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13.1 轴对称
1．轴对称图形
(1)概念：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴．
(2)理解：轴对称图形是对一个图形而言，是一种具有特殊性质的图形，它能被一条直线分割成两部分，沿这条直线折叠时，其中一部分能与这个图形的另一部分重合．
(3)对称轴：对称轴是一条直线，有的轴对称图形只有一条对称轴，而有些轴对称图形有几条甚至无数条对称轴．
“圆的对称轴是圆的一条直径”为什么不对呢?
对称轴是一条直线，而直径是线段，所以圆的对称轴是直径所在的直线．并且圆有无数条对称轴．一定要注意哦！
解技巧 轴对称图形的识别 判断一个图形是否是轴对称图形可以根据定义，把图形沿某一条直线折叠，看直线两旁的部分是否能够重合．另外还可以观察是否有对称轴，能找到对称轴也说明是轴对称图形．
【例1】 下列图形中，是轴对称图形的是( )．
A．①② B．③④
C．②③ D．①④
解析：观察图形，①④的图形都能找到一条直线，沿这条直线对折，图形两边能够重合，而②③的图形中找不出这样的直线，因此只有①④是轴对称图形．
答案：D
2．轴对称
(1)概念：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称．这条直线叫做对称轴．
(2)含义：轴对称图形是两个图形之间的关系，这两个图形沿一条直线折叠后能够互相重合，即全等．
(3)对称点：折叠后重合的对应点叫对称点，两个图形正是由无数个对称点组合而成的，也正是无数个对称点的重合构成了图形的重合．
(4)与轴对称图形的异同：
a．区别：轴对称图形指的是一个图形本身的特点，而轴对称指的是两个图形之间的关系．
b．联系：都关于某条直线对称，如果把成轴对称的两个图形看成一个整体图形，那么它就是一个轴对称图形，如果把一个轴对称图形沿着对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称．
析规律 轴对称的特点 图形的轴对称和平移一样，都是图形位置的变换，共同的特点是变化后图形的大小、形状都没有改变，不同点是变换的方式不同，所以性质也不尽相同，判断的方法关键看变换方式．
【例2】 如图所示，下列每组中两个图形成轴对称的是( )．
解析：图A、B、C沿某一条直线折叠，左右两个图形不能重合，所以它们不构成轴对称．如图，D沿右图所画直线折叠，左右两个图形能够重合，所以成轴对称．
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答案：D
3．线段的垂直平分线
(1)概念：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
(2)性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
(3)判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
(4)线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的所有点的集合．这是线段垂直平分线的集合定义．
谈重点 线段垂直平分线及性质与判定的理解和应用 ①线段的垂直平分线必须同时具备两个条件：过线段的中点和垂直于这条线段．
②线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段其中的一条对称轴．
③线段垂直平分线的性质是证明线段相等的一种方法，运用过程中可以省去证明三角形全等，使得过程更简便．
【例3】 已知线段AB，直线CD是AB的垂线，垂足为O，且OA＝OB，若点M在直线CD上，则MA＝__________；若NA＝NB，则点N在__________．
解析：本题是线段垂直平分线性质和判定的最基本的应用，根据CD⊥AB，又经过线段AB的中点O，所以CD为线段AB的垂直平分线，所以有MA＝MB，因为NA＝NB，由线段垂直平分线的判定定理可知点N在直线CD上，即线段AB的垂直平分线上．
答案：MB 线段AB的垂直平分线CD上
4．线段垂直平分线的画法
(1)折叠法：将线段两端点对齐，沿线段折叠重合，折痕就是线段的垂直平分线．
(2)尺规作图法：如图，①分别以A、B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧相交于C、D两点；②作直线CD；CD即为所求作的直线．
【例4】 如图，在某条公路的同旁有两座城市A、B，为了方便市民就医治疗，政府决定在公路边建一所医院，这所医院建在什么位置，能使两座城市到这个医院的路程一样长？
分析：两座城市A、B到这个医院的路程一样长，说明这所医院要建在AB的垂直平分线上，又要在公路边，所以应是AB垂直平分线与公路的交点处．
解：如图所示，(1)连接AB，分别以A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧相交于C，D两点；
(2)作直线CD，交公路所在直线于P，则点P即为所建医院的位置．
5．轴对称(轴对称图形)的性质
(1)关于某条直线轴对称的两个图形全等，对应线段、对应角相等，只要是对应的部分就全等．
(2)对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
(3)对应线段所在的直线的交点在对称轴上．
谈重点 成轴对称的两个图形的性质特征 (1)成轴对称的两个图形沿对称轴折叠能够相互重合，所以它们一定是全等的，但全等的两个图形不一定是轴对称图形．
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(2)成轴对称的两个图形能够重合，所以它们的周长、面积也相等，正如全等的两个三角形对应边上的高、中线也相等一样．
【例5】如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，下列结论中：①△ABC≌△A′B′C′；②∠BAC′＝∠B′AC；③l垂直平分CC′；④直线BC和B′C′的交点不一定在l上．正确的有( )．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解析：①由轴对称性质可知，关于某条直线对称的两图形重合，所以△ABC≌△A′B′C′；②由轴对称性质可知对应角∠BAC＝∠B′A′C′，等号两边同时都加上∠CAC′，可得∠BAC′＝∠B′AC；③点C与点C′为对称点．对称轴垂直平分对称点连线，所以也正确；④BC和B′C′为对应线段，由性质可知，所在直线的交点一定在对称轴上．由以上分析可知①②③都正确，只有④错误，所以选B.
答案：B
6．轴对称(轴对称图形)对称轴的画法
如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．
同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．
(1)两个图形成轴对称或轴对称图形的对称轴是对应点连线的垂直平分线，这是画图形的对称轴的依据.
