4 角的比较
1.角的大小比较
(1)度量法:先用量角器测量出各角的度数,再按照角的度数比较大小,从而确定两个角的大小关系.
(2)叠合法:两个角比较大小时,把两个角的顶点和一条边分别重合,另一条边放在重合边的同侧,根据另一条边的位置确定角的大小.
如比较∠ABC和∠DEF的大小,可把∠DEF移到∠ABC上,使它的顶点E和∠ABC的顶点B重合,一边ED和BA重合,另一边EF和BC落在BA的同一侧.
①如果EF和BC重合(如图1),那么∠DEF等于∠ABC,记作∠DEF=∠ABC;
②如果EF落在∠ABC的外部(如图2),那么∠DEF大于∠ABC,记作∠DEF>∠ABC;
③如果EF落在∠ABC的内部(如图3),那么∠DEF小于∠ABC,记作∠DEF<∠ABC.
【例1】 如图,求解下列问题:
(1)比较∠COD和∠COE的大小;
(2)借助三角尺,比较∠EOD和∠COD的大小;
(3)用量角器度量,比较∠BOC和∠COD的大小.
分析:(1)可用叠合法比较.∠COD和∠COE有一条公共边OC,而OD在∠COE的内部,故∠COD小;(2)我们要选择三角尺的一个角来估算这两个角的度数,就可以达到比较的目的;(3)通过度量容易得出结论.
解:(1)由图可以看出,∠COD∠COD.
2.角的平分线
(1)定义:从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个
角的平分线.
①角平分线是以角的顶点为端点的特殊射线,它在角的内部;②角平分线把角分成两个相等的角.
(2)角平分线的表示:
①OC是∠AOB的平分线;②∠AOC=∠COB=∠AOB,∠AOB=2∠AOC=2∠COB.
(3)作角平分线的方法:
①利用量角器量出角的度数,取角的度数的一半并画出射线;②
折叠:把已知角的两边重合后再折叠,可得已知角的平分线.
【例2】 如图,已知∠AOC=80°,∠BOC=50°,OD平分∠BOC,求∠AOD.
分析:由图可知∠AOD=∠AOC+∠DOC,所以只要求出∠DOC即可.
解:因为OD平分∠BOC,
所以∠DOC=∠BOC.
又因为∠BOC=50°,
所以∠DOC=×50°=25°.
所以∠AOD=∠AOC+∠DOC=80°+25°=105°.
3.角平分线及角的和、差计算
(1)角的和、差的意义
如图,①和:∠AOB=∠1+∠2;
②差:∠1=∠AOB-∠2,∠2=∠AOB-∠1.
(2)角平分线及角的和、差计算
与角有关的计算,是本节的重点,也是易错点.
解决这类问题,关键是根据角平分线得到相等的角,或求出一个较大的角,借助于某一个中间的角,把未知量转化为已知量.
(3)三角板中角的和与差
一副三角板有两块,一块含30°角,60°角,90°角;一块含45°角,45°角,90°角.
借助于三角板,即可以画出上面的角.
利用三角板和角的和、差,还可以得到以下度数的角:15°,75°,105°,120°,135°,150°,165°.
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【例3-1】 已知∠AOB=30°,∠BOC=20°,则∠AOC的角度是__________.
错解:50°
错解分析:误以为∠AOC只是∠AOB与∠BOC的和,即∠AOC=∠AOB+∠BOC=30°+20°=50°.
正解:10°或50°
正解思路:如图,①∠AOC=∠AOB+∠BOC=30°+20°=50°;
②∠AOC=∠AOB-∠BOC=30°-20°=10°.
【例3-2】 如图,AOC为一直线,OD是∠AOB的平分线,∠BOE=∠EOC,∠DOE
=72°,求∠EOC的度数.
分析:本题中角之间的关系较复杂,直接求解有困难,可以通过设未知数、列方程的方法求解.设∠AOB=x°,因为OD是∠AOB的平分线,所以∠BOD=°;观察图形知,∠AOB和∠BOC互为补角,所以∠BOC=(180-x)°;又因为∠BOE=∠EOC,所以∠BOE=∠BOC=°;然后根据∠DOE=∠BOD+∠BOE=72°可列出方程+=72,解方程求出x的值后,再根据∠EOC=(180-x)°求出∠EOC的度数.
解:设∠AOB=x°,则∠BOD=°,∠BOC=(180-x)°,∠BOE=°,
由∠DOE=72°可得+=72.
解这个方程,得x=72.
∴∠EOC=(180-x)°=72°.
4.角的分类
(1)角的分类:
根据角的度数,常常把大于0°而小于180°的角分为锐角、直角、钝角三类.
(2)各种角的规定:
锐角:大于0°且小于90°的角.
直角:等于90°的角.
钝角:大于90°且小于180°的角.
平角:等于180°的角.
周角:等于360°的角.
(3)角之间的关系:
锐角<直角<钝角<平角<周角.
1平角=2直角=180°;
1周角=2平角=4直角=360°.
若没有特别说明,我们平常所说的角是指小于平角的角.
【例4】 如图,解答下列问题:
(1)比较图中∠AOB,∠AOC,∠AOD的大小;
(2)找出图中的直角、锐角和钝角.
分析:(1)角的大小可以观察得出;(2)根据各类角的特征观察得出.
解:(1)∠AOD>∠AOC>∠AOB;
(2)直角有∠AOC,锐角有∠AOB,∠BOC,∠COD,钝角有∠AOD,∠BOD.