4 整式的加减
1．同类项
定义
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．
谈重点 同类项的理解
“两个相同”：①所含字母相同；
②相同字母的指数也相同．
“两个无关”：①同类项只与项中的字母有关，与系数无关；
②同类项与项中字母的排列顺序无关．
“一个特别”：特别地，几个常数项也是同类项．如5与－8是同类项．
为便于记忆，我们将其总结为：“同类项、同类项，两个条件不能忘，字母要相同，指数要一样．”
【例1】 下列各组代数式中，属于同类项的有( )组．
①0.5a2b3与0.5a3b2；②xy与xz；③mn与0.3mn；④xy2与xy2；⑤3与－6.
A．5 B．4 C．3 D．1
解析：
①
×
相同字母的指数不相同
②
×
含有的字母不相同
③
√
含有相同的字母(③m，n；④x，y)且相同字母的指数也相同
④
√
⑤
√
几个数也是同类项
答案：C
2．合并同类项及法则
(1)合并同类项
把同类项合并成一项叫做合并同类项．如：2a－a中，2a与－a是同类项，可以合并为a.
(2)合并同类项的法则
把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变．如：2xy＋3xy＝(2＋3)xy＝5xy.
谈重点 合并同类项
合并同类项时，只把同类项的系数相加，字母及其指数都不变．
为便于记忆，我们将其总结为：“合并同类项，法则不能忘；只求系数和，字母、指数不变样．”
【例2】 下列合并同类项，正确的是( )．
A．3a＋2b＝5ab B．7ab－7ba＝0
C．3x2＋2x3＝5x5 D．4x2y－5y2x＝－xy
解析：只有同类项才可以合并，而选项A，C，D中前后两项都不是同类项，不可以合并．
答案：B
3．去括号法则
法则：括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；
括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．
谈重点 去括号的技巧
①去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉；②要注意括号前的符号，它是去括号后括号内各项是否变号的依据；③要注意括号前面是“－”
号时，不管括号前是否有系数，去掉括号后，括号内的各项都要改变符号，不能只改变括号内第一项或前几项的符号，而忘记改变其余项的符号；④当括号里的第一项是省略“＋”号的正数时，去掉括号和它前面的“＋”号后要补上原先省略的“＋”号；⑤括号内原有几项，去括号后仍有几项，不能丢项．
去括号口诀：去括号，看符号；是“＋”号，不变号；是“－”号，全变号．
【例3】 下列去括号正确的是( )．
A．3a＋(2b－c)＝3a＋2b＋c B．3a－(2b＋c)＝3a－2b＋c
C．3a－(2b＋c)＝3a＋2b＋c D．3a－(2b＋c)＝3a－2b－c
解析：根据去括号法则判断．选项A中去括号时，－c变成了＋c，所以是错误的；选项B中去括号时，括号内c未变号；选项C中去括号时，括号内各项都没有变号；只有选项D符合去括号法则，故应选D.
答案：D
4．根据同类项的概念求字母的值
同类项具备两个条件：①含有相同的字母；②相同字母的指数相同．
根据上面的条件可以求出同类项中字母的指数．其方法是：①找出同类项中的相同字母；②根据相同字母的指数相同列出等式；③求出字母指数．
【例4】 若25a4bn与5mamb3是同类项，则m＝__________，n＝__________.
