4 一次函数的应用
1．确定一次函数表达式
(1)借助图象确定函数的表达式
先观察直线是否过坐标原点，若过原点，则为正比例函数，可设其关系式为y＝kx(k≠0)；若不过原点，则为一次函数，可设其关系式为y＝kx＋b(k≠0)；然后再观察图象上有没有明确几个点的坐标．对于正比例函数，只要知道一个点的坐标即可；对于一次函数，则需要知道两个点的坐标；最后将各点坐标分别代入y＝kx或y＝kx＋b中，求出其中的k，b，即可确定出其关系式．
(2)确定正比例函数、一次函数表达式需要的条件
①由于正比例函数y＝kx(k≠0)中只有一个未知系数k，故只要一个条件，即一对x，y的值或一个点的坐标，就可以求出k的值，确定正比例函数的表达式．
②一次函数y＝kx＋b(k≠0)有两个未知系数k，b，需要两个独立的关于k，b的条件，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点的坐标或两对x，y的值．
【例1】 如图，直线AB对应的函数表达式是( )．
A．y＝－x＋3 B．y＝x＋3
C．y＝－x＋3 D．y＝x＋3
解析：设直线AB对应的函数表达式是y＝kx＋b(k≠0)，当x＝0时，y＝3，代入得b＝3，当x＝2时，y＝0，则2k＋3＝0，k＝－，故y＝－x＋3.
答案：A
点技巧 用待定系数法求直线解析式
由图象观察可知该函数为一次函数，故应设成y＝kx＋b(k≠0)的形式，再将A，B两点坐标代入该关系式，即可求出k，b，从而确定出具体的关系式．
2．待定系数法
(1)定义：先设出式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而写出这个式子的方法，叫做待定系数法，其中的未知数也称为待定系数．
(2)用待定系数法求解析式的一般步骤：
①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；
②将x，y的几对值或图象上几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；
③解方程(组)，得到待定系数的值；
④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求函数的解析式．
【例2－1】 一次函数图象如图所示，求其解析式．
分析：利用图象所给的信息，即直线与坐标轴交点的坐标，再用待定系数法求出k，b的值，从而确定表达式．
解：设一次函数解析式为y＝kx＋b，
∵一次函数图象过点(0，－2)，
∴－2＝k×0＋b，∴b＝－2.
∵一次函数图象过点(1,0)，
∴0＝k×1＋b，
∴k＝2.∴一次函数解析式为y＝2x－2.
【例2－2】 在直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象经过三点A(2,0)，B(0,2)，C(m,3)，求这个函数的表达式，并求m的值．
解：根据题意，得
2k＋b＝0①，b＝2, km＋b＝3②，
把b＝2代入①，得2k＋2＝0，即k＝－1；
把b＝2，k＝－1代入②，得m＝－1.
故函数的表达式为y＝－x＋2.
3．一次函数的实际应用
(1)通过图象获取信息
通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析，观察函数图象时，首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系．
释疑点 函数图象中的特殊点
观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点，这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助．
(2)一次函数图象的应用
一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用．利用一次函数和正比例函数的图象解决问题是本节的一个重点，这部分内容在中考中占有重要的地位．
谈重点 函数y＝kx＋b图象的变化形式
在实际问题中，当自变量的取值范围受到一定的限制时，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象就不再是一条直线．要根据实际情况进行分析，其图象可能是射线、线段或折线等等．
【例3－1】 甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
(1)乙队开挖到30 m时，用了________ h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了__________ m.
(2)请你求出：
①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式．
(3)当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？
分析：(1)由图象可以直接看出乙队开挖到30 m时，用了2 h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了10 m；(2)设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y＝k1x(k1≠0)，由图可知，函数图象过点(6,60)，∴6k1＝60，解得k1＝10，∴y＝10x.设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y＝k2x＋b(k2≠0)，由图可知，函数图象过点(2,30)，(6,50)，代入y＝k2x＋b，求出k2＝5，b＝20，∴y＝5x＋20.(3)由题意，得10x＝5x＋20，解得x＝4(h)．
解：(1)2 10
(2)①y＝10x.②y＝5x＋20.
