9 有理数的乘方
1.乘方的意义
(1)乘方的定义
求n个相同因数a的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂.如图,a叫做底数,n叫做指数,an读作:a的n次幂(a的n次方).
乘方是一种特殊的乘法运算(因数相同),幂是乘方运算的结果;乘方的底数是相同因数,指数是相同因数的个数.
(2)乘方的意义
an表示n个a相乘.
即an=.
如:(-2)3=(-2)×(-2)×(-2)表示3个(-2)相乘.
释疑点 (-a)n与-an的区别
①(-a)n表示n个-a相乘,底数是-a,指数是n,读作:-a的n次方;②-an表示n个a乘积的相反数,底数是a,指数是n,读作:a的n次方的相反数.
如:(-3)3底数是-3,指数是3,读作负3的3次方,表示3个(-3)相乘.(-3)3=(-3)×(-3)×(-3)=-27.
-33底数是3,指数是3,读作3的3次方的相反数.-33=-(3×3×3)=-27.
(3)乘方的书写
①一个数可以看成这个数本身的一次方.如5就是51,通常指数1省略不写.
②负数或分数做底数时,应用括号把负数或分数括起来,再在其右上角写指数,指数应写小一点.如(-1)2不能写成-12,2不能写成2.
【例1】 填空:(1)式子(-1.2)10表示__________,其中底数是__________,指数是__________.
(2)写成乘方的形式是__________,读作__________.
解析:(1)乘方表示几个相同因数的积,相同的因数是底数,指数即相同因数的个数;(2)把n个相同因数的积写成乘方的形式,相同因数写成底数,本题中是底数,相同因数的个数2 013写成指数.
答案:(1)10个-1.2相乘 -1.2 10
(2)2 013 负的2 013次幂
2.乘方运算的符号法则
乘方运算的符号法则
乘方运算就是根据乘方的意义把它转化为乘法进行计算.如:33=3×3×3=27.
①正数的任何次幂都是正数;
②负数的奇次幂是负数;
③负数的偶次幂是正数;
④0的奇次幂、偶次幂都是0.
任何一个有理数的偶次幂都是非负数,即a2n≥0(n为正整数);若用n表示正整数,则2n表示偶数,而用(2n+1)表示奇数,则(-1)2n=1,(-1)2n+1=-1.
【例2】 下列说法不正确的是( ).
A.(-2)2 013是负数
B.-4200是正数
C.0的任何次幂(指数不为0)都等于它本身
D.-1的38次幂等于它的相反数
解析:-4200表示4的200次方的相反数,是负数,故B错误.
答案:B
3.有理数乘方的运算
乘方运算的方法如下:
与有理数的加、减、乘、除四种运算一样,有理数的乘方也是一种运算,其运算的方法是:
①确定幂的符号;
②进行乘法的运算.
析规律 对于乘方的理解
①乘方是一种运算,是特殊的乘法(因数相同的乘法运算),幂是乘方运算的结果.
②因为an表示n个a相乘,所以可以利用有理数的乘法进行乘方运算,即将乘方转化成乘法运算.
4.绝对值与乘方非负性的综合运用
(1)平方、立方及平方的非负性
在an中,若n=2,则为a2,读作a的2次幂,也读作a的平方;当n=3时,a3可读作a的3次方,也可读作a的立方.平方、立方是乘方中最常见的.
①根据乘方与乘法的关系可知:正数的平方是正数,负数的平方也是正数,0的平方等于0.也就是任何一个有理数的平方都是非负数.
②平方等于它本身的数:0,1;立方等于它本身的数:0,1,-1.
(2)绝对值的非负性
任何一个数的绝对值都是非负数,即|a|≥0.
(3)非负数的性质
性质:若几个非负数的和等于0,则这几个非负数都等于0.
比如:若|a|+b2=0,则a=0,且b=0.
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【例3】 计算:
(1)(-2)4;(2)-34;(3)3;
(4)2;(5)-;(6)(-1)2 014.
分析:根据乘方的意义和符号法则求解.(1)(-2)4表示4个(-2)相乘;(2)-34表示34的相反数;(3)3表示3个相乘;(4)2表示2个相乘;(5)-表示4除以7的2次方的相反数;(6)(-1)2 014表示2 014个(-1)相乘.
解:(1)(-2)4=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16;
(2)-34=-(3×3×3×3)=-81;
(3)3=××=;
(4)2=×=;
(5)-=-=-;
(6)(-1)2 014==1.
【例4-1】 下列说法正确的有( ).
①负数的平方是负数;②正数的平方是正数;③平方是它本身的数是0和1;④1的立方等于它本身;⑤-1的平方等于它的倒数;⑥任何一个有理数的平方都是非负数.
A.3个 B.4个 C.5个 D.2个
解析:
①
×
乘方是特殊的乘法运算,两数相乘,同号得正,异号得负,故①,②都为正数
②
√
③
√
0的平方等于0,1的平方等于1
④
√
1的立方是1
⑤
×
-1的平方是1,-1的倒数是-1,所以不相等
⑥
√
0的平方是0,正数和负数的平方都是正数
答案:B
【例4-2】 若x,y为有理数,且(5-x)4+|y+5|=0,则2 013的值为( ).
A.1 B.-1 C.2 D.-2
解析:因为(5-x)4和|y+5|都是非负数,且(5-x)4+|y+5|=0,所以由非负数的性质得(5-x)4=0,|y+5|=0,即5-x=0,y+5=0.解得x=5,y=-5.
所以2 013=2 013=(-1)2 013=-1.故选B.
答案:B
5.有理数乘方规律探究及应用
(1)有理数乘方规律探究
①观察给出的一组数字或式子,分析所包含的乘方运算,结合连续偶数、连续奇数等知识,探究其中的规律.
②根据其规律,按要求进行计算或解答.
(2)乘方的应用
生活中乘方的应用主要是裂变和对折.
①裂变:将某一物体一分二、二分四、四分八、八分十六……像这样以倍增的速度发生变化就是裂变.
裂变规律:裂变一次即原来的数量乘21,裂变两次乘22,裂变三次乘23,…,裂变n次乘2n.
②对折:一张纸对折,对折次数与纸的层数、折痕数、单层纸占整张纸的面积比例之间有一定的关系,具体情况如下表:
次数
1
2
3
…
n
层数
2
4
8
…
2n
折痕数
1
3
7
…
2n-1
单面占
的比例
…
【例5-1】 我们常用的数是十进制数,计算机程序使用的是二进制数(只有数码0和1),它们两者之间可以互相换算,如将(101)2,(1011)2换算成十进制数应为:
(101)2=1×22+0×21+1×20=4+0+1=5;
(1011)2=1×23+0×22+1×21+1×20=11.
按此方式,将二进制(1001)2换算成十进制数的结果是__________.(说明:20=1)
解析:从例子中可以看出,把二进制数转换成十进制数要通过乘方运算.二进制数的进率是2,右边第一位数字0或1就是十进制中的0或1,右边第二数位代表21,右边第三位代表22,右边第四位代表23,依此类推,相加即可转化为十进制数.所以(1001)2=1×23
+0×22+0×21+1×20=8+0+0+1=9.
答案:9
【例5-2】 面积是128平方分米的一张纸片,第一次剪去一半,第二次剪去剩下的一半,第三次再将剩下的一半剪去,…,如此下去,剪完第6次后剩下的面积还有多少平方分米?
分析:
剪的次数
剪后剩下部分的面积
第一次
平方分米
第二次
平方分米
第三次
平方分米
…
…
第六次
平方分米
解:128×6=128×=2(平方分米).
答:剪完第6次后剩下的面积还有2平方分米.