解析：
此题中5mamb3中5的指数，a的指数都是m，而5又在前，很容易让人认为5m＝25，从而m＝2.实际上，在5mamb3中，5m只是这个代数式的系数，不管m等于几(m等于4除外)，都和5mamb3与25a4bn是同类项无关．
答案：4 3
5.合并同类项的步骤
(1)合并同类项的依据是逆用乘法分配律，根据合并同类项的法则进行合并．
(2)合并同类项的一般步骤可以简单归纳为：找→移→并．
找：找出多项式中的同类项；
移：将多项式中的同类项通过移动位置，将同类项集中在一起；
并：将系数相加，完成合并同类项．
辨误区 合并同类项的注意事项
(1)只有同类项才能合并，合并时应注意不要漏项．
(2)多项式中含有两种以上的同类项时，为防止漏项或混淆，可先在各项的下边用不同的记号标示出各种同类项，然后再分别进行合并．
【例5】 合并同类项：
(1)2x2－7－x－3x－4x2；
(2)－3a2＋2a－1＋a2－5a＋7；
(3)4(a＋b)－5(a－b)－6(a－b)＋7(a＋b)．
分析：先找出各代数式中的同类项，再进行合并．
解：(1)2x2－7－x－3x－4x2 找
＝(2x2－4x2)＋(－x－3x)－7 移
＝(2－4)x2＋(－1－3)x－7 并
＝－2x2－4x－7；
(2)－3a2＋2a－1＋a2－5a＋7 找
＝(－3a2＋a2)＋(2a－5a)＋(－1＋7) 移
＝(－3＋1)a2＋(2－5)a＋(－1＋7) 并
＝－2a2＋(－3)a＋6＝－2a2－3a＋6；
(3)4(a＋b)－5(a－b)－6(a－b)＋7(a＋b) 找
＝[4(a＋b)＋7(a＋b)]＋[－5(a－b)－6(a－b)]… 移
＝11(a＋b)－11(a－b)
＝22b. 并
6.去括号的技巧
当代数式中含有多重括号时，即有大括号、中括号、小括号时，可以由内向外逐层去括号，也可以由外向内逐层去括号，主要有以下几种方法：
①按常规顺序去括号，先去小括号，再去大括号．
②改变常规先去大括号，再去小括号．
③先局部合并再去括号．
④大小括号同时去掉．
⑤先整体合并再去括号．
⑥运用乘法分配律去括号．
若代数式括号前有系数，可先进行乘法分配律，再去括号；也可以用乘法分配律直接将括号前面的系数乘以括号内的各项．
【例6】 计算：4xy2－3x2y－{3x2y＋xy2－[2xy2－4x2y＋(x2y－2xy2)]}．
分析：看清题，去多重括号可以由内向外逐层进行，也可以由外向内逐层进行，如果去括号法则掌握得较熟练，也可以内外同时去括号．
解：方法一：(由内向外逐层去括号)
原式＝4xy2－3x2y－[3x2y＋xy2－(2xy2－4x2y＋x2y－2xy2)]＝4xy2－3x2y－(3x2y＋xy2－2xy2＋4x2y－x2y＋2xy2)＝4xy2－3x2y－(6x2y＋xy2)＝4xy2－3x2y－6x2y－xy2＝3xy2－9x2y.
方法二：(由外向内去括号)
原式＝4xy2－3x2y－3x2y－xy2＋[2xy2－4x2y＋(x2y－2xy2)]＝3xy2－6x2y＋2xy2－4x2y＋(x2y－2xy2)＝5xy2－10x2y＋x2y－2xy2＝3xy2－9x2y.
方法三：(内外同时去括号)
原式＝4xy2－3x2y－3x2y－xy2＋(2xy2－4x2y＋x2y－2xy2)＝3xy2－6x2y－3x2y＝3xy2－9x2y.
7．去括号的应用
以下几种应用中都会用到去括号：
(1)代数式化简及求值
化简有括号的代数式或求代数式的值时，要用到去括号法则．解决此类题的一般步骤：
①去括号：按照去括号法则进行去括号；
②合并同类项：将代数式中的同类项合并，化简代数式；
③代入计算：用具体的数值代替代数式中的字母，按照代数式中指明的运算计算出结果．
(2)实际问题中的去括号
在列代数式表示实际问题中的数量关系时，有时会用到括号，因此，实际问题的解决中也会用到去括号法则．解决时主要的步骤：
①认真审题，根据题意列出表示问题中数量关系的代数式；
②去括号，合并同类项，化简代数式；
③写出答案．
【例7】 数学课上，李老师给同学们出了一道整式的化简求值的练习题：
(xyz2＋7xy－2)＋(－3xy＋xyz2－5)－(2xyz2＋4xy)．
李老师看着题目对同学们说：“大家任意给出x，y，z的一组值，我能马上说出答案．”同学们不相信，小刚同学立刻站起来，但他刚说完“x＝2 013，y＝－，z＝”后，李老师就说出了答案是－7.同学们都感到不可思议，计算速度也太快了吧，何况是这么复杂的一组数值呢！但李老师却信心十足地说：“这个答案准确无误．”
同学们，你知道李老师为什么算得这么快吗？
分析：要知道李老师算得快的原因，可以先化简整式，看看化简后的结果，你就知道李老师算得快的奥妙了．
解：(xyz2＋7xy－2)＋(－3xy＋xyz2－5)－(2xyz2＋4xy)
＝xyz2＋7xy－2－3xy＋xyz2－5－2xyz2－4xy
＝(1＋1－2)xyz2＋(7－3－4)xy＋(－2－5)
＝0＋0＋(－7)
＝－7.
原来化简后的结果不含有字母x，y，z，也就是说整式的值与x，y，z的取值无关．所以李老师的答案是正确的．
微信/支付宝扫码支付