(3)由题意，得10x＝5x＋20，解得x＝4(h)．
故当x为4 h时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等．
【例3－2】
某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国有出租车公司签订月租车合同．设汽车每月行驶x km，应付给个体车主的月费用为y1元，应付给国有出租车公司的月费用是y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系图象(两条射线)如图，观察图象回答下列问题：
(1)每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的车合算？
(2)每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？
(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2 600 km，那么这个单位租哪家车合算？
分析：本题从给出的两个函数图象中可获取以下信息：都是一次函数，一个是正比例函数；两条直线交点的横坐标为1 500；表明当x＝1 500时，两个函数值相等；根据图象可知：x＞1 500时，y2＞y1；0＜x＜1 500时，y2＜y1.
解：观察图象，得：
(1)每月行驶的路程小于1 500 km时，租国有出租车公司的车合算；
(2)每月行驶的路程为1 500 km时，租两家车的费用相同；
(3)如果每月行驶的路程为2 600 km，那么这个单位租个体车主的车合算．
析规律 函数图象交点规律
两函数图象在同一坐标系中，当取相同的自变量时，下方图象对应的函数的函数值小；交点处的函数值相等．
4．一次函数和一元一次方程的关系
当一次函数y＝kx＋b(k≠0)中的函数值为0时，可得0＝kx＋b即kx＋b＝0，这在形式上变成了求关于x的一元一次方程，也就是说，当一次函数y＝kx＋b的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程kx＋b＝0的解；若从图象上来看，则可看做函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标，即为方程kx＋b＝0的解．由此可见，方程与函数是密不可分的．
【例4】 某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行耗油量实验，实验中汽车视为匀速行驶．已知油箱中的余油量y(L)与行驶时间t(h)的关系如下表，与行驶路程x(km)的关系如下图．请你根据这些信息求A型车在实验中的速度.
行驶时间t(h)
0
1
2
3
油箱余油量y(L)
100
84
68
52
分析：考查综合利用一次函数的相关知识解决问题的能力．
解法一：∵余油量y与行驶路程x的关系图象是一条直线，
∴可设关系式为y＝kx＋b(k≠0)．
由图象可知y＝kx＋b经过两点(0,100)和(500,20)，则有b＝100,20＝500k＋b.
把b＝100代入20＝500k＋b，得20＝500k＋100，解得k＝－.
∴直线的解析式为y＝－x＋100.
当y＝100时，x＝0；
当y＝84时，x＝100.
由图表可知，油箱中的余油量从100 L到84 L，行驶时间是1 h，行驶路程是100 km.
∴A型汽车的速度为100 km/h.
解法二：由图表可知：A型汽车每行驶1 h的路程耗油16 L.
由图象可知：A型汽车耗油80 L所行驶的路程为500 km.
可设汽车耗油16 L所行驶的路程为x km，
则500∶80＝x∶16，解得x＝100.
∴A型汽车1 h行驶的路程为100 km.
∴它的速度为100 km/h.
点评：有时，我们利用一次函数的图象求一元一次方程的近似解．
5．一次函数图象的平移
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位长度而得到(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移)．实际上就是指一次函数y＝kx＋b的图象沿y轴平移时，在b的位置上按照“上加下减”的规律进行．如：一次函数l1：y＝x＋2的图象可以看做是由正比例函数l：y＝x的图象沿y轴向上平移2个单位长度得到的；一次函数l2：y＝x－2的图象可以看做是由正比例函数l：y＝x的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到的．
【例5】 如图所示，将直线OA向上平移1个单位长度，得到一个一次函数的图象，那么这个一次函数的解析式是__________．
解析：由图象可知，直线经过原点，所以设直线的解析式为y＝kx(k≠0)．因为直线经过点(2,4)，所以直线的解析式为y＝2x.根据“上加下减”的原则，可知所求的一次函数解析式为y＝2x＋1.
