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班级：
第 学习小组
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预习：
整洁：
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课前热身（P31～P33）
1.能够________的两个图形叫做全等形。
2.能够________的两个三角形叫做全等三角形。
3.把两个全等的三角形重合到一起，①重合的顶点叫做________，②重合的边叫做________，③重合的角叫做_____
_____。
4. “全等”用符号：
_____表示，读作“全等于”。（注意：记两个三角形全等时对应顶点字母写在对应的位置上。）
5.你能举出一些生活中的有关全等形的实例吗？
学习
反思：
（将在例题学习中获得的方法、技巧等课堂笔记整理在下面的空白处）
我的课堂笔记：
在此记录下
你的做题过程，对做错的题进行错因分析，改正相信
你会收获很
多。：
本节反思
1．本节课你有哪些收获？（知识上，思想方法上）
2．课前你的疑难解决了吗？有没有新的问题？
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课前热身
如图：
△ABC≌△A`B`C`则
AB= 、BC= 、AC= .
∠A= 、∠B=
∠C=
反过来，满足这六个条件的两个三角形就一定全等
学习
反思：
（将在例题学习中获得的方法、技巧等课堂笔记整理在下面的空白处）
我的课堂笔记：
在此记录下
你的做题过程，对做错的题进行错因分析，改正相信
你会收获很
多。：
本节反思
1．本节课你有哪些收获？（知识上，思想方法上）
2．课前你的疑难解决了吗？有没有新的问题？
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课前热身
已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，求证：
△ABC≌△DEF．
学习
反思：
（将在例题学习中获得的方法、技巧等课堂笔记整理在下面的空白处）
我的课堂笔记：
在此记录下
你的做题过程，对做错的题进行错因分析，改正相信
你会收获很
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1．本节课你有哪些收获？（知识上，思想方法上）
2．课前你的疑难解决了吗？有没有新的问题？
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你学过的判定两个三角形全等的方法有：
1. 三边
的两个三角形全等，简写为“ ”或“ ”。
2.
的两个三角形全等，简写为“边角边”或“ ”。
3.在△ABC和
△A1B1C1中，若已知
AB=A1B1,BC=B1C1,则补充 的条件
就可以证明△ABC≌△A1B1C1，依据是
（ );
或者补充__________
的条件，也可以证明△ABC≌△A1B1C1，
依据是（ )
学习
反思：
（将在例题学习中获得的方法、技巧等课堂笔记整理在下面的空白处）
我的课堂笔记：
在此记录下
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1.如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，
① 若AB=DE，添条件 ，可证得△ABC≌△DEF，根据是 。
② 若∠A=∠D，添条件 ，可证得△ABC≌△DEF，根据是 。
③AB=DE，AC=DF若添条件 ，可证△ABC≌△DEF，根据是 。
学习
反思：
（将在例题学习中获得的方法、技巧等课堂笔记整理在下面的空白处）
想一想： 你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？
答：直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊的判定方法——“HL”，遇到具体的问题，要根据条件灵活的选用各种方法。
我的课堂笔记：
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下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？
学习
反思：
（将在例题学习中获得的方法、技巧等课堂笔记整理在下面的空白处）
注意：一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即：
① 明确命题的题设和结论，根据命题含意，画出相应的图形。
② “将命题的题设”用数学符号语言表示成“已知条件”。
③ “将命题的结论”用数学符号语言表示成“求证”
④ 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出逻辑证明过程。
我的课堂笔记：
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课前热身
在下列各图的△ABC中，用“尺规”作出三个内角的角平分线。（保留作图轨迹）
观察所作图形，你有什么发现？
该结论如何证明呢？
让我们在本节课的学习中找寻答案吧。
学习
反思：
（将在例题学习中获得的方法、技巧等课堂笔记整理在下面的空白处）
【教师点拨】
①例1 要证点P在∠A的平分线上，就是要先证点P到∠A的两边AB、CA距离相等，而已知 △ABC的角平分线BM、CN相交于点P，根据角平分线性质，我们不难得到点P到∠ABC和
∠ACB两边的距离相等 。（即到AB、BC、AC边的垂线段的长相等，所以要先作出点P到三边的垂线段作为辅助线）利用等式的传递性可以解决这个问题．
②通过本例的学习，要注意区分角平分线的性质与判定定理的应用前提。
我的课堂笔记：
在此记录下
你的做题过程，对做错的题进行错因分析，改正相信
你会收获很
多。：
本节反思
1．本节课你有哪些收获？（知识上，思想方法上）
2．课前你的疑难解决了吗？有没有新的问题？
§12.1 全等三角形讲学稿
【学习目标】
1． 了解全等形及全等三角形的概念
2． 掌握全等三角形的性质
3． 能够准确辨认全等三角形的对应元素
【重点、难点】
重点：全等三角形的性质及应用.
