相等”是关键。
（2）两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。
二、三角形全等判定的思路
1如图1，已知△ABC和△DCB中，AB=DC,请补充一个条件 ，使△ABC≌△DCB.
2.如图2，已知∠C=∠D,要判定△ABC≌△ABD,需要添加的一个条件是 。
3.如图3，已知∠1=∠2要要判定△ABC≌△CDA, 需要添加的一个条件是 。
4.如图4，已知∠B=∠E,要判定△ABC≌△AED，需要添加的一个条件是 。
1.已知;如图5，B、C、E三点在同一直线上，AC∥DE,AC=CE, ∠ACD=∠B，
求证：△ABC≌△CDE
2.如图6，AB⊥BC,AD⊥DC,AB=AD,求证：∠1=∠2。
3.已知，如图7,C为BE上一点，点A,D分别在BE两侧，
AB∥ED,AB=CE,BC=ED求证：AC=CD
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【例题分析】
例1．如图已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的图形是( )
A．甲和乙 B．乙和丙
C．只有乙 D．只有丙
例2．如图，在和中，、、、在同一直
线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的
一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明．
①，②，③，④．
例3．如图，，，．
猜想线段、的大小关系，并说明理由．
例4． 如图1，正方形通过剪切可以拼成三角形．仿照上面图示的方法，解答下列问题：操作设计（在原图上画出即可）：
⑴如图2，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的长方形；
⑵如图3，对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的长方形．
【自能训练】
1．下列给出的四组条件中，能判定≌的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．， ， 周长＝周长
2．若≌，且的周长为20，，，则长为（ ）
A．5 B．8 C．7 D．5或8
3．如图，在上，在上，且
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，那么补充下列一个条件后，仍无法判定≌的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，将两根钢条、的中点连在一起，使、可以绕着点自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽，那么判定≌的理由是（ ）
A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边
5．在和中，，，，，且，那么这两个三角形（ ）A．一定不全等 B．一定全等
C．不一定全等 D．以上都不对
6．如图，若≌，则等于（ ）
A．30° B．50° C．60° D．100°
7． 已知，，，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明．
8．如图，给出五个等量关系：①；②；③；④；⑤．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，写出一个正确的命题（只需写出一种情况），并加以证明．
9．如图，和都是等边三角形，连接，交于．
求证：⑴； ⑵
三 综合运用，自我检测
1. 下列各组图形是全等形的是（ ）
A 所有的直角三角形 B斜边和一个锐角相等的两个直角三角形
C 有一个角是50°两个等腰三角形 D两个等边三角形
5. 如图把△ABC绕点A旋转到△ADE，使点D落到BC上，
若∠ADB+∠EDC=110°则∠ABC=＿＿＿
6.已知如图，AB=AD，AC平分∠DAB，则图中有＿＿＿对全等
的三角形，它们分别是＿＿＿＿＿＿
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8.已知：D是△ABC的边AB上的一点，AB∥FC，DF角AC与点E，
DE=EF 求证 AE=CE
10.两组邻边分别相等的四边形叫筝形，如图在筝形ABCD中，AB=AD
BC=DC，AC BD相交与点O
求证（1）△ABC≌△ADC
（2）OB=OD AC⊥BD
（1） AC=6 BD=4 求：筝形ABCD的面积
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学习内容： 11.3 角平分线的性质（1）
学习目标:
1.应用全等三角形的知识理解角平分线的原理
2.会利用尺规作一个角的角平分线
3.在利用尺规作图的过程中培养学生的动手操作能力。
学习重点：利用尺规作一个角的角平分线
学习难点：角平分线作图方法的提炼
学习方法：讲练结合法
一、课前预习
阅读课本48-49页完成下列的问题：
1.角平分线的尺规作图：做∠AOB的角平分线，并将做法补充完整。
做法：1）以＿为圆心，＿＿＿为半径，交OA 于＿＿＿
OB于 ＿＿＿2）分别以＿＿＿为圆心，大于＿＿＿为半径
画弧，两弧在∠AOB内部交于点＿＿＿3）画＿＿＿
2.从作图我们可猜想：
角平分线的性质:角的平分线上的＿＿到角的两边的＿＿＿相等。
3．小帅尝试证明这个性质，已经做出了一些步骤，请你帮他补充完整：
解： 如图，已知：
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求证：______=_______
证明：
结论：角平分线的性质定理
注意：该定理证明线段相等的一种方法，也是引辅助线的一种常用方法．
4.用数学符号表示为：(如上图)
∵点P在∠AOB的角平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ______=_______（ ）
O
A
B
E
D
C
P
证明一个几何命题的一般步骤
1. 。
2. 。
3. 。
三．例题学习
1、如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,问PE=PD?为什么?
