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3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
1．列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题是把“未知”转化成“已知”的重要方法．它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等．
列二元一次方程组解应用题必须找出两个等量关系，列出两个方程．
【例1】 “甲、乙隔河放牧羊，两人互相问数量，甲说得乙羊九只，我羊是你二倍整．乙说得甲羊八只，两人羊数正相当．”请你帮助算一算，甲、乙各放多少羊？
分析：题中有两个未知数：甲放羊的只数和乙放羊的只数．相等关系：(1)甲放羊的只数＋9＝2(乙放羊的只数－9)；(2)甲放羊的只数－8＝乙放羊的只数＋8.
解：设甲放羊x只，乙放羊y只．
由题意，得解得
所以甲放羊59只，乙放羊43只．
析规律 建模型、列方程组
在列方程组解决实际问题时，应先分析题目中的已知量、未知量是什么，各个量之间的关系是什么，找出它们之间的相等关系，列出方程(组)，建模过程即可完成，因此解决实际问题的建模过程非常重要．
2．列二元一次方程组解应用题的一般步骤
(1)审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系．
(2)设：设未知数(一般求什么，就设什么为x，y)．
(3)找：找出能够表示应用题全部意义的两个等量关系．
(4)列：根据这两个等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，组成方程组．
(5)解：解所列方程组，得未知数的值．
(6)验：检验所求未知数的值是否符合题意，是否符合实际．
(7)答：写出答案(包括单位名称)．北师版中的“答”一般用“所以”代替．
点技巧 完善列方程解应用题的步骤
(1)“审”和“找”两步在草稿上进行，书面格式中主要写“设”“列”“解”和“答”四个步骤．(2)解应用题时，切勿漏写“答”，“设”和“答”要写清单位名称．
【例2】 一张方桌由1张桌面和4条桌腿做成，已知1 m3木料可以做桌面50张或桌腿300条．现有5 m3木料，恰好能做成方桌多少张？
分析：这是一个产品配套问题．题中已知数有两个：做桌面的木料的方数和做桌腿的木料的方数．相等关系：(1)做桌面的木料的方数＋做桌腿的木料的方数＝木料的总方数；(2)4×桌面的张数＝桌腿的条数．
解：设用x m3木料做桌面，y m3木料做桌腿，由题意，得解得因为3×50＝150，所以恰好能做成方桌150张．
注：读懂题意，找出等量关系式是关键．
3．列方程组解决古代问题
人们在日常生活中少不了数学运算，在诗歌创作中也时有反映．解决这类问题的关键是读懂题意，将古诗文转化为白话文．
【例3－1】 周瑜年华
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十比个位正小三，个是十位正两倍；
哪位学子算得快，多少年华数周瑜？
分析：本题有两个等量关系式：十位数字＝个位数字－3；个位数字＝十位数字的2倍．
解：设周瑜年龄的个位数字为x，十位数字为y，根据题意，得解得
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所以周瑜只活了36岁．
点评：解决这类问题的关键在于从实际问题背景中抽象出数学问题的本质，建立方程(组)模型，并能从多种途径出发，通过列方程(组)去求得其解．
【例3－2】 二果问价
九百九十九文钱，甜果苦果买一千，
甜果九个十一文，苦果七个四文钱，
试问甜苦果几个？又问各该几个钱？
分析：这首古诗词翻译成白话文，即：九百九十九文钱可买一千个甜果和苦果，已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买多少个？买甜果、苦果各需多少文钱？
解：设甜果x个，苦果y个，根据题意，得解得因为x＝803，y＝196，所以甜果657个需803文钱，苦果343个需196文钱．
4．实际问题中的基本数量关系及关键词
常用的数量关系有：
(1)路程＝速度×时间；
(2)工作量＝工作效率×工作时间；
(3)商品的销售额＝商品销售价×商品销售量；
(4)商品的总销售利润＝(销售价－成本价)×销售量；
(5)商品售价＝标价×折数；
(6)商品的利润率＝×100%等等．
还要正确理解一些关键词表达的同类量之间的特殊的等量关系，如“提前”“超过”“早到”“迟到”“几倍”“增加了”“相向而行”“同向而行”等．
【例4】 8年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，从现在起8年后父亲的年龄成为儿子年龄的2倍，求父亲和儿子现在的年龄．
分析：题中有两个未知数：
父亲现在的年龄和儿子现在的年龄．
相等关系：(1)8年前父亲的年龄＝4×8年前儿子的年龄；(2)8年后父亲的年龄＝2×8年后儿子的年龄．
解：设父亲现在的年龄是x岁，儿子现在的年龄是y岁，
由题意，得
解得
所以父亲现在40岁，儿子现在16岁．
点评：此题易出现x＋8＝2y这类错误．原因是认识到父亲增长了8岁，忘记了儿子也应该增长8岁．遇年龄问题时，注意两人年龄同时增长相同岁数．
5．列二元一次方程组的应用题常用策略
(1)“直接”与“间接”转换：当直接设未知数不便时，转而设间接未知数来求解，反之亦然．
(2)“一元”与“多元”转换：当设一个未知数有困难时，可考虑设多个未知数求解，反之亦然．
(3)“部分”与“整体”转换：当整体设元有困难时，就考虑设其部分，反之亦然，如：数字问题．
(4)“一般”与“特殊”转换：当从一般情形入手困难时，就着眼于特殊情况，反之亦然．
(5)“文字”与“图表”转换：有的应用题，用文字语言表达较难，就可以用表格或图形来分析，这样既直观，也易理解题意．
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【例5】 学校书法兴趣小组准备到文具店购买A、B两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支比零售价低0.6元，其余部分仍按零售价销售．
如果全组共有20名同学，若每人各买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共支付145元；若每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付129元．这家文具店的A、B两种类型毛笔的零售价各是多少？
分析：20名学生每人买1支A型毛笔的钱＋每人买2支B型毛笔的钱＝145元；20名同学每人买2支A型毛笔的钱＋每人买1支B型毛笔的钱＝129元．
解：设该家文具店A型毛笔的零售价为每支x元，B型毛笔的零售价为每支y元，根据题意，得
解得
所以这家文具店A型毛笔的零售价为每支2元，B型毛笔的零售价为每支3元．
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