难点：找全等三角形的对应边、对应角.
【学习过程】
一、 新知探究
下列图形中有全等三角形吗？若有，请指出它们的对应点、对应边、及对应角，并把它们表示出来。
在图1中，把沿直线平移，得到
在图2中，把沿直线翻折，得到
图3
图2
在图3中，把旋转，得到
图1
归纳：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但 、 都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形
图1中点 和点 ，点 和点 ，点 和点 是对应顶点；
和 ， 和 ， 和 是对应边；
和 ， 和 ， 和 是对应角。
说一说：图2和图3中各全等三角形的对应点、对应边和对应角。
上述各图的全等三角形可以分别记作：
≌△DEF，△ABC≌ ，△ABC≌ ．
注意 ：对应顶点字母写在对应的位置上。
思考：观察上述各图，中两各全等三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？
全等三角形的性质： ， 。
二、范例精讲：新- 课-标- 第- 一-网
例1.如图，△ABC≌△CDA，和，和是对应边。
写出其他对应边及对应角。
例2.如图，，和是对应角。在中，是最长边。在中，是最长边。，，。
（1） 写出其他对应边及对应角
（2） 求线段及线段的长度。
例3．，和，和是对应边。和相等吗？为什么？
三、课堂反馈
1． 如图，已知，，指出其他的对应角和对应边；又知，指出所有的对应角和对应边
2． 如图，已知，，指出其他的对应边和对应角；又知，指出所有的对应边和对应角。
3． 如图，已知，，，指出其他的对应边和对应角。
四、课后巩固
1．如图，，和对应，和对应，且，，，则（ ）
第1题
第2题
2．如图，，则与的位置关系是_______，与的位置关系是__________。
3. 如图，，点、、在同一直线上，则结论：①，②，③，④，其中成立的有（ ）
仅① 仅①③ 仅①③④ ①②③④
4.如图，和、和是对应的，那么等于（ ）
第3题
第4题
5. 如图，，，
（1） 求的长
（2） 判断与的位置关系，并说明理由
§12．2.1全等三角形的判定 （1）讲学稿
【学习目标】
1．经历探索三角形全等的条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
2．掌握“边边边”条件的内容，并能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全等.
3．会直尺和圆规一个角等于已知角.
【重点、难点】
重点：全等三角形的判定条件：三边对应相等的两个三角形全等.
难点：三角形全等条件“SSS”的探索过程.
一、新知探究
问题1：若满足这六个条件中的任意一个条件的两个三角形全等吗？
问题2：若满足这六个条件中的任意两个条件的两个三角形全等吗？
（小组议一议，举例说明）
探究
先任意画出一个，再画一个，使，，， 的画法如下：
1．画线段EF =BC
2．分别以、为圆心，线段、
为半径画弧，两弧交于点
3．连接线段、
把画好的剪下，放到上，它们全等吗？你的结论是什么？
二、 范例精讲：
例1． 在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立。
在和中，
（ ）
（ ）
例2．如图， 是一个钢架， ， 是连接点 与 中点 的支架。
（1） 和 全等吗？证明你的结论。
（2）线段 与 线段有什么关系？
例3．阅读下列文字，回答问题
已知： 求作：，使
作法：
1．以点为圆心，任意长为半径画弧，
分别交，于点，
2． 画一条射线，以点为圆心
，长为半径画弧，交于点
3． 以点为圆心，长为半径画弧，
与第2步中所画的弧交于点
4． 过点画射线，则
问题：为什么这样作出的和是相等的？请你证明。
三、课堂反馈
1． 如图，，，求证：≌
2． 已知：如图，点、、、在同一条直线上，，， 求证：
。
四、课后巩固
1．如图，是的中点，，。
求证：
2．已知：如图，，
求证：
§12．2.2 全等三角形的判定（2）讲学稿
【学习目标】
1．经历探索三角形全等的条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
2．掌握三角形全等的“SＡS”条件，能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题．
【重点、难点】
重点：全等三角形的判定条件：两边及夹角对应相等的两个三角形全等.
