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1 认识二元一次方程组
1．二元一次方程
(1)二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程．二元一次方程的概念，是说明一个方程是否为二元一次方程的理论依据，是研究二元一次方程组相关知识的基础．
(2)二元一次方程必须满足以下四个条件：①是一个方程；②含有两个未知数；③所含未知数的项的次数都是1；④含有未知数的式子都是整式．
【例1－1】 以下方程中，是二元一次方程的是( )．
A．7x－y＝2z B．xy＝1
C．3x＋2y＝0 D．y＝
解析：
A
×
含有三个未知数
B
×
“xy”项的次数是2，不是1
C
√
符合定义要求
D
×
等式的右边不是整式
答案：C
【例1－2】 已知方程xm＋1＋y2n－3＝－9是二元一次方程，求m，n.
分析：由xm＋1＋y2n－3＝－9是二元一次方程，可知x，y的次数均为1，于是得到关于m，n的一元一次方程，求解即可．
解：由二元一次方程定义，得m＋1＝1,2n－3＝1.故m＝0，n＝2.
析规律 二元一次方程的条件
二元一次方程必含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1.
2．二元一次方程组
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须一共含有两个未知数．
辨误区 二元一次方程组的特点
(1)二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，如也是二元一次方程组；(2)方程组中的各个方程中，相同字母必须代表同一数量．
【例2】 下列方程组中，不是二元一次方程组的是( )．
A. B.
C. D.
解析：选项B中含有三个未知数，是三元一次方程组．
答案：B
3．二元一次方程的解
适合二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．
一般地二元一次方程的解有无数个，例如x＋y＝2中，由于x，y只是受这个方程的约束，并没有被取某一个特定值而制约，因此，二元一次方程有无数个解．
通常求二元一次方程的解的方法是：先用含有其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，如求二元一次方程2x－y＝2的解，可先将其变形为y＝2x－2，然后给出x的一个值，就能对应地求出一个y的值，这样得到的每一对x与y的对应值都是这个二元一次方程的解．
析规律 二元一次方程的解
由于二元一次方程中含有两个未知数，所以二元一次方程的一个解包含两个值，若把这两个未知数的值代入二元一次方程，则适合该方程．在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的一个值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此，二元一次方程有无数个解．【例3－1】 下列各组数：
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(1)(2)
(3)(4)
其中是方程4x＋y＝10的解的有( )．
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
解析：把每组数值代入方程，能够使方程的左右两边的值相等的，就是方程的解，否则不是．(2)(4)符合要求．
答案：C
【例3－2】 写出二元一次方程3x＋y＝9的所有正整数解．
分析：“所有正整数解”的含义的理解要注意两点：一、“所有”是指全部；二、“正整数解”是指两个未知数的值必须都是正整数，且适合此方程．
解：将原方程变形为y＝9－3x.
∵x，y均为正整数，
∴x只能取小于3的正整数，共有1,2两个．
当x＝1时，y＝6；当x＝2时，y＝3.
∴3x＋y＝9的所有正整数解为
4．二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解．
我们常见的二元一次方程组有两种：(1)两个二元一次方程组成的二元一次方程组；(2)一个一元一次方程和一个二元一次方程组成的方程组．无论哪一种情形，方程组的解都指组成方程组的两个方程的公共解，一般常见的二元一次方程组有唯一解．但有个别方程组有无数多个解，如：有的方程组无解，如：
析规律 二元一次方程组的解
(1)检验某一对数值是否是某个二元一次方程组的解的方法是：将这对数值分别代入方程组中的每一个方程中，只有当这对数值满足所有的方程时，才能说它是方程组的解，若这对数值不满足其中一个方程，则它不是方程组的解．
(2)二元一次方程组的解一定是方程组中的任何一个方程的解，而二元一次方程的解不一定是方程组的解．
【例4】 已知下列四对数值：
①②③④
(1)哪几对是方程2x－y＝5的解？
(2)哪几对是方程x＋3y＝6的解？
(3)哪几对是方程组的解？
分析：二元一次方程组的解是方程组中各个方程的公共解，因此在检验方程组的解时，应对每个方程进行检验，防止只对一个方程进行检验，而忽视对另一个方程的检验．
解：通过检验，可得
(1)①和②是方程2x－y＝5的解；
(2)①和③是方程x＋3y＝6的解；
(3)①是方程组的解．
5．正确理解二元一次方程与二元一次方程组的概念
(1)掌握二元一次方程的概念要注意以下三点：
①方程中含有两个未知数；
②未知数的指数都是1.这里的指数为1指的是不含两个未知数乘积形式的单个未知数的指数；
③当方程中出现分数形式时，分母中不能含有未知数．
(2)二元一次方程组包括三层含义：
①方程组中相同的未知数在各个方程中所表示的意义相同；
②方程组中一共含有两个未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数；
③方程组中未知数的次数都是1次．
【例5－1】 若方程(2m－6)x|n|－1＋(n＋2)ym2－8＝1是二元一次方程，则m＝_
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_________，n＝__________.
解析：|n|－1＝1，m2－8＝1，且2m－6≠0，n＋2≠0.
答案：－3 2
【例5－2】 下列方程组中，是二元一次方程组的是 ( )．
A. B.
C. D.
解析：选项A中含有三个未知数，选项B中的xy项是二次的，选项D中项不是整式．
答案：C
6．正确理解二元一次方程的解与二元一次方程组的解的概念
(1)一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．任何一个二元一次方程的解都是一对数值，它有无数个解．如是二元一次方程x＋y＝3的一个解．而单独的x＝1或y＝2不是方程x＋y＝3的解，只有把它们组合在一起，才可称为二元一次方程x＋y＝3的一个解．
(2)理解“二元一次方程组的解”时应注意如下两点：①二元一次方程组的解是一对数．②要特别注意“公共解”，即这对数值必须满足方程组中的每一个方程．
【例6－1】 已知是方程2x－ay＝3的一个解，那么a的值是( )．
A．1 B．3 C．－3 D．－1
解析：2×1－a×(－1)＝3，解得a＝1.
答案：A
【例6－2】 已知是方程组的解，求a，b的值．
分析：把方程组的解分别代入方程组中的两个方程，得到关于a，b的两个方程，就可求出a，b的值．
解：把x＝0，y＝－0.5代入方程x－b＝y，得0－b＝－0.5，
即b＝0.5.
把x＝0，y＝－0.5代入方程5x－2a＝2y，得5×0－2a＝2×(－0.5)，
即a＝0.5.
因此a＝0.5，b＝0.5.
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