2、如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；
求证：CF=EB
3.E
D
C
B
A
在Rt△ABC中，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E，则
⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？
⑵哪条线段与DE相等？为什么？新 课 标 第 一 网
⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长。
四、新知应用 体验成功
1.如图在△ABC中∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8，BD=5，
那么D到直线AB的距离是＿＿＿。
2. 如图若点P在∠AOB的角平分线上，若应用角平分线的性质可
得到：PA=PB则需要添加的条件是＿＿＿。
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3.如图，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DEAB，
且DE=3cm,BD=4cm,则BC= cm
4．如图，平分，于，于，为上一点，
连接、．求证：⑴
⑵=
5．如图所示，是的平分线，于，于，
且，那么与相等吗？为什么？
【自我小结】本节课我有哪些收获？我还有什么疑惑？
【自能训练】
1．如图，于，于，平分，
则下列结论中正确的有（ ）①；②；③
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．如图，在中，，平分，，连接，
则下列结论错误的是（ ）
A．≌ B． C． D．
3．如上题图，在中，，，平分，
于，且，则的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．如图，在中，，平分，已知，
，则点到的距离为_______cm．
5．如图，平分，交延长线于，于，且．
求证：
6．如图，平分，于，于，连接交于．
求证：
7．已知，如图为的平分线，，点在上，
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于，于．求证：
X k B 1 . c o m
8．如图，已知，P为∠ABC平分线上的一点，且PE=PF，结合所
学知识，你认为∠1，∠2有什么关系？并证明．
学习内容： 角平分线的性质（2）
学习目标:
1.会叙述角平分线的性质及“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”
2.能利用两个性质解决一些实际问题
学习重点：角平分线的性质及应用
学习难点：利用两个性质解决一些实际问题
学习方法：探索归纳法
一、课前预习:阅读课本49页完成下列的问题：角平分线的判定及几何语言表述
【自能学习】复习旧知——角平分线的性质定理
1．性质定理：角平分线上的点到角的 的距离 ．
2．几何语言：（注意：三个已知条件缺一不可）
∵，，
∴
3、画出三角形三个内角的平分线
你发现了什么特点吗？
4．如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证，点P到三边AB，BC，CA的距离相等。
二、探究新知：
1.求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
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（提示：先画图，并写出已知、求证，再加以证明）
小帅已经做出了一些步骤，请你帮他补充完整：
解：如右图，过______做射线，
已知：，；并且_______=_______
求证：_____是的平分线
证明：
结论：角平分线的判定定理:
角的内部到角的两边＿＿＿＿的点在角的＿＿＿上。
注意：（1）该定理也是证明两角相等的一种方法；
（2）三角形的三条角平分线交于一点，这点是三角形的内心，到三边的距离相等．
(3）符号语言：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD= PE
∴ ＿＿＿＿＿＿（ ）
（4）作用：常证明两个角相等
2、比较角平分线的性质与判定X |k |B| 1 . c|O |m
2、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，
求证∠1＝∠2
三、例题学习
例1．如图，在四边形中，，
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平分交于，且，求证：平分
例2．如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE＝2cm，
AB＝9cm，BC＝6cm，求△ABC的面积．
3.如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC,BD平分∠ABC,求证：∠A+∠C=180°
四、应用新知 解决问题：
1.要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离
公路，铁路的交叉处５00米，应建在何处？
（比例尺 1：20 000）
【自我小结】本节课我有哪些收获？我还有什么疑惑？
【自能训练】
1、已知△ABC中，∠A=60°，∠ABC,∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC的度数为
2、到三角形三条边的距离相等的点是（ ）