难点：三角形全等条件“SAS”的探索过程.
一、新知探究：
探究1． 如图2，AC、BD相交于O，AO、BO、
CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO
是否能完全重合呢？
猜想：
如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形 ．
探究2.上述猜想正确吗？不妨按下列步骤画图，并作如下的实验：
先任意画出一个 ，再画出一个 ，使
（注意：使两边和它们的夹角对应相等）。的画法如下：
1．画
2．在射线 上截取，
在射线 上截取
3．连接
4.把画好 的剪下，
放到 上，它们全等吗？
由此可得：判定三角形全等的方法（二）：
边角边定理： 的
两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)
探究3.我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?
模仿前面的探究方法，小组共同探究，你们得出的结论是：
二、例题精讲
例1．在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立
如图，在和中，
≌（ ）
例2.如图所示，已知：AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2．求证：△ABD≌△ACE．
例3．如图所示，已知AD∥BC，AD＝CB，求证：△ABD≌△CDB。
三、课堂反馈
1．、已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE
求证： △ABD≌△ACE
证明:∵∠BAC=∠DAE（已知）
∴∠ BAC+ ∠ CAD= ∠DAE+ ∠ CAD
∴∠ =∠
在△ABD与△ACE中
AB=AC（ ）
∠BAD= ∠CAE （已证）
AD=AE（ ）
∴△ABD≌△ACE（ )
2．如图，，，，∠ABC＝∠BAD
求证：
3.已知：如图，，点、在上，BE = CD，
∠ADE＝∠AED 求证：
四、课后巩固
1．如图，点、在上，，
求证：
2．已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．
3.应用新知，体验成功
如图，有—池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么?
§12.2.3《三角形全等的判定（3）》讲学稿
【学习目标】
1．经历探索三角形全等的条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
2．掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题。
【重点、难点】
重点：全等三角形的判定条件:“角边角”与“角角边”的探索与应用.
难点：三角形全等条件“ASA”与“AAS”的探索过程.
一、新知探究
1. 问题：如右图某人把一块三角形的玻璃打碎成
了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样
的玻璃，你认为他应该带哪块？
2.猜想：如果两个三角形有两个 和它们的 对应相等，那么这两个三角形 ．
探究1：是否正确呢？不妨按下列步骤画图，并作如下的实验：
先任意画出一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，∠A'＝∠A，∠B'＝∠B(即使两角和它们的夹边
对应相等)．把画好的△A'B'C'剪下，放
到△ABC上，它们全等吗?
（想一想：怎样画出△A'B'C'?
