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8 三元一次方程组
1．三元一次方程及三元一次方程组
(1)三元一次方程：含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程．
(2)三元一次方程组：
①定义：含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组．如：
等都是三元一次方程组．
②拓展理解：
a．构成三元一次方程组中的每一个方程都必须是一次方程；
b．三元一次方程组中的每个方程不一定都含有三个未知数，但方程组中一定要有三个未知数．
【例1】 下列方程组中是三元一次方程组的是( )．
A. B.
C. D.
解析：A，B选项中有的方程不是三元一次方程，C中含有四个未知数，只有D符合三元一次概念内涵，故选D.
答案：D
2．三元一次方程组的解
(1)三元一次方程的解：使三元一次方程左右两边相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程的解．
和二元一次方程一样，一个三元一次方程也有无数个解．
(2)三元一次方程组的解：组成三元一次方程组的三个方程的公共解，叫做三元一次方程组的解．它也是三个数．
(3)检验方法：同二元一次方程和二元一次方程组的检验方法一样，代入检验，左、右两边相等即是方程的解．
释疑点 检验三元一次方程组的解
三元一次方程组的解是三个数，将这三个数代入每一个方程检验，只有这些数满足方程组中的每一个方程，这些数才是这个方程组的解．
【例2】 判断是不是方程组的解．
答：__________(填是或不是)．
解析：把代入方程组的三个方程中检验，能使三个方程的左右两边都相等，所以是方程组的解．
答案：是
3.三元一次方程组的解法
(1)解法思想：解三元一次方程组的基本思路是消元，其方法有代入消元法和加减消元法两种，通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程．
(2)步骤：
①观察方程组中每个方程的特点，确定消去的未知数；
②利用加减消元法或代入消元法，消去一个未知数，得到二元一次方程组；
③解二元一次方程组，求出两个未知数的值；
④将所得的两个未知数的值代入原三元一次方程组中的某个方程，求出第三个未知数的值；
⑤写出三元一次方程组的解．
(3)注意点：
①三元一次方程组的解法多种多样，只要逐步消元，解出每一个未知数即可；
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②解三元一次方程组时，每一个方程都至少要用到一次，否则解出的结果也不正确．
【例3】 解方程组
分析：观察方程组中每个方程的特征可知，方程③不含有字母z，而①，②中的未知数z的系数成倍数关系，故可用加减消元法消去字母z，然后将所得的方程与③组合成二元一次方程组，求这个方程组的解，即可得到原方程组的解．
解：①×2＋②，得5x＋8y＝7，④
解③，④组成的方程组
解这个方程组，得
把x＝3，y＝－1代入①，得z＝1，
所以原方程组的解为
4．运用三元一次方程组解实际问题
(1)方法步骤：
①审题：弄清题意及题目中的数量关系；
②设：设三个未知数；
③列：找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，用式子表示，列出三个方程，组成三元一次方程组；
④解：解这个方程组，并检验解是否符合实际；
⑤答：回答说明实际问题的答案．
析规律 列三元一次方程组
同二元一次方程组的实际应用相类似，运用三元一次方程组解决实际问题要设三个未知数，寻找三个等量关系，列出三个一次方程，组成三元一次方程组．
【例4】 某个三位数是它各位数字和的27倍，已知百位数字与个位数字之和比十位数字大1，再把这个三位数的百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的三位数，新三位数比原三位数大99，求原来的三位数．
解：设百位数字为a、十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为100a＋10b＋c，由题意，得
化简，得
解这个方程组，得
答：原来的三位数是243.
5．三元一次方程组的解法技巧
解三元一次方程组的基本思路是消元，即化三元为二元，从而转化为二元一次方程组求解，在这里关键是消元，若能根据题目的特点，灵活地进行消元，则可把方程组解得又准确又快捷，下面介绍几种常见的消元策略供参考．
(1)先消系数最简单的未知数，这样可以减少运算量，简化过程．如：
中，y的系数较简单，先消y简单．
(2)先消某个方程中缺少的未知数．若方程组中某个方程缺少某个元，把另外两个方程结合，消去这个元，转化为二元一次方程求解．如：
因为方程①中缺少y，所以由②，③组合先消去y比较简单．
(3)先消去系数的绝对值相等(或成倍数关系)的未知数，如：
三个方程中y的系数成倍数关系，因此先消去y比较简单．
(4)整体代入消元，如：
将方程③左边变形为(x＋y＋z)＋(x－y)－y＝18，作整体代入便可消元求解．
(5)整体加减消元：如：
在三个方程中，根据未知数x，z的系数特点，可用②＋③－①整体加减消元法来解得y
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的值．再逐步求解．
【例5－1】 解方程组
分析：因为方程①中缺少未知数y项，故而可由②，③组合先消去y，再求解．
解：②×3＋③，得11x＋10z＝35，④
解由①，④组成的方程组解得⑤
把⑤代入②，得y＝，
所以原方程组的解为
【例5－2】 解方程组
分析：经观察发现①中的5x－15y＝5(x－3y)，这就与②有了联系，因此，①可化为5(x－3y＋2z)－6z＝38，把②整体代入该方程中，可求出z的值，从而易得x与y的值．
解：由①，得5(x－3y＋2z)－6z＝38，④
把②整体代入④，得5×10－6z＝38.
