天添资源网 http://www.ttzyw.com/
12.1 全等三角形
1．全等形的概念
(1)定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．
(2)全等形的判别方法：
两个图形→即完全重合．
(3)能够完全重合的两个以上的图形，它们也是全等形．
析规律 全等图形的识别 两个图形是否全等只与这两个图形的形状和大小有关，与图形所在的位置无关，只要把它们叠放在一起，看是否重合，重合即为全等形．
【例1】 下列图形中是全等形的是____________．
解析：上述图形中，(5)和(7)形状相同，但大小不同，(6)和(10)大小、形状都不同；(1)和(9)、(2)和(3)、(11)和(12)尽管方向不同，但大小、形状完全相同，所以它们是全等形，(4)和(8)都是五角星，是全等形．
答案：(1)和(9)、(2)和(3)、(4)和(8)、(11)和(12)
2．全等三角形的定义和表示方法
(1)全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
全等三角形是特殊的全等形．
(2)对应元素：
把两个全等的三角形重合到一起：
①对应顶点：重合的顶点；
②对应边：重合的边；
③对应角：重合的角．
如下图，△ABC与△DEF全等．
对应顶点有：点A和点D，点B和点E，点C和点F；
对应边有：AB和DE，BC和EF，AC和DF.
对应角有：∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F.
(3)表示方法：
“全等”用“≌”表示，读作“全等于”．
例如，△ABC与△A′B′C′全等，点A和点A′，点B和点B′，点C和点C′是对应顶点，记作△ABC≌△A′B′C′.
警误区 全等三角形的表示法 记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，顺序不能随意书写．
(4)对应元素的确定方法：
①字母顺序确定法：
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
由于在表示两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，因此可以利用字母的顺序确定对应元素．
例如，△ABC≌△DEF，先把两个三角形顶点的字母按照同样的顺序排成一排：A→B→C，D→E→F，然后按照同样的顺序找出对应元素：
a．点A和点D，点B和点E，点C和点F分别是对应顶点；
b．线段AB和线段DE，线段BC和线段EF，线段AC和线段DF分别是对应边；
c．∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F分别是对应角．
②对应元素确定法：
a．如果全等的三角形中，有两个对应顶点已经确定，那么连接对应顶点的边是对应边，对应顶点的对边是对应边，以对应顶点为顶点的角是对应角，剩下的第三个角是对应角；
b．如果两条边为对应边，那么它们的对角为对应角，它们的夹角为对应角，第三条边为对应边；
c．如果两个角为对应角，那么它们的对边为对应边，它们的夹边为对应边，第三个角为对应角．
③图形特征确定法：
a．有公共边的，公共边一定是对应边．如图1，△ADB≌△ADC，则AD一定是两个三角形的对应边．
b．有公共角的，公共角一定是对应角．如图2，△ABD≌△ACE，则∠DAB和∠EAC是对应角．
c．有对顶角的，对顶角一定是对应角．如图3，△ABE≌△CDE，则∠1和∠2是对应角．
d．两个全等三角形的最大的边(角)是对应边(角)，最小的边(角)是对应边(角)．
【例2】 如图，△ABC≌△ADE，其中C和E，B和D是对应顶点，写出这两个三角形中的对应边和对应角．
分析：观察图形可知，能重合的边是对应边，能重合的角是对应角，或根据△ABC≌△ADE表示的对应顶点找出对应边、对应角．
解：对应边有：AB和AD，AC和AE，BC和DE；
对应角有：∠BAC和∠DAE，∠B和∠D，∠C和∠E.
3．全等三角形的性质
(1)性质：
全等三角形的对应边相等；
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
全等三角形的对应角相等．
(2)作用：
运用全等三角形的性质可以证明：两条线段相等、两个角相等．
(3)拓展：
由全等三角形的对应边相等、对应角相等，可以进一步推广到对应高、中线、角平分线相等、全等三角形的周长相等、面积相等，但周长相等的两个三角形不一定全等，面积相等的两个三角形也不一定全等．
谈重点 用全等三角形的性质证明线段或角相等 全等三角形的性质是证明线段或角相等的重要方法，在运用这个性质时，关键是要结合图形或根据表达式中字母的对应位置，灵活地找到对应边或对应角，牢牢抓住“对应”二字．
【例3】 已知△ABC≌△DEF，AB＝8，BC＝12，若△ABC的周长为32，则△DEF的三边长分别是多少？
解：因为AB＝8，BC＝12，且△ABC的周长为32，
所以AC＝32－8－12＝12.