先自己独立思考，动手画一画。
在画的过程中若遇到不能解决的
问题．可小组合作交流解决．）
由此可得：判定三角形全等的方法（三）
角边角公理：
的两个三角形全等(简称“角边角”或“ASA”)
探究2：如图1，在和中，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF（即使两角和其中一个角的对边对应相等），那么，
1.和全等吗？
2.你能利用“角边角”定理证明你的结论吗？
证明：
由上述证明可得：判定三角形全等的方法（四）：
角角边公理： 的两个三角形全等(简称“角角边”或“ ”)
二、范例精讲：
例1.如图，D点在AB上，E点在AC上，AB=AC, ∠B＝∠C,求证：AD=AE
例2．如图，AD、BC分别平分、，且，试说明：．
例3.已知：如图，AB=AC，BD^AC，CE^AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．
三、课堂反馈
1.如图，点E、F 在BC上，BE=CF，∠B＝∠C，∠AFB＝∠DEC,
求证： ∠A＝∠D
2．如图，AB=DE, =,∠A＝∠D,那么AC=DC吗？为什么？
３. 如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，
DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：DE=DF．
四、课后巩固
1．如图，，请你
添加一个条件： ，可得
△ADB≌△BCA．你的依据是 。
2． 在△△中，已知，，要判定这两个三角形全等，还需要条件（ ）
A． B． C． D．
3．在和中，①；②；③；④；⑤则下列条件中不能保证的是（ ）
Ａ．①②③ Ｂ．①②⑤ Ｃ．②④⑤ Ｄ．①③⑤
4．如图，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE，
∠BDC =∠CEB，求证：BD = CE．
5.已知AE交BC，垂足为D，∠1=∠2=∠3，AB=AD．
求证：∠ABE =∠ADC
12.2.4《三角形全等的判定（4）》讲学稿
【学习目标】
1.经历掌握直角三角形全等的判定方法“HL”的得出过程.
2.掌握直角三角形全等的判定方法“HL”，并能灵活选择方法判定三角形全等.
【重点、难点】
重点：运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
难点：能灵活运用三角形全等的判定方法解决问题.
一、新知探究：
问题：判断两个直角三角形是否全等，除了前面已经学习的各种方法外，是否还有什么新的方法呢？
让我们不妨按下列步骤画图，并作如下的实验：
如图：已知线段a、c(a﹤c)和一个直角α，另取一张纸，利用尺规作一个Rt△ABC,使∠C= ∠ α ，CB=a，AB=c.
画图步骤如下：
⑴ 作∠MCN=∠α=90°;
⑵ 在射线CM上截取线段CB=a
⑶ 以B为圆心,C为半径画弧，交射线CN于点A;
⑷ 连接AB.
思考：剪下你所画的三角形，和其他同学所画的三角形进行比较，它们能重合吗？
归纳：由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一种新方法
1. 与 对应相等的两个直角三角形 （可以简写成“ ”或“ ”）
2..用数学语言表述上面的判定方法
在Rt△ABC和Rt 中,
∵
∴Rt△ABC≌Rt△ （ ）
二、范例精讲
例2：如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC
与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾
斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？
解：∠ABC+∠DFE=90°.
证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中,
= ,
= .
∴ Rt△ ≌Rt△ ( ).
∴∠ABC=∠DEF( ).
又 ∠DEF+∠DFE=90°,
∴∠ +∠ =90°.（ ）
三、课堂反馈
1. 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上的
A点， 另一端分别固定在地面两个木桩B和C上，两个木
桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。
2.如图， AB⊥BC，AD⊥DC，且AD=AB ，
求证：BC=DC
3.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）
（A)两条直角边对应相等 （B）斜边和一锐角对应相等
（C）斜边和一条直角边对应相等 （D）两个锐角对应相等
4．如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC，BE=CF，求证：AB∥CD。
四、课后巩固
1.如右图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，
（1）若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，依据_____.
（2）若AC//DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF，依据是_______.
（3）若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF，依据是_____.
（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF。则△ACE≌△BDF，依据是__________.
（5） 若AC=BD，CE=DF（或AE=BF），则△ACE≌△BDF，依据是___________. 2.判断题：
（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。（ ）
（2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（3）一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（4）两直角边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（5）两边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（6）两锐角对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（7）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等（ ）
（8）一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（ ）
五、拓展提升
如图1，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F点，若AB=CD,AF=CE,BD交AC于M点。
（1）求证：MB=MD,ME=MF;
(2)当E、F两点移动至图2所示的位置时，其余条件不变，上述结论是否成立？若成立，给予证明。
§12．3．1 角的平分线的性质（一）讲学稿
【学习目标】
1.经历角的平分线性质的发现过程，掌握角的平分线的性质定理．
2.能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题.
