＄14.3因式分解（十字相乘法）导学案
备课时间
201（ 3 ）年（ 9 ）月（ 18 ）日 星期（ 三 ）
学习时间
201（ ）年（ ）月（ ）日 星期（ ）
学习目标
1.理解二次三项式的意义；
2.理解十字相乘法的根据；
3.能用十字相乘法分解二次三项式；
4.，难点是．
学习重点
掌握十字相乘法
学习难点
首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法
学具使用
多媒体课件、小黑板、彩粉笔、三角板等
学习内容
学习活动
设计意图
一、创设情境独立思考（课前20分钟）
1、阅读课本P 121～ 页，思考下列问题：
（1）你能理解吗？
（2）课本P121页最下面4道题你能独立解答吗？
2、独立思考后我还有以下疑惑：
二、答疑解惑我最棒（约8分钟）
甲：
乙：
丙：
丁：
同伴互助答疑解惑
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学习活动
设计意图
三、合作学习探索新知（约15分钟）
1、小组合作分析问题
2、小组合作答疑解惑
3、师生合作解决问题
【1】二次三项式
◆多项式，称为字母x的二次三项式，其中称为二次项，bx为一次项，c为常数项．
例如，和都是关于x的二次三项式．
◆在多项式中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；如果把x看作常数，就是关于y的二次三项式．
◆在多项式中，把ab看作一个整体，即，就是关于ab的二次三项式．
◆多项式，把x＋y看作一个整体，就是关于x＋y的二次三项式．
十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．
【2】十字相乘法的依据和具体内容
利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax＋b)(cx＋d)竖式乘法法则．它的一般规律是：
（1）对于二次项系数为1的二次三项式，如果能把常数项q分解成两个因数a，b的积，并且a＋b为一
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学习活动
设计意图
项系数p，那么它就可以运用公式
分解因式．
◆这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x
可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．
（2）对于二次项系数不是1的二次三项式(a，b，c都是整数且a≠0)来说，如果存在四个整数，使，，且，那么
◆它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．
◆学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．
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学习活动
设计意图
用十字相乘
◆用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：
【3】因式分解一般要遵循的步骤
◆
多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．
四、归纳总结巩固新知（约15分钟）
1、知识点的归纳总结：
2、运用新知解决问题：（重点例习题的强化训练）
例1 把下列各式分解因式：
（1）；（2）．
点悟：
（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；
（2）将y看作常数，转化为关于x的二次三项式，常数项可分为(－2y)(－3y)，而(－2y)＋(－3y)＝(－5y)恰为一次项系数．
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学习活动
设计意图
解：（1）；
（2）．
例2 把下列各式分解因式：
（1）；（2）．
点悟：我们要把多项式分解成形如的形式，这里，而．
解：（1）；
（2）．
点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．
例3 把下列各式分解因式：
（1）；
（2）；
（3）．
点悟：（1）把看作一整体，从而转化为关于的二次三项式；
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学习活动
设计意图
（2）提取公因式(x＋y)后，原式可转化为关于(x＋y)的二次三项式；
（3）以为整体，化为关于的二次三项式．
解：（1）
＝(x＋1)(x－1)(x＋3)(x－3)．
（2）
＝(x＋y)[(x＋y)－1][7(x＋y)＋2]
＝(x＋y)(x＋y－1)(7x＋7y＋2)．
（3）
点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．
五、课堂小测（约5分钟）
六、独立作业我能行
1、独立完成＄第十四章整式的乘法与因式分解小结与复习工具单
2、独立作业
七、课后反思：
1、学习目标完成情况反思：
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学习活动
设计意图
2、掌握重点突破难点情况反思：
3、错题记录及原因分析：
自我评价
课上
1、本节课我对自己最满意的一件事是：
2、本节课我对自己最不满意的一件事是：
作业
独立完成（ ） 求助后独立完成（ ）
未及时完成（ ） 未完成（ ）
五、课堂小测（约5分钟）
◆将多项式分解因式
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥
五、独立作业（约20分钟）
一、选择题
1.如果，那么p等于 ( )
A．ab B．a＋b C．－ab D．－(a＋b)
2.如果，则b为 ( )
A．5 B．－6 C．－5 D．6
3.多项式可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为( )
A．10和－2 B．－10和2 C．10和2 D．－10和－2
4.不能用十字相乘法分解的是 ( )
A. B．
C． D．
5．分解结果等于(x＋y－4)(2x＋2y－5)的多项式是( )
A． B．
C． D．
二、填空题
6.__________．
7.(m＋a)(m＋b)．a＝__________，b＝__________．
8.(x－3)(__________)．
9.____(x－y)(__________)．
10.．
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