(2)作已知图形的对称轴的步骤：找特殊对称点→作对称的两点的垂直平分线.
【例6】 如图，试作出下列图形中的一条对称轴．
分析：作图的关键在于找到对称点，等边三角形ABC中B、C是一对对称点，所以作BC的垂直平分线即可得到△ABC的一条对称轴；同样在正五边形ABCDE中，B与E、C与D是对称点，所以作BE或CD的对称点都能得到正五边形ABCDE的对称轴．
解：如图．
7．线段垂直平分线性质的应用
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，在这个性质中，它的条件是“一条直线垂直平分一条线段”，结论是“这条直线上的任意一点到线段两端点的距离相等”，它是证明线段相等常用的一种方法．
析规律 利用线段垂直平分线的性质证明线段相等 用线段垂直平分线性质解决问题，一般需要连接直线上某一点与线段两端点的线段(常用的添加辅助线的方法)，从而由性质可以直接得到相等的两条线段，因为它省去了证明三角形全等，所以较为简便，它通常和三角形周长，等腰三角形知识相结合运用．
8．线段垂直平分线判定的应用
与一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，它的题设是“一个点到一条线段的两个端点的距离相等”，结论是“这个点在这条线段的垂直平分线上”
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，这与线段垂直平分线性质的题设和结论正好相反；线段垂直平分线的判定是为数不多的证明点在线上的定理，很多时候用在作图中，用来确定到两固定点距离相等的点．
破疑点 判定线段垂直平分线的方法 判断一条直线是线段的垂直平分线时，必须证明该直线上有两个点到线段两端点的距离相等，因为只有两点才能确定一条直线．
【例7】 如图1，△ABC中，EF垂直平分AB，GH垂直平分AC，设EF与GH相交于O，则点O与边BC的关系如何？请用一句话表示：________________________________.
图1 图2
解析：如图2，连接OA、OB、OC，
因为EF垂直平分AB，所以OA＝OB.
因为GH垂直平分AC，所以OA＝OC.
所以OB＝OC，即点O到边BC两端点的距离相等．
答案：点O到边BC两端点的距离相等(答案不唯一，也可以说成点O在BC的垂直平分线上)
【例8】 (综合应用题)如图，AD为△ABC的角平分线，AE＝AF，请判断AD是否是EF的垂直平分线？如果不是请说明理由，如果是，请给予证明．
解：AD是EF的垂直平分线．
证明：因为AD平分∠BAC，
所以∠BAD＝∠CAD.
在△AED和△AFD中，
所以△AED≌△AFD.
所以DE＝DF，所以D在EF的垂直平分线上．
同样AE＝AF，A也在EF的垂直平分线上．
所以AD是EF的垂直平分线．
9．生活中的镜面对称
生活中的倒影，镜子中的影像是日常生活中最常见的轴对称，它们都具备轴对称的特点，如果沿某一条直线折叠一样能够重合．因而实物和图形大小形状也完全一样．只要注意观察，会有很多有趣的现象和规律．
解技巧 镜面问题的解决方法
①镜面对称问题可以看作是沿镜子的左右边沿轴对称，镜子的边沿所在的直线就是对称轴，判断标准是沿镜子左或右边沿折叠就会重合，如果是在透明纸上的图案，从反面看到的影像，就是原来的图案；②对于倒影问题，水面所在的直线是对称轴，沿这条直线折叠观察，就可得到原来图案．
【例9－1】 小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如下图所示，则实际时间是( )．
A．21：10 B．10：21
C．10：51 D．12：01
解析：
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镜面中的影像问题是以镜面的左边沿或右边沿所在的直线为对称轴的轴对称，假定最左侧或右侧有一条直线为对称轴，沿此直线折叠都会得到10：51，或将此图案从反面观察，也可得到10：51.
答案：C
【例9－2】 一个汽车车牌在水中的倒影为，则该车的牌照号码是__________．
解析：只需将倒影沿图案上沿或下沿某一条直线翻折，即可得到该车牌的号码为W5236499.同样在纸上也可以从反面，倒看也能得到它的轴对称图形W5236499.
答案：W5236499.
10.折叠问题中的轴对称
折叠问题是近几年中考的热点，它主要分为两类：
(1)一类是图形的折叠问题，一般是将矩形、正方形、三角形沿某条线段所在的直线折叠，求角的度数．这类问题，条件隐蔽，要仔细观察图形，善于运用隐含条件解决问题．
(2)另一类是折纸问题，大多是将一个正方形纸片，经过几次轴对称折叠，挖取其中的一小部分，观察展开后的图形，观察得到的是哪种图案．解决方法一般是将所给图案按逆顺序复原，看是否能得到折叠后的图案，另一种方法是折叠、观察、想象，最好的办法是动手按题目要求折叠、裁剪、展开观察．
析规律 利用轴对称性质解决折叠问题 解决这类问题的关键是，折叠前后重合的部分全等，即折叠前和折叠后盖上的部分重合，所以对应角、对应线段相等．
【例10－1】 如图，把一个长方形沿EF折叠后，点D、C分别落在D1、C1的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED1＝__________度．
解析：因为AD∥BC，
所以∠DEF＝∠EFB＝65°.
又因为折叠前后重合的部分全等，
所以∠AED1＝∠DEF＝65°.
所以∠DED1＝130°.
所以∠AED1＝180°－∠DED1＝50°.
答案：50
【例10－2】 如下图所示，把一个正方形纸片对折两次后沿虚线剪下，展开后所得的图形是( )．
解析：解题关键是明确两条折痕都是对称轴，故本题可借助空间想象，将两次对折后的图形沿两条折痕展开，易知展开后的图形应是B.注意折叠方向和剪去的角度．
答案：B
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