【重点、难点】
重点：掌握角的平分线的性质定理
难点: 角平分线性质定理的应用。
一、新知探究
探究1：通过课前热身的研究，我们不难总结出：
用“尺规”作已知角的平分线的一般方法：
已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线．
作法：如右图
⑴以O为圆心，适当长为半径画弧，
分别交OA、OB于M、N．
⑵分别以M、N为圆心，大于 MN
的长为半径画弧．两弧在∠AOB内部
交于点C．
⑶画射线OC。
⑷射线OC即为所求作的∠AOB的平分线．
针对训练1
用“尺规”画出下列各角的平分线（不写作法，保留作图轨迹）
探究2：如下图OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，
（1）操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长度.将三次数据填入下表：
PD
PE
第一次
第二次
第三次
（2）猜测：观察上表的测量结果,小组讨论一下，猜想线段PD与PE的大小关系。你的猜想结论是
根据你的测量结果，你认为：
角的平分线上的点到角的两边的距离 。（填“相等”或“不相等”）
这个命题的题设是：_______________________________________
这个命题的结论是：_______________________________________
（3）证明：根据上面的图形，和命题的题设与结论，请你对应的用数学的符号语言写出已知和求证，并证明命题的正确性
已知：
求证：
证明：
角的平分线的性质：
角的平分线的性质定理符号语言描述（如右上图）：
∵OC平分∠AOB，P是OC 上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．
∴PM=PN
二、范例精讲
例1. 如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF.
求证：CF=EB
例2. 如图,在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长
三、课堂反馈
在Rt△ABC中，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E，若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长。
四、课后巩固
1.作下列角的平分线（不写作法，保留作图轨迹）
2.△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F,求证EB＝FC
3.如图的三角形纸片事，∠C=90°AB＝5cm，BC＝4cm，AC＝3cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD。求：△AED的周长。
§12．3．2 角的平分线的判定（二）讲学稿
【学习目标】
1．进一步熟练角平分线的画法，证明几何命题的步骤
2．应用三角形全等的知识，探索研究角平分线的性质与判定．
3.进一步理解角平分线的性质和判定，并能综合运用它们解决一些数学问题。
【学习重点】角平分线的判定及运用。
【学习难点】角平分线的性质与判定定理的区别与灵活运用。
一、新知探究
上节课我们得角的平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
问题1：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距
离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处？
（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000，保留好作图轨迹）？
1）500m标在图上，长度是多少？
2）集贸市场建于何处，你的画图
的依据是什么呢？
问题2：那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？
猜想：角的内部到角的两边的距离相等的点 (填“在”或“不一定在”)角的平分线上。
请证明你的猜想
（提示：先画图，并写出已知、求证，再利用三角形全等，加以证明）
角平分线的性质与判定的对照记忆表：
二、范例精讲
例1：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P也在∠A的平分线上。
证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．
例2：如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，求证∠1＝∠2
三、课堂反馈
1.下列说法错误的是（ ）12999.com
A.到已知角两边距离相等的点都在同一条直线上
B.一条直线上有一点到已知角的两边的距离相等，
则这条直线平分已知角
C.到已知角两边距离相等的点与角的顶点的连线平分已知角
D.已知角内有两点各自到两边的距离相等，经过这两点的直
线平分已知角
2.到三角形三条边的距离相等的点是（ ）
A.三条中线的交点 B.三条高线的交点
C.三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点
A
B
C
D
E
P
3.如图，△ABC的B的外角的平分线BD与C的外角的平分线CE相交于点P,求证：点P到三边AB,BC,CA所在的直线的距离相等.
四、课后巩固
1.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E，F是OC上的另一点，连接DF，EF。
求证DF＝EF
2. 如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F。
求证：D到PE的距离与D到PF的距离相等
3.如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC,BD平分∠ABC.
