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15.2 分式的运算
1.分式的乘除
(1)分式的乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.
用式子表示为:·=.
(2)分式的除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.
用式子表示为:÷=·=.
分式的除法要转化为乘法,然后根据乘法法则进行运算,结果要化为最简分式.
【例1】 计算:(1)·;
(2)÷;
(3)·;
(4)÷(4x2-y2).
解:(1)·==;
(2)÷
=·
==;
(3)·
=·
=
=;
(4)÷(4x2-y2)
=·
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=.
2.分式的乘方
(1)法则:分式乘方要把分子、分母分别乘方.
(2)用式子表示:=.
解技巧 分式的乘方的理解 (1)分式乘方时,分子、分母要乘相同次方;(2)其结果的符号与有理数乘方结果的符号确定方法一样.
【例2】 计算:
(1);(2).
解:(1)==;
(2)===-.
3.分式的加减
(1)同分母分式相加减:
①法则:分母不变,把分子相加减;
②用式子表示:±=.
(2)异分母分式相加减:
①法则:先通分,变为同分母的分式,再加减;
②用式子表示:±=±=.
警误区 分式加减运算的注意点 (1)同分母分式的加减运算的关键是分子的加减运算,分子加减时要将其作为一个整体进行加减,当分子是多项式时,要添加括号;
(2)异分母分式加减运算的关键是先通分,转化为同分母的分式相加减,再根据同分母分式加减法进行运算,通分时要注意最简公分母的确定;
(3)分式加减运算的结果要化为最简分式或整式.
【例3】 计算:
(1)+;
(2)-;
(3)-+;
(4)+;
(5)-;
(6)-a-2.
解:(1)+
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=
==
=;
(2)-=+
===;
(3)-+
=-+
=
=
==;
(4)+=-
=-
=
=
=-;
(5)-
=-
==
=-;
(6)-a-2=-(a+2)
=-=-
==
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=-.
4.整数指数幂
一般地,当n是正整数时,a-n=(a≠0).这就是说,a-n(a≠0)是an的倒数.这样引入负整数指数幂后,指数的取值范围就推广到全体整数.
根据整数指数幂的运算性质,当m,n为整数时,am÷an=am-n,am·a-n=am+(-n)=am-n,因此am÷an=am·a-n.
特别地,=a÷b=a·b-1,所以=(a·b-1)n,即商的乘方可以转化为积的乘方(a·b-1)n.
这样,整数指数幂的运算性质可以归纳为:
(1)am·an=am+n(m,n是整数);
(2)(am)n=amn(m,n是整数);
(3)(ab)n=anbn(m,n是整数).
【例4】 计算:
(1);
(2)a2b-3(a-1b)3÷(ab)-1.
解:(1)===;
(2)a2b-3(a-1b)3÷(ab)-1=a2b-3·a-3b3·ab=a0b=b.
5.科学记数法
(1)用科学记数法表示绝对值大于1的数时,应当表示为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为原数整数部分的位数减1;
(2)用科学记数法表示绝对值小于1的数时,可以表示为a×10-n的形式,其中n为原数第1个不为零的数字前面所有零的个数(包括小数点前面的那个零),1≤|a|<10.
提示:用科学记数法的形式表示数更方便于比较数的大小.
【例5】 把下列各数用科学记数法表示出来:
(1)650 000;
(2)-36 900 000;
(3)0.000 002 1;
(4)-0.000 006 57.
解:(1)650 000=6.5×105;
(2)-36 900 000=-3.69×107;
(3)0.000 002 1=2.1×10-6;
(4)-0.000 006 57=-6.57×10-6.
6.分式的乘除混合运算
分式的乘除混合运算要统一为乘法运算来计算.
谈重点 分式乘除混合运算的方法 (1)分式的乘除混合运算顺序与分数的乘除混合运算顺序相同,即从左到右的顺序,
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有括号先算括号里面的;(2)分式的乘除混合运算要注意每个分式中分子、分母括号的处理,以及结果符号的确定;(3)分式的乘除混合运算结果应为最简分式或整式.
7.分式的混合运算
分式的四则混合运算与有理数的混合运算相同,必须按照运算顺序,先乘方,再乘除,后加减,有括号时先去小括号再去中括号,最后结果要化为最简分式或整式.
解技巧 分式混合运算的技巧 分式四则混合运算要注意:(1)按照运算顺序进行,确定合理的运算顺序是解题的关键;(2)灵活运用交换律、结合律、分配律,可以使运算简捷,而且还可以提高运算速度和准确率;(3)将结果化为最简分式或整式;(4)运算过程中要注意符号的确定.
8.把分式化简后再求值
分式的化简求值题,关键是要准确地运用分式的运算法则,然后代入求值.化简运算过程中要注意约分、通分时分式的值保持不变,要注意分清运算顺序,先乘除,后加减,如果有括号,先进行括号内的运算.
【例6】 计算:÷(x-1)2·.
分析:按照从左到右的顺序依次运算,把除法运算转化为乘法,然后根据乘法法则进行运算,结果要化为最简分式或整式.
解:÷(x-1)2·
=··
=-.
【例7】 计算:·.
解:原式=·
=·
=·
=·
=·
=.
【例8】 先化简,再求值:·,其中x=-3.
解:原式=·
====x+2.
当x=-3时,原式=-3+2=-1.
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9.运用分式运算解决实际问题
运用分式运算解决实际问题,关键是理解题意,找准各种量之间的关系,这也是解决数学应用题的基本方法,作差法等也是解决这类问题的常用方法.在判断两分式的差的正负的时候,可以考虑利用完全平方式的非负性和题中字母的实际意义来解题.
作差法举例:若x≠y且x>0,y>0,比较与的大小.
解:-==.
因为x≠y,x>0,y>0.
所以<0,即<.
【例9】 甲、乙两工人生产同一种零件,甲每小时比乙多生产8个,现要求甲生产出168个零件,乙生产出144个零件,则他们两人谁能先完成任务?
解:设甲每小时生产这种零件x个,则乙每小时生产这种零件(x-8)个,甲完成任务需要时间为小时,乙完成任务需要时间为小时.
-==.
∵x>8,∴x-8>0,∴x(x-8)>0.
故当x>56时,->0;
当x=56时,-=0;
当x<56时,-<0.
所以若甲每小时生产零件多于56个,则乙先完成任务;若甲每小时生产零件等于56个,则两人同时完成任务;若甲每小时生产零件小于56个且多于8个,则甲先完成任务.
10.分式混合运算的开放型题
运用分式的混合运算解决开放型问题,关键还是进行分式的混合运算,只是题目具有一定的开放性,所以在解决此类问题时,首先还是要正确进行分式的化简,然后还要注意问题的多解的情况.
举例:已知P=,Q=,用“+”或“-”连接P,Q共有三种不同的形式:P+Q,P-Q,Q-P,请选择其中一种进行化简求值,其中a=3,b=2.
【例10】 已知A=,B=,C=.将它们组合成(A-B)÷C或A-B÷C的形式,请你从中任选一种进行计算.先化简,再求值,其中x=3.
解:选一:(A-B)÷C=÷
=×=,
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当x=3时,原式==1.
选二:A-B÷C=-÷
=-×
=-==,
当x=3时,原式=.
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