11.2 与三角形有关的角
1．三角形内角和定理
(1)定理：三角形三个内角的和等于180°.
(2)证明方法：证法多样，主要是运用平行线知识把三个角转移成一个平角，从而得到内角和是180°.如图所示，过C作CM∥AB，将求∠A＋∠B＋∠ACB转化为求∠1＋∠2＋∠ACB，或过A点作DE∥BC，把求∠BAC＋∠B＋∠C转化为求∠BAC＋∠DAB＋∠EAC.
(3)理解与延伸：
因为三角形内角和为180°，所以延伸出三角形中很多的角的特定关系如：①一个三角形中最多只有一个钝角或直角；②一个三角形中最少有一个角不小于60°；③直角三角形两锐角互余；④等边三角形每个角都是60°等．
(4)作用：已知两角求第三角或已知三角关系求角的度数．
谈重点 三角形内角和定理的理解 三角形内角和定理是最重要的定理之一，是求角的度数问题中最基础的定理，应用非常广泛．
【例1】 填空：
(1)在△ABC中，若∠A＝80°，∠C＝20°，则∠B＝__________°；
(2)若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝__________°；
(3)已知△ABC的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠B＝__________°，∠C＝__________°.
解析：(1)三角形内角和为180°，已知两角求第三角；
(2)可设∠C＝x°，那么x＋x＋80＝180，求出x＝50.所以∠C＝50°；
(3)设每一份为x，得2x＋3x＋5x＝180，求得x＝18，所以∠B＝54°，∠C＝90°.
答案：(1)80 (2)50 (3)54 90
2．直角三角形的性质与判定
(1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．
如图所示，在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，那么∠A＋∠B＝90°.
【例2－1】 将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是( )．
A．43° B．47° C．30° D．60°
解析：如图所示，由平行线的性质可知，∠CEF＝∠α＝43°，所以∠BDC＝∠CEF
＝43°，∠β＝∠DBC，在Rt△DBC中，∠DBC＋∠BDC＝90°，所以∠β＋43°＝90°，所以∠β＝90°－43°＝47°.
答案：B
(2)直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．
如图所示，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么∠C=90°，即△ABC是直角三角形．
提示：由三角形的内角和定理可知，三角形的三个内角之和为180°，如果有两个角的和为90°，那么第三个角自然是直角．由直角三角形定义可知，该三角形为直角三角形．
【例2－2】 如图所示，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，求证：△EPF是直角三角形．
证明：∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°.
∵EP，FP分别平分∠BEF，∠DFE，
∴∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE，
∴∠PEF＋∠PFE＝(∠BEF＋∠DFE)＝×180°＝90°，∴△EPF是直角三角形．
3．三角形的外角
(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图，∠ACD就是△ABC其中的一个外角．
(2)特点：①三角形的一个外角和与它同顶点的内角互为邻补角，这是内、外角联系的纽带．
②一个三角形有6个外角，其中两两互为对顶角，如图所示．
破疑点 三角形外角的理解 外角是相对于内角而言的，也是三角形中重要的角，一个角对一个三角形来说是外角，而对于另一个三角形来说可能是内角；三角形的角是指的三角形的内角，这点要注意．
【例3】 在△ABC中，∠A等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于∠B的两倍，那么∠A＝__________，∠B＝__________，∠C＝__________.
解析：∠A和与它相邻的外角互为邻补角，∠A又等于和它相邻的外角的四分之一，所以∠A＝36°，∠A的外角为144°，所以∠B＝72°，根据三角形内角和为180°，可以求得∠C＝72°.
答案：36° 72° 72°
4.三角形外角性质
(1)性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．如图所示：∠1＝∠B＋∠C(或∠B＝∠1－∠C，∠C＝∠1－∠B)．
注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每个顶点处取一个外角，是一半数目外角的和.
(2)作用：①求角的度数，在外角、不相邻的两内角中知道两角能求第三角，也能求出相邻内角的度数；
②证明角相等，一般是把外角作为中间关系式证明角相等．
析规律 三角形外角的性质的理解 ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和，是由三角形内角和是180°和邻补角关系推导出来的，是它们应用的延伸，所以用这个性质能得出的结论，用三角形内角和也能推出，但走了弯路．②因为三角形外角是通过图表现出来的，具有隐蔽性，所以应用时要注意观察图形．
【例4】 如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2＝__________.