求证：∠A+∠C=180°
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全等三角形知识点归纳与复习（一）
班级： 姓名： 整洁： 成绩：
一、知识梳理
1._________ 的两个三角形全等；
2．全等三角形的对应边_____;对应角______ ;
3．证明全等三角形的方法
（1）三边 的两个三角形全等，简写为“ ”或“ ”。
（2） 的两个三角形全等，简写为“边角边”或“ ”。
（3） 的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ ”。
（4） 的两个三角形全等，简写为“角角边”或“ ”。
（5） 和 对应相等的两个直角三角形全等，简写为“ ”或“HL”
4.证明全等三角形的基本思路X |k |B| 1 . c|O |m
(1)已知两边
(2)已知一边一角
(3)已知两角
5.角平分线的性质：________________________________________
用法：∵_____________;_________;_________
∴QD=QE
6.角平分线的判定：_____________________________________
用法：∵_____________;_________;_________
∴点Q在∠AOB的平分线上
二、基础过关
1．下列条件能判断△ABC和△DEF全等的是（ ）
A．AB=DE，AC=DF，∠B=∠E B．∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EF
C．∠A=∠F，∠B=∠E，AC=DE D．AC=DF，BC=DE，∠C=∠D
2．在△ABC和△DEF中，如果∠C=∠D，∠B=∠E，要证这两个三角形全等，还需条件（ ）
A．AB=ED B．AB=FD C．AC=DF D．∠A=∠F
3．在△ABC和△A’B’C’中，AB=A’B’，AC=A’C’，要证△ABC≌△A’B’C’，有以下四种思路证明：① BC=B’C’；② ∠A=∠A’；③ ∠B=∠B’；④ ∠C=∠C’，其中正确的思路有（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①② D．③④
A．①②③ B．①④ C．②④ D．②③
4．在△△中，已知，，要判定这两个三角形全等，还需要条件 ( )
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5．如图3，AB＝DB，BC＝BE，欲证△ABE≌△DBC，则需补充的条件是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠E＝∠C C．∠A＝∠C D．∠1＝∠2
6．如图4，已知：∠1＝∠2，要证明△ABC≌△ADE，还需补充条件（ ）
A．AB＝AD，AC＝AE B．AB＝AD，BC＝DE
C．AC＝AE，BC＝DE D．以上都不对
7．△ABC和中，若，，
则需要补充条件 可得到△ABC≌．
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8．如图5所示，AB、CD相交于O，且AO＝OB，观察图形，明显有，
只需补充条件 ，则有△AOC≌△ （ASA）．
三、综合提高
1．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF
2．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。
3．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF
4．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由
5．在△ABC中，，，直线经过点，且于，于.(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，
求证： ①≌；②；
(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
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全等三角形知识点归纳与复习（二）
班级： 姓名： 整洁： 成绩：
{ 知识点1 全等形的定义及全等三角形的性质
1．如图1，图中两个三角形全等，且∠A=∠D，AB与DE是对应边，则下列书写规范的是( )
A．△ABC≌△DEF B．△ABC≌△DFE w W w .x K b 1.c o M
C．△BAC≌△DEF D．△ACB≌△DEF．
2．如图2，△ABC≌△AEF，AB和AE，AC和AF是对应边，那么∠BAE等于 ( )
A．∠ACB B．∠BAF C．∠F D．∠CAF．
3．已知△ABC≌△EFG，有∠B=70°，∠E=60°，则∠C=（ ）
A． 60° B． 70° C． 50° D． 65°．
4．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y=__________．
5．已知△ABC≌△DEF，△DEF的周长为32 cm，DE=9 cm，EF=12 cm则AB=____________，BC=____________，AC=____________．
6．△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝4∶3∶2，且△ABC≌△DEF，则∠E＝______．
7．如图3，在正方形网格上有一个△ABC．⑴在网格中作一个与它全等的三角形；⑵如每一个小正方形的边长为1，则△ABC的面积是 ．
8．仿照例题：沿虚线，画出三种不同的图案，分别将下面的正方形划分成两个全等的图形．
{ 知识点2 全等三角形的判定方法
9．判定两个三角形全等除用定义外，还有几种方法，它们分别可以简写成_______、_______、_______、_______、_________．
10．（2008·天门）如图4，已知AE＝CF，∠A＝∠C，要使△ADF≌△CBE，还需添加一个条件______________________(只需写一个)，其判定的根据是 ．
11．如图5，点D、E分别在线段AB、AC上，BE与CD相交于点O，AD=AE，∠B=∠C，则可得△ ≌△ ，其判定的根据是 ．
12．如图7，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的根据是______．
13．下列各条件中，不能作出惟一三角形的是（ ）
A．已知两边和夹角 B．已知两角和夹边
C．已知两边和其中一边的对角 D．已知三边．