答案：y＝2x＋1
析规律 平移中的函数解析式
解决平移问题可以对性质进行记忆直接运用，也可以找出平移后借助坐标系运用待定系数法求解．平移前后k的值不变，改变的是b的值．
6.函数、方程和不等式的完美结合
从“数”的角度看，由于任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0(a，b为常数，且a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以看做：当一次函数y＝ax＋b的值为0时，求相应的自变量的值；反之，求自变量x为何值时，一次函数y＝ax＋b的值为0，只要求出方程ax＋b＝0的解即可．由于任何一元一次不等式都可以转化为类似ax＋b＞0或ax＋b＜0的形式，所以解一元一次不等式可以看做：当一次函数y＝ax＋b的值大(小)于0时，求自变量相应的取值范围；反之，求一次函数y＝ax＋b的值何时大(小)于0时，只要求出不等式ax＋b＞0或ax＋b＜0的解集即可．
从一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系可以看出，三者最终能用函数观点统一起来，并且达到一种完美的结合，这种结合，又常常在一些考题中得以体现．
【例6】 已知一次函数y＝ax＋b(a，b是常数，且a≠0)．x与y的部分对应值如下表：
x
－2
－1
0
1
2
3
y
6
4
2
0
－2
－4
那么方程ax＋b＝0的解是__________，不等式ax＋b＞0的解集是__________．
解析：本题先以表格的形式向我们提供了一次函数y＝ax＋b的信息．按一般解法，我们完全可以利用这些对应值，通过待定系数法求出未知系数a和b，然后再去解方程或不等式，于是得解．果真那样去做的话，说明你没有真正领会到本题的用意．事实上，本题是想考查你对一元一次方程、一元一次不等式和一次函数之间关系的掌握情
况．由三者之间的关系可知，求方程ax＋b＝0的解，实质上就是求一次函数y＝ax＋b的函数值为0时，对应的自变量x的取值，从表中可直接看出x＝1；同理，求不等式ax＋b＞0的解集，实质上就是求当一次函数y＝ax＋b的函数值大于0时，对应的自变量x的取值范围，这时也可以从表中直接看出为x＜1.
答案：x＝1 x＜1
7．如何确定一次函数的表达式
确定正比例函数和一次函数的解析式是一次函数这部分内容考查的一个重要知识点．那么应该怎样确定正比例函数和一次函数的解析式呢？因为正比例函数的解析式y＝kx中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了正比例函数的解析式．而一次函数的解析式y＝kx＋b中，有两个待定系数k和b，因此需要两个条件，此条件可以是直线上的两个点的坐标，也可以是两对变量与函数的对应值．但在实际求正比例函数和一次函数的解析式时，应该具体问题具体分析．
(1)定义型
若两个量y与x成正比例，可设为正比例函数形式：y＝kx(其中k是常数，k≠0)，再用待定系数法求比例系数k.
(2)两(或一)点型
把点的坐标代入所设的关系式中，根据点的坐标求解．
(3)图象型
解决看图获取信息的问题，不仅要注意坐标轴所表示的量是什么，还要抓住图中一些关键的点(如：起点、终点、折线中的折点)所反映出的信息．通过观察图象，发掘图象经过坐标轴上的两点，根据两点的坐标构造待定系数的方程组，求出k，b；它体现了数与形的完美结合，是解题的重要思想方法之一．点在函数图象上，就是说点的坐标满足该图象的函数解析式．只需把点的坐标代入函数解析式，然后求方程(组)的解即可．
(4)平移型
平移不改变k的大小，只改变b的大小．
(5)实际应用型
解这类题的方法是对问题的审读和理解，掌握用一个变量的代数式表示另一个变量，建立两个变量间的等量关系，同时从题中确定自变量的取值范围．这是求实际应用型问题的函数关系式的至关重要的一点．
【例7－1】 求一次函数y＝(m－2)xm2－3－m＋3的关系式．
解：由一次函数的定义，得
m2－3＝1，且m－2≠0.解得m＝－2.