A、三条中线的交点 B、三条高线的交点
C、三条边的垂直平分线的交点 D、三条角平分线的交点
3．下面哪个点到三角形三边的距离相等（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三角形内任意一点
4．如图，的两个外角平分线相交于点，则下面结论正确的是（ ）
A．不平分 B．平分 C．平分 D．
5．在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离为 ．
6．如图，的三边、、
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的长分别为20、30、40，其三条角平分线的交点为，则 ．
7．的平分线上一点，到的距离为，则到的距离为 ．
8．如图，在直线上求一点，新 课 标 第 一 网
使得点到射线和的距离相等．
9．如图，在中，，
点为三条角平分线的交点，于，
于，于，且，
，，求的长．
10．如图，是内一点，在上，在上，且，与的面积相等．
求证：平分
11．如图，，于，于．
⑴求证：在的平分线上；
⑵若将⑴的条件“”和结论“在的平分线上”互换，成立吗？说明理由．
五 达标测试、反馈提升
1、D是△ABC外角∠ACE的角平分线，DF⊥AC与E，
DE⊥BC交BC的延长线于E，求证：CE=CF
2、已知：∠C=∠D=90°。AC=AD求证：（1）∠ABC=∠ABD
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（2） BC=BD（要求：不用三角形全等证明）
变式：已知C、D是∠AOB的平分线上的点，CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，DE=DF
求证∠CDE=∠CDF
学习内容：本章小结
学习目标：1、了解全等形及全等三角形概念
2、理解掌握全等三角形的性质及判定
3、掌握角平分线的引用
4、通过学习培养学生的综合应用能力和几何知觉
学习重点：全等三角形性质和条件的综合应用
学习难点：全等三角形性质和条件和其他几何知识的应用
一、课前预习（自我总结 形成体系）
两两边一____
两边一对角
____________
____________
三边______________
___边_____________
两角一边对应相等
__________________
一个条件
两个条件
三个条件
三角形全等
探究
三角形
全等的
条件
二、基本训练，掌握双基
1.填空
(1)能够 的两个图形叫做全等形，能够 的两个三角形叫做全等三角形.
(2)把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做 ，
重合的边叫做 ，重合的角叫做 .
(3)全等三角形的 边相等，全等三角形的 角相等.
(4) 对应相等的两个三角形全等（边边边或 ）.
(5)两边和它们的 对应相等的两个三角形全等（边角边或 ）.
(6)两角和它们的 对应相等的两个三角形全等（角边角或 ）.
(7)两角和其中一角的 对应相等的两个三角形全等（角角边或 ）.
(8) 和一条 对应相等的两个直角三角形全等（斜边、直角边或 ）.
(9)角的 上的点到角的两边的距离相等.
2.如图，图中有两对三角形全等，填空：
(1)△CDO≌ ，其中，CD的对应边是 ，
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DO的对应边是 ，OC的对应边是 ；
(2)△ABC≌ ，∠A的对应角是 ，
∠B的对应角是 ，∠ACB的对应角是 .
3.判断对错：对的画“√”，错的画“×”.
(1)一边一角对应相等的两个三角形不一定全等. （ ）
(2)三角对应相等的两个三角形一定全等. （ ）
(3)两边一角对应相等的两个三角形一定全等. （ ）
(4)两角一边对应相等的两个三角形一定全等. （ ）
(5)三边对应相等的两个三角形一定全等. （ ）
(6)两直角边对应相等的两个直角三角形一定全等. （ ）
(7)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形不一定全等. （ ）
(8)一边一锐角对应相等的两个直角三角形一定全等. （ ）
4.如图，AB⊥AC，DC⊥DB，填空：X |k |B| 1 . c|O |m
(1)已知AB＝DC，利用 可以判定 △ABO≌△DCO；
(2)已知AB＝DC，∠BAD＝∠CDA，利用
可以判△ABD≌△DCA；
(3)已知AC＝DB，利用 可以判定△ABC≌△DCB；
(4)已知AO＝DO，利用 可以判定△ABO≌△DCO；
(5)已知AB＝DC，BD＝CA，利用 可以判定△ABD≌△DCA.
5.完成下面的证明过程： 如图，OA＝OC，OB＝OD.
求证：AB∥DC.
证明：在△ABO和△CDO中，
∴△ABO≌△CDO（ ）.
∴∠A＝ .
∴AB∥DC（ 相等，两直线平行）.
6.完成下面的证明过程：
如图，AB∥DC，AE⊥BD，CF⊥BD，BF＝DE.
求证：△ABE≌△CDF.
证明：∵AB∥DC，
∴∠1＝ .
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝ .
∵BF＝DE，
∴BE＝ .
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（ ）.
三、典型题目，加深理解
题1 如图，AB＝AD，BC＝DC. 求证：∠B＝∠D.
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题2 如图，CD⊥AB，BE⊥AC，OB＝OC.
求证：∠1＝∠2.