解这个方程，得z＝2，
把z＝2分别代入①，②中，得
⑤
解⑤，得
所以原方程组的解是
【例5－3】 解方程组
分析：方程组中每个未知数均出现了三次，且含各未知数的项系数和均为1，故可采用整体相加的方法．
解：①＋②＋③，得x＋y＋z＝17，④
再由④分别减去①，②，③各式，分别得z＝3，x＝6，y＝8.
所以原方程组的解是
6.三元一次方程组的应用归类
三元一次方程组的应用和二元一次方程组的应用类似，也主要包括两类：
(1)构造方程组，通过解方程组解决问题．主要有以下几种情况．
①根据某些数学概念构造方程组，如：2x4my16－5n与x3n＋6y2m是同类项，根据同类项定义列方程求未知数m，n.
②运用非负数的性质构造方程组．如：
如果(x＋y－2)2＋|y＋z－4|＋|x－y＋2|＝0，那么x＝__________，y＝__________，z＝__________.根据题意列出三元一次方程组求解．
③已知方程的解的情况求未知系数．如：
关于x，y的二元一次方程组的解，也是方程3x＋2y＝17的解，则m的值是？
根据题意构造一个以x，y，m为未知数的三元一次方程组求解．
点评：这类问题的实质是变相的解方程组问题．
(2)列方程解应用题，根据实际生活中的情景，列方程组解决实际问题．
【例6－1】 如果方程组中，x与y的和为2，则m的值是( )．
A．16 B．4 C．2 D．8
解析：方法一：因为x与y的和为2，即x＋y＝2，所以与组成一个三元一次方程组解这个方程组，求出m＝4.
方法二：也可以先解求出x，y的值(含m)，再把解得的x，y的值代入x＋y＝2中，求出m.
方法三：把x＝2－y代入解含y，m的二元一次方程组．
答案：B
【例6－2】 如果|x－2y＋1|＋|z＋y－5|＋(x－z－3)2＝0，那么x＝__________，y＝__________，z＝__________.
解析：根据非负数的和为0，各式都为0，列出三元一次方程组
化简，得解这个方程组，得x＝5，y＝3，z＝2.
答案：5 3 2
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7．运用三元一次方程组求代数式的值
解三元一次方程组是对消元思想和方法的综合的、全面的运用，另一方面是将来学习二次函数的必备知识，在本章中，经常出现一类求代数式值的问题，如：已知代数式ax2＋bx＋c，当x分别取1,0,2时，式子的值分别是0，－3，－5，求当x＝5时，代数式ax2＋bx＋c的值．
解法：分别将x＝1,0,2代入代数式ax2＋bx＋c中，得到一个三元一次方程组
解这个三元一次方程组，求出系数a，b，c的值，再将x＝5回代，再求出当x＝5时，式子ax2＋bx＋c的值．
【例7－1】 已知x＋2y＋3z＝54,3x＋2y＋2z＝47，2x＋y＋z＝31，那么代数式x＋y＋z的值是( )．
A．17 B．22 C．32 D．132
解析：将三个三元一次方程组成方程组，整体求法，将三个式子相加，得6x＋6y＋6z＝132，两边都除以6，解，得x＋y＋z＝22.B正确，故选B.
答案：B
【例7－2】 在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x分别取1,2,3时，y的值分别为3，－1,15.则a＝__________，b＝______，c＝______；当x取4时，y的值为______．
解析：把x＝1,2,3分别代入y＝ax2＋bx＋c中，得三元一次方程组解这个三元一次方程组得所以等式是y＝10x2－34x＋27，把x＝4代入y＝10x2－34x＋27中，得y＝51.
答案：10 －34 27 51
8.含比例方程的方程组的解法
三元一次方程组中，有一类方程，含有比例式子，如这类方程组的解法有两种方式，一是把方程组根据比例的性质进行化简，化为一般的三元一次方程组，按常规思路进行解决；二是设参数法，如在上面的方程组中设每一份为k，则x＝3k，y＝2k，z＝1.6k，把它们分别代入③中，得3k＋2k＋1.6k＝66.即6.6k＝66，解得k＝10，所以x＝30，y＝20，z＝16.从而解出方程组．
【例8】 解方程组
分析：方法一：将①化简成两个方程和②组成三元一次方程组，解这个三元一次方程组；方法二：因是比例式，所以设＝＝＝t，则x＝3t，y＝4t，z＝5t，代入②中即可求出t的值，解出方程组．
解：设＝＝＝t，则x＝3t，y＝4t，z＝5t，将它们都代入方程②，得
7×3t＋3×4t－5×5t＝16，解得t＝2.
所以x＝6，y＝8，z＝10.
所以原方程组的解是
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