故所求关系式为y＝－4x＋5.
【例7－2】 直线y＝kx＋b经过点A(－3,0)和点B(0,2)，求这条直线的表达式．
分析：把点A和点B的横、纵坐标分别当做x，y的值代入y＝kx＋b中，求出k，b即可．
解：把点A和点B的横、纵坐标分别当做x，y的值代入y＝kx＋b中，得0＝－3k＋b,2＝b，得出k＝，b＝2，从而得出这条直线的表达式为y＝x＋2.
【例7－3】 已知某个一次函数的图象如图所示，则该函数的解析式为__________．
解析：设一次函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，∵由图可知一次函数y＝kx＋b的图象过点(0,2)，(1,0)，∴2＝k×0＋b,0＝k×1＋b，解得b＝2，k＝－2.∴一次函数的解析式为y＝－2x＋2.
答案：y＝－2x＋2
【例7－4】 将直线y＝2x向上平移两个单位长度，所得的直线是( )．
A．y＝2x＋2 B．y＝2x－2
C．y＝2(x－2) D．y＝2(x＋2)
解析：由于直线y＝kx＋b可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位长度而得到(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移)，所以将直线y＝2x向上平移两个单位长度，所得的直线是y＝2x＋2.
答案：A
【例7－5】 大拇指尽量伸开时，拇指与食指的距离称为指距，某研究表明，一般情况下，人的身高h是指距d的一次函数，下表是测得指距与身高的一组数据：
指距d(cm)
20
21
22
23
身高h(cm)
160
169
178
187
(1)求出h与d之间的函数关系式．
(2)某人身高196 cm，一般情况下他的指距是多少？
解：(1)设一次函数的解析式为h＝kd＋b(k，b为常数，且k≠0)．
由题意，得160＝20k＋b①，169＝21k＋b②.
②－①，得k＝9，代入①，得b＝－20.
故一次函数的解析式为h＝9d－20.
(2)当h＝196时，196＝9d－20，得d＝24.
因此某人身高196 cm，一般情况下他的指距是24 cm.
8.分段计费问题
在自变量的不同取值范围内表示函数关系的解析式有不同的形式，这样的函数称为分段函数，有关运用分段函数的知识解决生活中的问题是近几年中考的热点之一，能考查学生分析问题、解决问题的能力，及培养学生思维的广阔性和深刻性．
分段计费问题和实际生活联系密切，这类问题考查有效地应用数学知识解决实际问题的能力．常见的分段计费问题有：水费分段计费、电费分段计费、话费分段计费等．
点评：解决问题的关键是根据已知条件构建函数在不同的条件下的解析式，再由条件选择对应的解析式求解．
【例8】 某市居民生活用电基本价格为每度0.4元，若每月用电超过a度，超过部分按基本电价的70%收费．
(1)某户五月份用电84度，共缴电费30.72元，求a的值；
(2)若该户六月份的电费平均为每度0.36元，求六月份共用电多少度？应缴电费多少元？
分析：先判断是不是超过a度，再进行计算．
解：设该户每月用电为x度，缴纳电费为y元，根据题意可分段构建函数关系式：当x≤a时，y＝0.4a①；当x＞a时，y＝0.4a＋0.4×70%(x－a)②.
(1)∵0.4×84＝33.6＞30.72，∴五月份的用电超过a度，应满足解析式②.∴30.72＝0.4a＋0.4×70%(84－a)，解得a＝60.
(2)∵0.36＜0.4，∴六月份用电超过a度．
∴0.36x＝0.4×60＋0.4×70%(x－60)，解得x＝90.
∴六月份共用电90度，应缴电费0.36×90＝32.4元．
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