四、综合运用，发展能力
7.如图，OA⊥AC，OB⊥BC，填空：
(1)利用“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，
已知 ＝ ，可得 ＝ ；
(2)利用“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，
已知 ＝ ，可得 ＝ ；
8.如图，要在S区建一个集贸市场，
使它到公路、铁路的距离相等，并且离公
路与铁路交叉处300米.如果图中1
厘米表示100米，请在图中标出集
贸市场的位置.
9.如图，CD＝CA，∠1＝∠2，EC＝BC. 求证：DE＝AB.
10.如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF. 求证：AB∥DE.
11.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，BE＝CF.
求证：AD是△ABC的角平分线.
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（第11题图）
12.选做题：
如图，∠ACB=90°,AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE.
求证：△ACD≌△CBE.
（第12题图）
五 综合运用，自我检测
1．能够____ 的两个图形叫做全等图形．
2．判定两个三角形全等除用定义外，还有几种方法，它们分别可以简写成______；______；
______；______；________．
3．已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共有 对全等三角形．
4．如图△ABC≌△ADE，则AB= ，∠E=∠ ．若∠BAE=120°∠BAD=40°，
则∠BAC= ．
5．△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，若AB=3，EF=4，则AC= ．
6．如图，AE=BF，AD∥BC，AD=BC，则有ΔADF≌ ，且DF= ．
第3题图 第4题图
第6题图 第7题图
7．如图，在ΔABC与ΔDEF中，如果AB=DE，BE=CF，只要加上∠ =∠ ，或 ∥ ，就可证明ΔABC≌ΔDEF．
8．△ABC≌△BAD，A和B，C和D是对应顶点，如果AB=8cm，BD=6cm，AD=5cm，则BC=________cm．
9．△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，且CD=4cm，则点D到AB的距离是________．
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10．如图，已知AC＝BD，，那么△ABC≌ ，其判定根据是__________．
11．如图，中，于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需加条件 ＝ ．
12．如图，已知AC＝BD，，请你添一个直接条件， ＝ ，
第10题图 第11题图 第12题图
使△AFC≌△DEB．
13．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带________去配，这样做的数学依据是是 ．
14．把两根钢条AA´、BB´的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）， 如图，若测得AB=5厘米，则槽宽为 米．新 课 标 第 一 网
B
C
D
③
①
②
第13题图 第14题图 第16题图
15．△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，O是三条角平分线的交点，则∠OAC＝______，∠BOC＝_______．
16．将一张长方形纸片按如图所示的方式进行折叠，其中为折痕，则的度数为 ．
17．如右图，AB与CD交于点O，OA＝OC，OD＝OB，
∠AOD＝________，根据__________可得到△AOD≌△COB，
从而可以得到AD＝_________．
18．如右图，已知△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，
请补充完整过程说明△ABD≌△ACD的理由．
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∵AD平分∠BAC
∴∠________＝∠_________（角平分线的定义）
在△ABD和△ACD中
∵
∴△ABD≌△ACD（ ）
19．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．
B
C
D
E
F
A
20．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，
求证：△ABC≌△DEF．
【体验中考】
1．（2010四川凉山）如图所示，，，，结论：①；
②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
F
第1题 第2题 第3题
2．（2010广西南宁）如图所示，在中，，平分，交AC于点D，
且AD=3，BD=5，则点D到BC的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2010四川巴中）如图所示，AB = AC ，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是（ ）
A．∠B ＝∠C B． AD = AE C．∠ADC＝∠AEB D． DC = BE
4．（2010广西柳州）如下图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，
若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是（ ）
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A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
第5题
A
C
D
B
E
F
第6题
5．（2010 天津）如图，已知，，点A、D、B、F在一条直线上，
要使△≌△，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．
6．（2010 广西钦州）如图，在△ABC和△BAD中，BC = AD，请你再补充一个条件，
使△ABC≌△BAD．你补充的条件是 （只填一个）．
7．(2010江苏苏州)如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD=CE．
(1)求证：△ACD≌△BCE； http://w ww.xkb 1.com
(2)若∠D=50°，求∠B的度数．
8．（2010湖北武汉）如图，B，F，C，E在同一条直线上，
点A，D在直线BE的两侧，AB∥DE，AC∥DF，BF=CE．
求证：AC=DF
9．（2010江苏淮安）已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE，
求证：AE=BD．
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10．（2010湖南娄底）如图10，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，
连结AE．BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．
求证：（1）FC=AD； （2）AB=BC+AD
11．（2010广西南宁）如图10，已知，，
与相交于点，连接．
（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；
（2）求证：．
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