14.1整式的乘法例题与讲解(2013-2014学年新人教版大八年级上).doc

‎14.1　整式的乘法 ‎1．同底数幂的乘法 ‎(1)法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．‎ ‎(2)符号表示：am·an＝am＋n(m，n都是正整数)．‎ ‎(3)拓展：①当三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有同样的性质，即am·an·…·ar＝am＋n＋…＋r(m，n，…，r都是正整数)．‎ ‎②法则可逆用，即am＋n＝am·an(m，n都是正整数)．‎ 谈重点 同底数幂的特征　“同底数幂”是指底数相同的幂，等号左边符合几个同底数幂相乘，等号右边，即结果为一个幂．注意不要忽视指数为1的因式．‎ ‎【例1】 计算：‎ ‎(1)103×106；‎ ‎(2)(－2)5×(－2)2；‎ ‎(3)an＋2·an＋1·a；‎ ‎(4)(x＋y)2(x＋y)3.‎ 分析：(1)中的两个幂的底数是10；(2)中的两个底数都是－2；(3)中的三个幂的底数都是a；这三道题可以直接用同底数幂的运算性质计算．(4)要把x＋y看作一个整体，再运用同底数幂的乘法法则．‎ 解：(1)103×106＝103＋6＝109；‎ ‎(2)(－2)5×(－2)2＝(－2)5＋2＝－27；‎ ‎(3)an＋2·an＋1·a ‎＝an＋2＋n＋1＋1＝a2n＋4；‎ ‎(4)(x＋y)2(x＋y)3‎ ‎＝(x＋y)2＋3＝(x＋y)5.‎ ‎2．幂的乘方 ‎(1)法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．‎ ‎(2)符号表示：(am)n＝amn(m，n都是正整数)．‎ ‎(3)拓展：①法则可推广为[(am)n]p＝amnp(m，n，p都是正整数)‎ ‎②法则可逆用：‎ amn＝(am)n＝(an)m(m，n都是正整数)‎ 警误区 幂的乘方的理解　不要把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．幂的乘方运算是转化为指数的乘法运算(底数不变)；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算(底数不变)．‎ ‎【例2】 计算：‎ ‎(1)(102)3；(2)(am)3；‎ ‎(3)[(－x)3]2；(4)[(y－x)4]2.‎ 分析：解决本题的关键是要分清底数、指数是什么，然后再运用法则进行计算，如(2)中的底数是a，(3)中的底数是－x，(4)中的底数是y－x.‎ 解：(1)(102)3＝102×3＝106；‎ ‎(2)(am)3＝a‎3m；‎ ‎(3)[(－x)3]2＝(－x)3×2＝x6；‎ ‎(4)[(y－x)4]2＝(y－x)4×2＝(y－x)8.‎ ‎3.积的乘方 ‎(1)法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．‎ ‎(2)符号表示：(ab)n＝anbn(n为正整数)．‎ ‎(3)拓展：①三个或三个以上的数的乘积，也适用这一法则，如：(abc)n＝anbncn.a，b，c可以是任意数，也可以是幂的形式．‎ ‎②法则可逆用：anbn＝(ab)n.(n为正整数)．‎ 警误区 积的乘方的易错点 ‎　运用积的乘方法则易出现的错误有：(1)漏乘因式；(2)当每个因式再乘方时，应该用幂的乘方的运算性质，指数相乘，而结果算式为指数相加；(3)系数计算错误．‎ ‎【例3】 计算：‎ ‎(1)(－xy)3；(2)(x2y)2；‎ ‎(3)(2×102)2；(4)(－ab2)2.‎ 解：(1)(－xy)3＝(－1)3x3y3＝－x3y3；‎ ‎(2)(x2y)2＝(x2)2·y2＝x4y2；‎ ‎(3)(2×102)2＝22×(102)2＝4×104；‎ ‎(4)(－ab2)2＝(－)‎2a2(b2)2＝a2b4.‎ ‎4．单项式乘以单项式 法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．‎ 谈重点 单项式乘以单项式要注意的三点　运用单项式与单项式相乘时要注意：(1)在计算时，应先确定积的符号；(2)注意按运算顺序进行；(3)不要丢掉只有一个单项式里含有的字母．‎ ‎【例4】 下列计算正确的是(　　)．‎ A．3x3·2x2y＝6x5 B．‎2a2·‎3a3＝‎6a5‎ C．(2x)3·(－5x2y)＝－10x5y D．(－2xy)·(－3x2y)＝6x3y 解析：A结果漏掉了字母“y”，C结果应为－40x5y，D结果应为6x3y2.‎ 答案：B ‎5．单项式与多项式相乘 法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．即m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc.‎ 单项式与多项式乘法法则的理解　单项式与多项式相乘，其实质就是乘法分配律的应用，将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式，再转化为同底数幂相乘．所以熟练掌握同底数幂乘法和单项式乘以单项式，是学好单项式乘以单项式的基础和关键．单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，运算时可以此来检验运算中是否漏乘．‎ ‎【例5】 计算：‎ ‎(1)(－3ab)(‎2a2b－ab＋2)；‎ ‎(2)x(x－2)－2x(x＋1)－3x(x－5)．‎ 解：(1)(－3ab)(‎2a2b－ab＋2)‎ ‎＝(－3ab)(‎2a2b)＋(－3ab)(－ab)＋(－3ab)×2‎ ‎＝－‎6a3b2＋‎3a2b2－6ab；‎ ‎(2)x(x－2)－2x(x＋1)－3x(x－5)＝x·x＋x·(－2)＋(－2x)x＋(－2x)·1＋(－3x)·x＋(－3x)·(－5)＝－4x2＋11x.‎ ‎6．多项式与多项式相乘 法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn.‎ 警误区 多项式乘以多项式的注意点 多项式乘以多项式时，应注意以下几点：(1)相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；(2)多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积；(3)相乘后，若有同类项应该合并．‎ ‎【例6】 计算：‎ ‎(1)(‎5a－2b)(‎2a＋b)；‎ ‎(2)(a2－a＋1)(a＋1)．‎ 解：(1)(‎5a－2b)(‎2a＋b)‎ ‎＝‎5a·‎2a＋‎5a·b－2b·‎2a－2b·b ‎＝‎10a2＋5ab－4ab－2b2‎ ‎＝‎10a2＋ab－2b2；‎ ‎(2)(a2－a＋1)(a＋1)‎ ‎＝a2·a＋a2·1－a·a－a·1＋1·a＋1‎ ‎＝a3＋a2－a2－a＋a＋1‎ ‎＝a3＋1.‎ ‎7.同底数幂的除法 ‎(1)法则 同底数幂相除，底数不变，指数相减．‎ ‎(2)符号表示 am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n)．‎ ‎(3)注意 ‎①应用法则时，必须明确底数是什么，指数是什么，然后按同底数幂相除的法则计算；②运算时要注意运算顺序，同时还要注意指数为“‎1”‎的情况，如：m5÷m＝m5－1，而不是m5÷m＝m5－0.‎ ‎(4)0次幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1，即a0＝1(a≠0)．‎ 谈重点 同底数幂的除法法则的理解　运用同底数幂相除应注意：(1)适用范围：两个幂的底数相同，且是相除的关系，被除式的指数大于或等于除式的指数，且底数不能为0；(2)底数可以是数，也可以是单项式或多项式；(3)该法则对于三个或三个以上的同底数幂相除仍然成立．‎ ‎【例7】 计算：(1)a4÷a2；(2)(－x)5÷x3；‎ ‎(3)xn＋3÷xn；(4)(x＋1)4÷(x＋1)．‎ 解：(1)a4÷a2＝a4－2＝a2；‎ ‎(2)(－x)5÷x3＝－x5÷x3＝－x5－3＝－x2；‎ ‎(3)xn＋3÷xn＝xn＋3－n＝x3；‎ ‎(4)(x＋1)4÷(x＋1)＝(x＋1)4－1＝(x＋1)3.‎ ‎8．单项式除以单项式 ‎(1)法则 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．‎ ‎(2)步骤 ‎①系数相除；②同底数幂相除；③对于只在被除式里含有的字母的处理(连同指数作为商的一个因式)．‎ 单项式除以单项式的结果仍为单项式．‎ ‎【例8】 计算：(1)(－‎0.5a2bc2)÷(－ac2)；‎ ‎(2)(6×108)÷(3×105)；‎ ‎(3)(6x2y3)2÷(－3xy2)2.‎ 解：(1)(－‎0.5a2bc2)÷(－ac2)‎ ‎＝[(－)×(－)]a2－1bc2－2＝ab；‎ ‎(2)(6×108)÷(3×105)‎ ‎＝(6÷3)×108－5＝2×103；‎ ‎(3)(6x2y3)2÷(－3xy2)2‎ ‎＝36x4y6÷9x2y4＝(36÷9)x4－2y6－4＝4x2y2.‎ ‎9．多项式除以单项式 ‎(1)法则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．‎ ‎(2)注意 ‎①多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决；②运算时不能漏项；③‎ 运算时注意符号的变化．