14．如图8,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带________去配. ( )
A．① B．② C．③ D．①和②．
15．已知：如图9，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则图中共有全等三角形（ ）
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对．
16．在△ABC和△DEF中， AB=DE，∠B=∠E，补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△DEF, 则补充的这个条件是 ( )
A．BC=EF B．∠A=∠D C．AC=DF D．∠C=∠F．
{ 知识点3 角平分线的性质与判定X k B 1 . c o m
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17．如图10，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2，则△ABD的面积是______．
18．如图11，∠BAC＝56°，PD⊥AB，PE⊥AC，PD＝PE，则∠BAP=______．
19．如图12，三条公路两两相交．现计划修建一个车站P，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地点有 个．请画图说明。
20．如图13，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E且AB=6 cm，则△DEB的周长为 ．
{ 知识点4 全等三角形性质与判定的综合应用
21.（2012·黄石）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，AE=EC，CF∥AB．
求证：AD=CF．
22．如图：A、E、F、B四点在一条直线上，AC⊥CE，BD⊥DF，AE=BF，AC=BD。
求证：△ACF≌△BDE
23．如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MC
24．如图，在一小水库的两侧有A、B两点，A、B间的距离不能直接测得，请用自己学过的知识或方法设计测量方案，测出A、B两点的距离（说明设计方案及理由，并画出草图）。
25.如图，给出五个等量关系：① ② ③ ④ ⑤．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明．
已知：
求证：
证明：
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全等三角形训练题（一）
班级： 姓名： 整洁： 成绩：
1 如图，在ΔABC与ΔDEF中，如果AB=DE，AC=DF,BE=CF，求证：ΔABC≌ΔDEF．
2..如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．求证：ABC≌△FDE。
3.. 已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，
求证：△ABC≌△DEF．
4．如图所示，已知：AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2．求证：△ABD≌△ACE．
5．已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点。求证：△ABE≌△ACF．
6．如图所示，已知AD∥BC，AD＝CB，求证：△ABD≌△CDB。
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全等三角形训练题（二）
班级： 姓名： 整洁： 成绩：
1．已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．
新 课 标 第 一 网
2．已知，如图，AB、CD相交于点O，△ACO≌△BDO，CE∥DF。求证：△COE≌△DOF。
1. 已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，
求证： AE＝AF。
4 如图：D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C．求证AD＝AE．
5．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．
6．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF．
全等三角形训练题（三）
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1．已知：如图，AB=AC，BD^AC，CE^AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．
2， 如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
求证：DE=DF．
3.已知：如图, ACBC于C , DEAC于E , ADAB于A , BC =AE．若AB = 5 ,求AD 的长？
4. 如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC，BE=CF，求证：AB∥CD。
5，.如图，AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD.求证：BC=AD
X k B 1 . c o m
6.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？
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7.己知如图△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点。 AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N。(1)求证：AD＝BE （2）说明∠BMC=∠ANC
8.如图，在中,∠ACB=90˚,D是AC上一点，AE⊥BD，交BD的延长线于点E，又AE= BD，求证：BD是∠ABC的平分线。
9.如图，在中,AB=AC,,点D为BC上任一点，DFAB于F，DEAC于E，M是BC中点，试判断是什么形状的三角形，并证明你的结论.
10.如图，在中，ＡＢ＝ＡＣ，。Ｏ是ＢＣ中点.
(1) 写出点O到的三个顶点A、B、C的距离关系.
(2) 如果点M、N分别在AB、AC上移动，在移动中保持AN=BM，
请判断的形状，并证明你的结论.