又因为△ABC≌△DEF，
所以DE＝AB＝8，
EF＝BC＝12，
DF＝AC＝12.
4．全等三角形中的全等变换
只改变图形的位置，而不改变其形状、大小的变换，叫做全等变换．平移、翻折、旋转都属于全等变换．
一个三角形经过全等变换，位置发生了变化，但其形状、大小未发生变化．通过观察两个全等三角形中的一个经过怎样的全等变换可以和另一个重合，从而可以确定它们的对应顶点、对应角和对应边．
(1)平移型：
如图所示，将△ACE沿直线AC平行移动AB的长度，得到△BDF，△ACE≌△BDF.
(2)旋转型：
如图①，将△ABC绕点A旋转一定的角度得到△ADE，△ABC≌△ADE.
如图②，将△OAB绕点O旋转180°得到△ODC，则△OAB≌△ODC.
(3)翻折型：
如图③，将△ABC沿直线AB翻折，得到△ABD，则△ABC≌△ABD.
如图④，将△ABD翻折得到△ACE，这两个三角形的∠A重合，则△ABD≌△ACE.
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
5．综合运用全等三角形性质解决问题
任意一个三角形通过平移、旋转、翻折后，位置发生了变化，但形状、大小都没有发生变化，所以平移、旋转、翻折后得到的三角形与原三角形全等．
因为全等三角形的对应边是能重合的边，对应角是能重合的角，所以全等三角形的重要性质是：对应边相等，对应角相等．
运用全等三角形的性质解决问题时，关键要找准对应顶点，然后根据对应顶点找出对应边、对应角．
【例4－1】 如图，△ABC≌△DEF，B与E，C与F是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角．
分析：两个全等三角形是一定可以重合的，使两个图形完全重合的方法有三种：平移、旋转、翻折．
解：将△DEF先沿直线EF翻折180°，然后沿CB向左平移CF的长度，得到△ABC，△ABC与△DEF重合．或将△ABC先沿BC向右平移CF的长度，再沿直线EF翻折180°，得到△DEF，则△DEF与△ABC重合．
相等的边有：AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF.
相等的角有：∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE.
【例4－2】 如图，将△ABC绕其顶点B顺时针旋转30°后得到△DBE.
(1)△ABC和△DBE有什么关系？
(2)求∠CBE的度数．
分析：将△ABC绕其顶点B旋转得到△DBE，是几何变换中的全等变换，改变的只是位置，而大小、形状没有变化，所以△ABC和△DBE全等．
解：(1)根据旋转变换，得△ABC≌△DBE.
(2)由△ABC绕B点顺时针旋转30°得到△DBE，知BC绕B点顺时针旋转30°得到BE，即∠CBE＝30°.
【例5】 (探究题)如图1所示，△ABC绕着点B旋转(顺时针)90°到△DBE，且∠ABC＝90°.
(1)△ABC和△DBE是否全等？指出对应边和对应角．
(2)直线AC、直线DE有怎样的位置关系？
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
解：(1)由题意可得△ABC≌△DBE，AC和DE，AB和DB，BC和BE是对应边；∠A和∠D，∠ACB和∠DEB，∠ABC和∠DBE是对应角．
(2)延长AC交DE于点F，如图2所示，
∵△ABC≌△DBE，
∴∠A＝∠D.
又∵∠ACB＝∠DCF(对顶角相等)，
∠A＋∠ACB＝90°，
∴∠D＋∠DCF＝90°.
∴∠AFE＝90°，
即AC⊥DE.
6．全等三角形中的操作问题
全等三角形中的操作问题，要动手去做一做，把实际问题抽象成数学图形．图形经过翻折、折叠，重叠部分的三角形是全等三角形．然后根据全等三角形的性质，得到重合的角相等、重合的边相等．综合运用相等的量及有关知识进行推理论证或计算．
【例6】 两块大小一样的含30°锐角的三角板放在桌上，可以拼出各种不同的图形，如下图所示的四个图形都满足条件：
(1)每两个三角形的三个顶点至少有一个重合；
(2)每两个三角形的三条边中至少有一条重合或部分重合．
请你拼出更多的图形，并画出这些图形(画2个即可)．
解：如下所示：
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
微信/支付宝扫码支付