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7 用二元一次方程组确定一次函数表达式
1．二元一次方程与一次函数的关系
若k，b表示常数且k≠0，则y－kx＝b为二元一次方程，有无数个解；将其变形可得y＝kx＋b，将x，y看作自变量、因变量，则y＝kx＋b是一次函数．事实上，以方程y－kx＝b的解为坐标的点组成的图象与一次函数y＝kx＋b的图象相同．
【例1】 (1)方程x＋y＝5的解有多少个？写出其中的几个．
(2)在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y＝5－x的图象上吗？
(3)在一次函数y＝5－x的图象上任取一点，它的坐标适合x＋y＝5吗？
(4)以方程x＋y＝5的解为坐标的所有点所组成的图象与一次函数y＝5－x的图象相同吗？
分析：方程x＋y＝5的解有无数个，以这些解为坐标的点组成的图象与一次函数y＝5－x的图象相同，二者是相同的．
解：(1)有无数个．
(2)以这些解为坐标的点，都在一次函数y＝5－x的图象上．
(3)适合．
(4)相同．
2．用图象法求二元一次方程组的近似解
用图象法求二元一次方程组的近似解的一般步骤：
(1)先把方程组中两个二元一次方程转化为一次函数的形式：y1＝k1x＋b1和y2＝k2x＋b2；
(2)建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象；
(3)写出这两条直线的交点的横纵坐标，这两个数的值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x，纵坐标是y.
【例2】 用作图象的方法解方程组：
分析：先把两个方程化成一次函数的形式；再在同一直角坐标系中画出它们的图象，交点的坐标就是方程组的解．
解：由①，得y＝x－3；
由②，得y＝－x－.
在同一直角坐标系内作出一次函数y＝x－3的图象l1和一次函数y＝－x－的图象l2，如图所示．观察图象，得l1和l2交点的坐标为M(1，－2)．
故方程组的解为
3．利用二元一次方程组确定一次函数的表达式
每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标．因此一次函数与二元一次方程组有密切联系．
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利用二元一次方程组确定一次函数的表达式的一般步骤如下：
(1)写出函数表达式：一次函数y＝kx＋b；
(2)把已知条件代入，得到关于k，b的方程组；
(3)解方程组，求出k，b的值，写出其表达式．
【例3】 已知一次函数y＝ax＋2与y＝kx＋b的图象如图所示，且方程组的解为点B坐标为(0，－1)．你能确定两个一次函数的表达式吗？
分析：根据方程组与一次函数图象的关系，先确定两图象的交点A的坐标，再代入表达式，求出字母a，k，b的值．
解：∵方程组的解是
∴交点A的坐标为(2,1)．
∴点A在函数y＝ax＋2的图象上，2a＋2＝1.
∴a＝－.
∵点A(2,1)，点B(0，－1)在函数y＝kx＋b图象上，
∴
解得
∴两个一次函数的表达式为y＝－x＋2，y＝x－1.
析规律 方程组的解与交点坐标
方程组的解就是两个一次函数图象的交点的坐标．
4．用待定系数法求一次函数的表达式
用待定系数法求一次函数的表达式的方法可归纳为“一设，二列，三解，四还原”．
具体的说明如下：
一设：设出一次函数表达式的一般形式y＝kx＋b(k≠0)；
二列：根据已知两点或已知图象上的两个点坐标列出关于k，b的二元一次方程组；
三解：解这个方程组，求出k，b的值；
四还原：将已求得的k，b的值再代入y＝kx＋b(k≠0)中，从而得到所要求的一次函数的表达式．
确定二元一次方程(组)中字母的取值，是一类常见的题目，解这类问题的基本方法是利用方程(组)的有关知识，得到含有字母系数的方程(组)，然后解这个方程(组)，求出待定字母．
析规律 求与坐标轴的交点坐标
解答这类问题要切记，函数图象与x轴的交点的纵坐标是0，函数图象与y轴的交点的横坐标是0.
【例4】 某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5 000册时，投入的成本与印数间的相应数据如下：
印数x(册)
5 000
8 000
10 000
15 000
…
成本y(元)
28 500
36 000
41 000
53 500
…
(1)经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本y(元)是印数x(册)的一次函数，求这个一次函数的解析式(不要求写出x的取值范围)；
(2)如果出版社投入成本48 000元，那么能印该读物多少册？
解：(1)设所求一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
由题意，得
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解得
所以所求的函数关系式为y＝x＋16 000.
(2)将y＝48 000代入y＝x＋16 000中，得
48 000＝x＋16 000.
解得x＝12 800.
所以能印该读物12 800册．
5．利用数形结合法理解二元一次方程组解的三种情况
(1)方程组有唯一一组解：即方程组中的两个二元一次方程有唯一公共解，如方程组有唯一一组解函数y＝x－3和y＝5－x的图象是两条相交的直线，只有一个交点．
(2)方程组无解：即方程组中的两个二元一次方程没有公共解，如方程组无解，这类方程组也叫做矛盾方程组．函数y＝5－x和y＝(5－3x)的图象是两条平行直线，无交点．
(3)方程组有无数组解：即方程组中的两个二元一次方程有无数个解，如方程组有无数组解．函数y＝2－x和y＝(4－2x)的图象是同一条直线．
【例5】 如图表示两辆汽车行驶路程与时间的关系(汽车B在汽车A后出发)，试回答下列问题：
(1)图中l1，l2分别表示哪一辆汽车的路程与时间的关系？
(2)写出汽车A和汽车B的路程与时间的函数关系式，汽车A和汽车B的速度各是多少？
(3)图中交点是什么意思？
分析：图中l1，l2表示的是一次函数的图象．由图象可知，直线l1经过点(0,0)和(3,100)，直线l2经过点(2,0)和(3,100)，由待定系数法求表达式．
解：(1)l1表示A车的路程与时间的关系，l2表示B车的路程与时间的关系．
(2)汽车A的函数关系式是s＝t，
汽车B的函数关系式是s＝100t－200；
汽车A的速度是 km/h，汽车B的速度是100 km/h.
(3)汽车A出发3 h(或汽车B出发1 h)两车相遇，此时两车行驶路程都是100 km.
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