14.2乘法公式例题与讲解(2013-2014年新人教版大八年级上).doc

‎14.2　乘法公式 ‎1．平方差公式 ‎(1)平方差公式的推导：‎ 因为(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2，‎ 所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2.‎ ‎(2)语言叙述：‎ 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．‎ ‎(3)公式的特点：‎ ‎①公式中的a和b可以是实数，也可以是单项式或多项式；‎ ‎②公式的左边是两个数(式)的和与这两个数(式)的差的积，公式的右边是这两个数(式)的平方差(先平方后作差)．‎ 警误区 平方差公式的特征　利用平方差公式进行乘法计算时，要看清题目是否符合公式的特点，不符合平方差公式特点的，不能用平方差公式．对于符合平方差公式的，结果要用相同项的平方减去相反项的平方，千万不要颠倒了．‎ ‎【例1】 利用平方差公式计算．‎ ‎(1)(‎2a＋3b)(－‎2a＋3b)；(2)503×497.‎ 分析：(1)可直接运用平方差公式进行计算．(2)题可经过适当变形，把503写成(500＋3),497写成(500－3)，就能利用公式来计算了．‎ 解：(1)(‎2a＋3b)(－‎2a＋3b)＝(3b)2－(‎2a)2‎ ‎＝9b2－‎4a2.‎ ‎(2)503×497＝(500＋3)(500－3)＝5002－32＝250 000－9＝249 991.‎ 解技巧 平方差公式的理解和应用　要注意辨别因式中哪些相当于公式中的a(完全相同的部分)，哪些相当于公式中的b(符号不同的部分)．‎ ‎2．完全平方公式 ‎(1)两数和的完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；‎ 两数差的完全平方公式：(a－b)2＝a2－2ab＋b2.‎ ‎(2)语言叙述：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍．‎ ‎(3)公式的特点：两个公式左边都是一个二项式的完全平方，二者仅差一个“符号”不同，右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅差一个“符号”不同．‎ 析规律 完全平方公式的特征　完全平方公式总结口诀为：首平方，尾平方，首尾二倍积，加减在中央．‎ ‎【例2】 计算：‎ ‎(1)(‎4m＋n)2；‎ ‎(2)(y－)2；‎ ‎(3)(－a－b)2；‎ ‎(4)(－‎2a＋b)2.‎ 解：(1)(‎4m＋n)2＝(‎4m)2＋2×‎4m·n＋n2＝(‎4m)2＋8mn＋n2＝‎16m2‎＋‎8mm＋n2；‎ ‎(2)(y－)2＝y2－2×y×＋()2‎ ‎＝y2－y＋；‎ ‎(3)(－a－b)2＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；‎ ‎(4)(－‎2a＋b)2‎ ‎＝(－‎2a)2＋2×(－‎2a)×(b)＋(b)2‎ ‎＝4a2－2ab＋b2.‎ ‎3．添括号法则 法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．‎ 警误区 添括号法则的易错点　添括号时，如果括号前面是负号，括到括号里面的各项都改变符号，不可只改变部分项的符号，如：a－b＋c＝a－(b＋c)，这样添括号时只是改变了第一项的符号，而第二项的符号没有改变，所以这样添括号是错误的．‎ ‎【例3】 填空：(1)(x－y＋z)(x＋y－z)‎ ‎＝[x－(　　)][x＋(　　)]；‎ ‎(2)(x＋y＋z)(x－y－z)‎ ‎＝[x＋(　　)][x－(　　)]．‎ 答案：(1)y－z　y－z　(2)y＋z　y＋z ‎4．平方差公式、完全平方公式的推导 从“数”和“形”两个方面都可以推导出平方差公式．‎ ‎(1)“数”方面：平方差公式可以用整式的乘法，用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，合并后即可推导出平方差公式．‎ ‎(2)“形”方面：可以运用某个图形形状变化前后的面积不变，但面积的表达式不同来推导平方差公式．‎ ‎5．添括号法则与平方差公式、完全平方公式的综合运用 添括号法则可以把某些项放到一个括号内成为一个整体，这样就能使式子变形为符合公式的形式，然后运用乘法公式再进行计算，这样使比较复杂的运算变得简单．‎ ‎【例4】 如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式__________．‎ 解析：左上图的阴影部分的面积为a2－b2，因为右上图为梯形，梯形的高为(a－b)，所以阴影部分的面积为(‎2a＋2b)(a－b)÷2＝(a＋b)(a－b)．‎ 答案：(a＋b)(a－b)＝a2－b2‎ ‎【例5】 利用乘法公式计算：(a＋b＋c)(a－b－c)．‎ 分析：可将(a＋b＋c)用添括号变形为[a＋(b＋c)]，再把(a－b－c)变形为[a－(b＋c)]，然后先用平方差公式，再用完全平方公式计算即可．‎ 解：(a＋b＋c)(a－b－c)＝[a＋(b＋c)][a－(b＋c)]‎ ‎＝a2－(b＋c)2＝a2－(b2＋2bc＋c2)‎ ‎＝a2－b2－2bc－c2.‎ ‎6．运用乘法公式解探索规律题 解决探索规律型问题，一定要认真审清题意，观察式子左右两边的变化特点，纵向、横向来寻找规律．‎ 这类题目的解题步骤一般有：先根据给出的问题情境探究其变化规律，并用实例检验其规律的正确性，然后应用规律来解决问题，体会学以致用．‎ ‎【例6】 观察下列各式的规律：‎ ‎12＋(1×2)2＋22＝(1×2＋1)2；‎ ‎22＋(2×3)2＋32＝(2×3＋1)2；‎ ‎32＋(3×4)2＋42＝(3×4＋1)2；‎ ‎…‎ 写出第n行的式子，并证明你的结论．‎ 解：第n行的式子为：n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2‎ ‎＝[n(n＋1)＋1]2.证明如下：‎ n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝n2＋(n2＋n)2＋n2＋2n＋1＝(n2＋n)2＋2(n2＋n)＋1＝(n2＋n＋1)2.‎