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3 从统计图分析数据的集中趋势
1．中位数
一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．一组数据的中位数是唯一的．它可以是这组数据中的数也可以是这组数据外的数．在计算一组数据的中位数时，其步骤为：(1)将这组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列；(2)找到处在最中间位置的一个数或最中间的两个数的平均数即为中位数．
谈重点 确定中位数
求中位数时，一定要先按大小顺序将数据排列，再找中位数，当数据的个数是偶数时，中位数是中间两个数的平均数；当数据的个数是奇数时，正中间的数是中位数．
【例1－1】 求下列数据的中位数．
(1)2,3,14,16,7,8,10,11,13；
(2)11,9,7,5,3,1,10,14.
分析：求一组数据的中位数时，既可以由小到大排列，也可以由大到小排列，结果数据的个数是偶数，则为最中间两个数据的平均数；如果是奇数，则为最中间一个数据的值．
解：(1)将已知数据按从小到大的顺序重新排列：
2,3,7,8,10,11,13,14,16.
故这组数据的中位数为10.
(2)将已知数据按从小到大的顺序重新排列：
1,3,5,7,9,10,11,14.
∵中间的两个数是7和9，它们的平均数是8，
∴这组数据的中位数是8.
【例1－2】 求数据6,5,4,7,8,10,3的中位数．
错解
最中间的数为7，所以中位数为7.
剖析
在求一组数据的中位数时，应先按大小顺序排列，然后再找中位数．
正解
先将这组数据按从小到大的顺序排列：3,4,5,6,7,8,10.最中间的数为6，故中位数为6.
2．众数
一般地，一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数．一组数据可以有不止一个众数，也可以没有众数．若几个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这几个数据都是这组数据的众数；当所有的数出现的次数一样多时，无众数．
辩误区 区分众数与次数
众数是一组数据中出现次数最多的数，而不是该数据出现的次数．
【例2－1】 某商店有200 L,215 L,185 L,180 L四种型号的冰箱，一段时间内共销售58台，其中四个型号分别售6台，30台，14台，8台，在研究电冰箱出售情况时，商店经理关心这组数据的平均数吗？他关心的是什么？
分析：销售量的多少是商店经理最关心的一个问题，因此在这个问题中平均数不再是考查的主要对象，这组数据的众数是215 L，说明这种型号的电冰箱销量最好，这才是商店经理最为关心的．
解：商店经理不关心这组数据的平均数，他关心的是众数，也就是哪种型号的电冰箱销量最好．
【例2－2】 求数据6，－2,0,6,6，－3,6,2的众数．
错解
∵6出现4次，∴这组数据的众数是4.
剖析
误把次数当作众数而出错．
正解
∵6出现4次，是这组数据中出现次数最多的数据，∴这组数据的众数是6.
3．从统计图分析数据的集中趋势
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(1)统计图的特点：①扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比；②条形统计图能清楚地显示每个项目的具体数目；③折线统计图能清楚地反映出事物与数据的变化情况．
(2)反映一组数据集中趋势的量主要有平均数、众数、中位数．
(3)我们可以根据条形统计图、折线统计图所显示的数据的中位数与众数估测其平均数．
(4)在扇形统计图中，表示的数据的众数为所占比例最大的数，数据的平均数往往利用加权平均数进行求解．
【例3－1】 对某校八年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分，2分，3分，4分共4个等级，将调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图．根据图中信息，这些学生的平均分数是( )．
成绩频数条形统计图
成绩频数扇形统计图
A．2.25 B．2.5
C．2.95 D．3
解析：∵得4分的有12人，占总人数的30%，∴总人数为40人．∴得3分的人数为17，得2分的人数为8.∴所求平均分数为＝2.95.
答案：C
【例3－2】 某校九年级一班班长统计去年1～8月“校园文化”活动中全班同学的课外阅读数量(单位：本)，绘制了如图所示的折线统计图，这组数据的中位数是__________．
一班学生1～8月课外阅读数量折线统计图
答案：58
4．平均数、中位数和众数的关系
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平均数、中位数和众数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，但又具有不同的统计意义．平均数是反映个体的平均水平，从个体的平均水平能估计总体状况．因而平均数应用最为广泛．中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响．中位数可能出现在所给的数据中，也可能不在所给数据中．当一组数据中个别数据变动较大时，可用它来描述其集中趋势．众数反映各数据出现的次数，其大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题．
【例4】 某乡镇企业生产部有技术工人15人，生产部为了合理制定产品的每月生产定额，统计了这15人某月的加工零件个数：
每人加工件数
540
450
300
240
210
120
人数
1
1
2
6
3
2
(1)写出这15人该月加工零件数的平均数、中位数和众数；
(2)假如生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为260件，你认为这个定额是否合理，为什么？
解：(1)平均数：260(件)，中位数：240(件)，众数：240(件)．
(2)不合理．因为表中数据显示，每月能完成260件的人数一共是4人，还有11人不能达到此定额，尽管260是平均数，但不利于调动多数员工的积极性．因为240既是中位数，又是众数，是大多数人能达到的定额，故定额为240较为合理．
5．平均数、中位数、众数的应用
(1)应用平均数时，所有数据都参加运算，它能充分地利用数据所提供的信息；但当一组数据中存在极大值或极小值时，平均数将不能准确表示数据的集中情况．
(2)应用中位数时，计算较简单，不会受到极大值或极小值存在的影响，但不能充分利用所有数据信息．
(3)应用众数，某些情况下，人们最关心、最重视的是出现次数最多的数据，这种情况下，应用众数简单而且能够直接满足人们的需求，但当各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有特别意义．
点评：求中位数应注意的几点：(1)求中位数时需先将数据按从小到大或从大到小排序．(2)当数据有奇数个时，中位数就是排序后最中间位置上的数；当数据有偶数个时，中位数就是排序后最中间两个数据的平均数．(3)当数据分组排列时，应按数据总个数求中位数，而不能按小组数求中位数．
【例5】 三个生产日光灯管的厂家在广告中宣称，他们生产的日光灯管在正常情况下，灯管的使用寿命为12个月．工商部门为了检查他们宣传的真实性，从三个厂家各抽取11只日光灯管进行检测，灯管的使用寿命(单位：月)如下：
甲厂
7
8
9
9
9
11
13
14
16
17
19
乙厂
7
7
9
9
10
10
12
12
12
13
14
丙厂
7
7
8
8
8
12
13
14
15
16
17
试问：(1)这三个厂家的广告分别利用了统计中的哪一个特征数(平均数、中位数、众数)进行宣传？
(2)如果三种产品的售价一样，作为顾客的你会选购哪个厂家的产品？请说明理由．
解：(1)甲厂的广告利用了统计中的平均数．
乙厂的广告利用了统计中的众数．
丙厂的广告利用了统计中的中位数．
(2)选购甲厂的产品．理由是甲厂生产的灯管的使用寿命的平均数能较真实地反映灯管的使用寿命．或选用丙厂的产品．理由是丙厂生产的灯管的使用寿命有一半以上超过12个月.
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