‎ 警误区 多项式除以单项式的注意点　(1)要注意商的符号，应弄清多项式中每一项的符号，相除时要带着符号与单项式相除；(2)多项式除以单项式的结果是一个多项式，多项式除以单项式是单项式乘以多项式的逆运算，可以用其进行检验．‎ ‎【例9】 计算：(1)(‎6c2d－c3d3)÷(－‎2c2d)；‎ ‎(2)(‎24m3‎n－‎16m2‎n2＋mn3)÷(－‎8m)．‎ 解：(1)(‎6c2d－c3d3)÷(－‎2c2d)‎ ‎＝(‎6c2d)÷(－‎2c2d)－(c3d3)÷(－‎2c2d)‎ ‎＝－3＋cd2；‎ ‎(2)(‎24m3‎n－‎16m2‎n2＋mn3)÷(－‎8m)‎ ‎＝(‎24m3‎n)÷(－‎8m)－(‎16m2‎n2)÷(－‎8m)＋(mn3)÷(－‎8m)‎ ‎＝－‎3m2‎n＋2mn2－n3.‎ ‎10．整式乘法中的化简求值 整式乘法运算中的化简求值题的主要步骤有：(1)按照题目规定的运算顺序，对原式进行化简；(2)将对应的字母数值代入化简后的结果进行计算；(3)注意代入时，不要代错，在求值时，式子的运算符号和顺序都不变．‎ ‎11．幂的运算法则的逆向运用 幂的运算法则是以等式形式出现的，受思维定势的影响，习惯于从左边到右边运用它，而忽视从右边到左边的应用，即逆向运用运算法则．其实，有些问题如果逆向运用幂的运算性质，解题会更加简捷．(1)am＋n＝am·an(m，n都是正整数)．(2)amn＝(am)n(m，n都是正整数)．(3)anbn＝(ab)n(n为正整数)．‎ ‎12．整式的混合运算 在学习了整式的加减、乘除，乘法公式以后，就可以进行整式的混合运算了．整式的混合运算用到的知识点比较多，除了整式加减、乘除，乘法公式，还要用到去括号、乘法分配律等．‎ 谈重点 整式的混合运算的认识 进行整式的混合运算首先要注意弄清运算顺序，先算什么再算什么，然后注意每一步运算所用到的法则、公式等要准确无误．‎ ‎【例10】 当y＝－时，求代数式y(y2－6y＋9)－y(y2－8y－15)＋2y(3－y)的值．‎ 解：y(y2－6y＋9)－y(y2－8y－15)＋2y(3－y)‎ ‎＝y3－6y2＋9y－y3＋8y2＋15y＋6y－2y2‎ ‎＝30y，‎ 当y＝－时，‎ 原式＝30y＝30×(－)＝－5.‎ ‎【例11－1】 计算：(－)2 014·(3)2 014.‎ 解：(－)2 014·(3)2 014‎ ‎＝(－×)2 014‎ ‎＝(－1)2 014＝1.‎ ‎【例11－2】 已知：‎3m＝6,9n＝2，求‎32m＋4n的值．‎ 解：‎32m＋4n＝‎32m·34n＝(‎3m)2·(32n)2‎ ‎＝(‎3m)2·(9n)2‎ ‎＝62×22‎ ‎＝36×4＝144.‎ ‎【例12】 先化简，再求值：‎ ‎[(x＋y)(x－y)－(x－y)2＋2y(x－y)]÷(－2y)，其中，x＝－，y＝2.‎ 解：原式＝[x2－y2－(x2－2xy＋y2)＋2xy－2y2]÷(－2y)＝(x2－y2－x2＋2xy－y2＋2xy－2y2)÷(－2y)‎ ‎＝(－4y2＋4xy)÷(－2y)＝2y－2x，‎ 当x＝－，y＝2时，‎ 原式＝2y－2x＝2×2－2×(－)＝4－(－1)＝5.‎ ‎13．整式乘法中的开放型问题 结论开放与探索：给出问题的条件，根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要进行推断，甚至探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题．它要求充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查我们的发散性思维和所学基本知识的应用能力．‎ ‎14．与整式除法有关的求值问题 这类与整式的除法有关的求值问题，采用传统的方法很难求解，此时需根据题目的特点灵活变形采用整体代入法求解．首先应认真观察题目的特点，或者先将求值的式子化简再求值，或者同时将已知式和求值式化简．‎ ‎【例13】 若a，b，k均为整数且满足等式(x＋a)(x＋b)＝x2＋kx＋36，写出两个符合条件的k的值．‎ 解：因为(x＋a)(x＋b)＝x2＋kx＋36，所以x2＋(a＋b)x＋ab＝x2＋kx＋36，根据等式的对应项的系数相等可得 又因为a，b，k均为整数，36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6＝(－1)×(－36)＝(－2)×(－18)＝(－3)×(－12)＝(－4)×(－9)＝(－6)×(－6)，‎ 所以a，b对应的值共有10对，从而求出a＋b的值，即k的值有10个，分别为±37，±20，±15，±13，±12.只要写出其中的两个即可．‎ ‎【例14】 已知x2－5x＋1＝0，求x2＋的值．‎ 解：将x＝0代入x2－5x＋1得该式子的值不等于0，故x2－5x＋1＝0中的x≠0，则x2－5x＋1＝0两边都除以x得，x＋－5＝0，‎ 即x＋＝5，又x2＋＝(x＋)2－2，将x＋＝5代入可得x2＋＝52－2＝23.‎