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1 字母表示数
1．字母表示数的意义
(1)意义
用字母可以表示问题中的数或数量关系．
①字母可以表示任何数，如a可以表示正数，可以表示负数，也可以表示0；②问题中的数量关系可以用含有字母的式子表示．
(2)用字母表示数的特点：
①一般性：用字母表示数更能反映数字或事物的一般性．
②限制性：字母的取值应使具体式子有意义且符合实际情况．
(3)字母表示数时应注意的问题：
①同一问题中，不同的量要用不同的字母表示；不同的问题中，不同的量可以使用相同的字母，但字母的含义不同．
②数与字母相乘或字母与字母相乘时，乘号一般写成“·”或者省略不写，数字放在字母的前面．
③用字母表示几个数的和差，并且后面有单位时，要把和差用括号括起来．
【例1】 填空：(1)香蕉每千克售价3元，m千克售价__________元；
(2)温度由5 ℃上升t ℃后是__________℃；
(3)每台电脑售价x元，降价10%后每台售价为__________元；
(4)某人完成一项工程需要a天，此人的工作效率为__________．
解析：用字母表示数量关系，关键是理解题意，抓住关键词句，再用适当的式子表示出来．
答案：(1)3m (2)(5＋t)
(3)(1－10%)x (4)
2．用字母表示运算律和公式
(1)用字母表示运算律
如果用a，b，c分别表示有理数，那么
加法交换律可以表示成：a＋b＝b＋a；
加法结合律可以表示成：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
乘法交换律可以表示成：a·b＝b·a；
乘法结合律可以表示成：(a·b)·c＝a·(b·c)；
乘法分配律可以表示成：a(b＋c)＝ab＋ac.
(2)字母表示公式
①在行程问题中，路程＝时间×速度．
如果用s表示路程，v表示速度，t表示时间，那么这个公式就可写成：s＝vt.
②如果用a表示长方形的长，b表示长方形的宽，S表示长方形的面积，l表示长方形的周长，那么S＝ab，l＝2(a＋b)．
③如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积，l表示圆的周长，那么S＝πr2，l＝2πr.
④如果用a表示三角形的底，用h表示三角形的高，用S表示三角形的面积，那么三角形的面积公式可以表示为S＝ah.
【例2】 (1)若长方形的长为5 cm，宽为3 cm，则周长为________ cm，面积为________ cm2；若长方形的长为a cm，宽为3 cm，则周长为__________cm，面积为__________cm2；若长方形的长为a cm，宽为b cm，则周长为________cm，面积为________cm2.
(2)甲、乙两地相距s千米，某人从甲地到乙地步行要t时，现要求他提前15分到，此人步行的速度为__________千米/时；
(3)一圆半径为a cm，将圆半径增加5 cm后，圆的周长是__________cm，圆的面积是__________cm2.
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解析：根据有关的公式计算即可．(1)长方形周长＝2(长＋宽)；面积＝长×宽；(2)速度＝路程÷时间；(3)圆的周长＝2πr，圆的面积＝πr2.
答案：(1)16 15 2(a＋3) 3a 2(a＋b)
ab
(2)s÷
(3)2π(a＋5) π(a＋5)2
3．用字母表示数学规律
(1)数字规律
一组数字或等式有一定的规律时，可以用字母来表示．
①数字：比如偶数、奇数的表示．
偶数：能被2整除的整数叫做偶数，如0，±2，±4，±6，….如果用k表示任意一个整数，那么2k就表示偶数．
奇数：不能被2整除的整数叫做奇数，如±1，±3，±5，±7，….如果用k表示任意一个整数，那么2k－1或2k＋1就表示奇数．
②等式：具有一定规律的计算等式．
(2)图形规律
图形中的数学规律用具体数字表示有些困难，而用字母表示非常简洁．
用字母表示图形中的规律的方法及步骤：
①根据题目中提供的图形分析其中蕴含的规律；
②用字母列出式子．
用字母表示图形中的规律与用数字表示规律本质是一致的；规律探索是一种观察、归纳、猜想验证的过程，对于这样的题目要数形结合，从特殊到一般，用字母表示最终的结果，更能反映图形的变化规律．
【例3－1】 已知a≠0，S1＝2a，S2＝，S3＝，…，S2 013＝，则S2 013＝__________.(用含a的式子表示)
解析：依题意计算可得，S2＝＝＝，S3＝＝＝2a，S4＝＝＝，….
由此可以看出，Sn的值的规律是：当n为奇数时，Sn等于2a；当n为偶数时，Sn等于.所以S2 013＝2a.
答案：2a
【例3－2】 将一些小圆点按如图所示的规律摆放，第1个图形中有6个小圆点，第2个图形中有10个小圆点，第3个图形中有16个小圆点，第4个图形中有24个小圆点，……，依此规律，第6个图形中有__________个小圆点，第n个图形中有__________个小圆点．
解析：观察这些图形的外部可知，每个图形的最外侧都有4个小圆点；再观察每个图形内部圆点的行数和列数可知，第1个图形中共有4＋1×2＝6个小圆点，第2个图形中共有4＋2×3＝10个小圆点，第3个图形中共有4＋3×4＝16个小圆点，第4个图形中共有4＋4×5＝24个小圆点，……，依此规律，第6个图形中共有4＋6×7＝46个小圆点，第n个图形中共有4＋n(n＋1)个小圆点．
答案：46 4＋n(n＋1)
4．用字母表示数的应用
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(1)表示实际问题中的数量关系
用字母表示数，关键是找出问题中的数量关系或公式，如上升，下降，多于，大于，几倍，单价×数量＝总价，三角形的面积＝×底×高等．
(2)表示图形的面积、体积
可以用字母表示平面图形的面积和立体图形的体积或表面积，要根据各个图形的计算公式来表示．
常见平面图形的计算公式：
①长方形的周长＝2×(长＋宽)，
长方形的面积＝长×宽；
②正方形的周长＝边长×4，
正方形的面积＝边长2.
常见的几何体的计算公式：
①长方体的体积＝长×宽×高；
正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，即棱长3；
②长方体的表面积＝2×(长×宽＋长×高＋宽×高)；
正方体的表面积＝6×棱长2.
【例4－1】 (1)某种糖每千克10元，小红妈妈买了3千克，共花了多少元？
(2)某种糖每千克a元，小红妈妈买了b千克，共花了多少元？
分析：根据“单价×数量＝总价”可求出．
解：(1)10×3＝30(元)；(2)ab元．
点评：要借具体事实准确理解字母表示数的意义．不要把字母和具体的数对立起来，应把字母看成具体数去列代数式．
【例4－2】 如图，把一个长、宽分别是a，b的长方形纸板在四角各剪去一个边长为c的正方形(a>b>2c)，再做成一个无盖的长方体盒子，用字母表示它的体积和表面积．
分析：由题意知长方体的长为a－2c，宽为b－2c，高为c.长方体的体积＝长×宽×高；长方体的表面积＝长×宽＋(长×高＋宽×高)×2.
解：长方体的体积为(a－2c)(b－2c)c；
表面积为(a－2c)(b－2c)＋2[(a－2c)c＋(b－2c)c]．
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