11.如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG。
(1)观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论。
(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？如果存在，请你说明旋转过程；如果不存在，请说明理由。
20、如图,AD是的平分线，M是BC中点，FM//AD，交AB于E。
求证：BE=CF。
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全等三角形章节测试卷
（100分钟，100分，2013-10-20）
班级_______ 姓名________________ 成绩______________
一、 选择题（每小题3分，共30分）
1、如图，△ABC≌△BAD，点A点B，点C和点D是对应点。
如果AB=6厘米，BD=5厘米，AD=4厘米，那么BC的长是（ ）。
(A)4 厘米 (B)5厘米 (C) 6 厘米 (D)无法确定
2、如图，△ABN≌△ACM，AB=AC，BN=CM，∠B=50°，∠ANC=120°，
则∠MAC的度数等于（ ）
A．120° B.70° C.60° D.50°.
3.使两个直角三角形全等的条件是（ ）
Ａ.一锐角对应相等 Ｂ.两锐角对应相等 Ｃ.一条边对应相等 Ｄ.两条边对应相等
4.在△ＡBC和△AˊB′C′中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，在下面判断中错误的是（ ）
A. 若添加条件AC=AˊCˊ，则△ABC≌△A′B′C′
B. 若添加条件BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′
C. 若添加条件∠B=∠B′，则△ABC≌△A′B′C′
D. 若添加条件 ∠C=∠C ′，则△ABC≌△A′B′C′ 新 课 标 第 一 网
5. 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去
6．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，
则的度数为（ ）
A．60° B．75° C．90° D．95°
7. 下列说法中不正确的是（ ）
A.全等三角形一定能重合 B.全等三角形的面积相等
C.全等三角形的周长相等 D.周长相等的两个三角形全等
8．（2004·山东潍坊市）如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（ ）
A．甲和乙 Ｂ．乙和丙
Ｃ．只有乙 Ｄ．只有丙
★ 9．如图3，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若∠B＝∠C，
∠ADE＝∠AED，则（ ）
A． 当∠B为定值时，∠CDE为定值
B． 当∠为定值时，∠CDE为定值
C． 当∠为定值时，∠CDE为定值
D． 当∠为定值时，∠CDE为定值
★ 10.如右图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形。
则下列结论：① AE=CD；②BF=BG；③HB平分∠AHD；
④∠AHC=600,⑤△BFG是等边三角形；⑥ FG∥AD。
其中正确的有（ ）
A 3个 B 4个 C 5个 D 6个
二．填空题（每小题3分，共30分）
11．如图示，AC，BD相交于点O，△AOB≌△COD，∠A=∠C，则其它对应角分别为
______________________，对应边分别为_____________________.
12．如图示，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2，则△ABD的面积是______；
13.如图示,点B在AE上,∠CBE=∠DBE,要使ΔABC≌ΔABD, 还需添加一个条件是__________.（填上你认为适当的一个条件即可）
14．如图5，于O，BO=OD，图中共有全等三角形 对。
★15.如右图示,正方形ABCD中,E、F分别在AB、BC上，AC、BD交
于O点且AC⊥BD,∠EOF＝90o,已知AE＝3,CF＝4,则S△BEF为＿＿＿.
★16.如右图示，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB=2，AC=4，则AD的取值范围是
17.如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，
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那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是__________.
18.如图10，E点为ΔABC的边AC中点，CN∥AB，过E点作直线
交AB与M点，交CN于N点，若MB=6cm，CN=4cm，则AB=_____.
19.如图示，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE＝4，BD＝8，
△ABD的面积为16，则的面积为______ ．
20．如右图示，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边
翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度
数为（ ）
A．80° B．100° C．60° D．45°．
三、证明题（每题11分，共33分）
21. 如图示，已知AB=AC，BD=DC，图中有相等的角吗？
请找出来，并说明理由。
22、如图：在△ABC中，点D，E在BC上，且AD=AE，BD=CE，∠ADE=∠AED，求证：AB=AC.
23. 已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD＝CD.
求证：D点在∠BAC的平分线上
四、试试看（13分）
24、如图示，已知四边形ABCD是正方形，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF= AB，
已知△ABE≌△ADF.
（1）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置；（3分）
（2）线段BE与DF有什么关系？证明你的结论。（10分）
五、做做看（14分）
25. （2010青海西宁）（本小题满分 14分）
八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图）.设计了如下方案：
（Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由.（9分）
（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB.此方案是否可行？请说明理由. （5分）
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