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4 数据的离散程度
1．极差
定义：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差，即极差＝最大值－最小值．极差反映了这组数据的波动范围．
谈重点 极差
(1)极差是最简单、最便于计算的一种反映数据波动情况的量，极差能够反映一组数据的波动范围；(2)在对一组数据的波动情况粗略估计时经常用到极差；(3)极差仅仅反映了数据的波动范围没有提供数据波动的其他信息，且受极端值的影响较大；(4)一组数据的极差越小，这组数据就越稳定．
【例1】 在一次体检中，测得某小组5名同学的身高分别是170,162,155,160,168(单位：cm)，则这组数据的极差是__________cm.
解析：根据极差的概念，用最大值减去最小值即可，170－155＝15(cm)．
答案：15
2．方差
(1)定义：设有n个数据x1，x2，x3，…，xn，各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1－)2，(x2－)2，(x3－)2，…，(xn－)2，用它们的平均数来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差．
(2)方差的计算公式：通常用s2表示一组数据的方差，用表示这组数据的平均数．
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋(x3－)2＋…＋(xn－)2]．
(3)标准差：标准差就是方差的算术平方根．
谈重点 方差
(1)方差是用来衡量一组数据的波动大小的重要的量，方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况；(2)对于同类问题的两组数据，方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小；(3)一组数据的每一个数据都加上(或减去)同一个常数，所得的一组新数据的方差不变；(4)一组数据的每一个数据都变为原来的k倍，则所得的一组新数据的方差将变为原数据方差的k2倍．
【例2】 已知两组数据分别为：
甲：42,41,40,39,38；
乙：40.5,40.1,40,39.9,39.5.
计算这两组数据的方差．
解：甲＝×(42＋41＋40＋39＋38)＝40，
s＝×[(42－40)2＋…＋(38－40)2]＝2.
乙＝×(40.5＋40.1＋40＋39.9＋39.5)＝40，
s＝×[(40.5－40)2＋…＋(39.5－40)2]＝0.104.
3．极差与方差(或标准差)的异同
相同之处：
(1)都是衡量一组数据的波动大小的量；
(2)一组数据的极差、方差(或标准差)越小，这组数据的波动就越小，也就越稳定．
不同之处：
(1)极差反映的仅仅是数据的变化范围，方差(或标准差)反映的是数据在它的平均数附近波动的情况；
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(2)极差的计算最简单，只需要计算数据的最大值与最小值的差即可，而方差的计算比较复杂．
【例3】 已知甲、乙两支仪仗队队员的身高如下(单位：cm)：
甲队：178,177,179,178,177,178,177,179,178,179
乙队：178,179,176,178,180,178,176,178,177,180
(1)将下表填完整：
身高(cm)
176
177
178
179
180
甲队(人数)
3
4
0
乙队(人数)
2
1
1
(2)甲队队员身高的平均数为_________cm，乙队队员身高的平均数为_________cm；
(3)这两支仪仗队队员身高的极差、方差分别是多少？
解：(1)甲队从左到右分别填：0,3，乙队从左到右分别填：4,2；
(2)178,178；
(3)经过计算可知，甲、乙两支仪仗队队员身高数据的极差分别为2 cm和4 cm，方差分别是0.6和1.8.
4.运用方差解决实际问题
方差是反映一组数据的波动大小的统计量，通过计算方差，可以比较两组数据的稳定程度，进而解决一些实际问题．
对于一般两组数据来说，可从平均数和方差两个方面进行比较，平均数反映一组数据的一般水平，方差则反映一组数据在平均数左右的波动大小，因此从平均数看或从方差看，各有长处．
方差的计算可用一句话“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的程度．方差的单位是原数据的平方单位，方差反映了数据的波动大小，在实际问题中，例如长得是否整齐一致、是否稳定等都是波动体现．
点技巧 方差反映波动情况
在实际问题中，如果出现要求分析稳定性的问题，因为方差是反映数据的波动大小的量，所以一般就要计算出各组数据的方差，通过方差的大小比较来解决问题．
【例4】 某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲
95
82
88
81
93
79
84
78
乙
83
92
80
95
90
80
85
75
(1)请你计算这两组数据的平均数、中位数；
(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由．
解：(1)甲＝(95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78)＝85，
乙＝(83＋92＋80＋95＋90＋80＋85＋75)＝85.
这两组数据的平均数都是85.这两组数据的中位数分别为83,84.
(2)派甲参赛比较合适．理由如下：
由(1)知甲＝乙，
s＝[(95－85)2＋(82－85)2＋(88－85)2＋(81－85)2＋(93－85)2＋(79－85)2＋(84－85)2＋(78－85)2]＝35.5，
s＝[(83－85)2＋(92－85)2＋(80－85)2＋(95－85)2＋(90－85)2＋(80－85)2＋(85－85)2＋(75－85)2]＝41，
∵甲＝乙，s＜s，
∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．
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5．运用用样本估计总体的思想解决实际问题
统计学的基本思想是用样本估计总体，它主要研究两个基本问题：一是如何从总体中抽取样本，二是如何通过对所抽取的样本进行计算和分析，从而对总体的相应情况作出推断．
用样本估计总体是统计的基本思想，正像用样本的平均数估计总体的平均数一样，考察总体方差时，如果所要考察的总体包含很多个体，或考察本身带有破坏性，实际中常常用样本的方差来估计总体的方差．
方差是反映已知数据的波动大小的一个量．在日常生活中，有时只用平均数、中位数和众数难以准确地分析一组数据时，就要用方差来评判．但是并不是方差越小越好，要根据问题的实际情况灵活运用数据分析问题，作出正确的判断．
注：在解决问题或决策时，应运用统计思想，搞清楚特殊和一般的关系，具体问题具体对待．全方位、多角度地分析与评判是关键．
【例5】 某运动队欲从甲、乙两名优秀选手中选一名参加全省射击比赛，该运动队预先对这两名选手进行了8次测试，测得的成绩如下表：
次数
选手甲的成绩(环)
选手乙的成绩(环)
1
9.6
9.5
2
9.7
9.9
3
10.5
10.3
4
10.0
9.7
5
9.7
10.5
6
9.9
10.3
7
10.0
10.0
8
10.6
9.8
根据统计的测试成绩，请你运用所学过的统计知识作出判断，派哪一位选手参加比赛更好？为什么？
解：甲＝(9.6＋9.7＋…＋10.6)＝10.0，乙＝(9.5＋9.9＋…＋9.8)＝10.0.s＝0.12，s＝0.102 5.
结果甲、乙两选手的平均成绩相同，s＞s.乙的方差小，波动就小，似乎应该选乙选手参加比赛．但是就这个问题而言，我们不能仅看平均成绩和方差就妄下结论．在这里平均成绩和方差不是最重要的，重要的是看他们的发展潜力或比赛时的竞技状态．从甲、乙两选手的最后四次成绩看，甲的状态正逐步回升，成绩越来越好，而乙明显不如甲的状态好．所以从这个角度看，应选甲选手参加比赛更好．
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