解析：由三角形外角性质定理可知，∠1＝90°＋∠AED，∠2＝90°＋∠ADE，所以∠1＋∠2＝90°＋∠AED＋90°＋∠ADE.
因为90°＋∠AED＋∠ADE＝180°，
所以∠1＋∠2＝180°＋90°＝270°.
答案：270°
5．三角形外角和
(1)定义(规定)：如图所示，在每一个顶点上取一个外角，如∠1，∠2，∠3，它们的和叫做三角形的外角和．
(2)三角形外角和定理：三角形的外角和等于360°.
注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每个顶点处取一个外角，是一半数目外角的和．
【例5】 如图所示．用两种方法说明∠1＋∠2＋∠3＝360°.
分析：方法一：根据同顶点的外角与内角互为邻补角和三角形内角和定理证明；
方法二：根据一个外角等于和它不相邻的两个内角的和及三角形内角和定理证明．
解：方法一：因为∠1＋∠BAC＝180°，∠2＋∠ABC＝180°，∠3＋∠ACB＝180°，
所以∠1＋∠BAC＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠ACB＝540°.
又∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
所以∠1＋∠2＋∠3＋180°＝540°.
所以∠1＋∠2＋∠3＝360°.
方法二：因为∠1＝∠ABC＋∠ACB，∠2＝∠BAC＋∠ACB，∠3＝∠ABC＋∠BAC，
所以∠1＋∠2＋∠3＝∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＋∠ACB＋∠ABC＋∠BAC＝2(∠ABC＋∠ACB＋∠BAC)＝2×180°＝360°.
点评：同一顶点上的内、外角互为邻补角是内、外角关系转换的最基础的依据．
6.三角形内角和定理应用
三角形内角和定理是三角形中最重要的定理之一，是三角形中关于角度计算的基础，也是其他多边形求角度数问题必备的基础知识，目前它的应用方式主要表现在以下几个方面：
(1)已知两角求第三角
这是内角和定理最简单、直接的应用，一般是直接或间接给出三个内角中的两角，求第三角，比较简单，直接用180°减去两角度数得出，往往与考查角的单位换算相联系．
(2)已知三角的比例关系求各角
这类题目一般给出三个角的比例关系，通过设未知数列方程的方法求解，一般是设每一份为x度，用含未知数的式子分别表示出每一个角的度数，根据它们的和是180°列方程求解，然后再求出每一个角的度数．有时是通过求角的度数判断三角形的形状，但熟练后从比例关系中可以直接确定三角形的形状．
(3)已知三角之间相互关系求未知角
这类题目一般是已知各角之间的和、差、倍、分等的数量关系，通过等式变形，用一共同的角表示其他两角，然后根据内角和是180°列出等式，求出其中一角，然后再根据它们之间的数量关系分别求出另两角，有时也可以列方程(组)求角的度数．
解技巧 利用三角形内角和求三角形的内角 运用三角形内角和定理求角的度数题目形式多样，方法也不同，要根据实际灵活运用．
7．三角形外角性质的应用
外角性质应用：三角形外角性质是三角形角度计算中的重要定理，也是求角度运算中常用的定理．如图所示，∠1是△ABC的一个外角，在∠1，∠B，∠C三个角中，知道任意两个角就可以求出第三个角．
①∠1＝∠B＋∠C；
②∠B＝∠1－∠C；
③∠C＝∠1－∠B.
破疑点 利用三角形外角的性质求一个角的方法 因三角形外角的性质是由三角形内角和与邻补角定义推出的，所以用外角性质能进行的运算，用三角形内角和也能进行运算，但有外角时，应用外角性质更简便，所以要改变原来习惯用三角形内角和定理的思维定式，学会运用外角性质定理解决问题．
8．三角形内角和定理、外角性质、平行线性质综合运用
三角形内角和定理、外角性质定理都反映了角之间的数量关系，在求角度数问题中占有重要地位．同样平行线中也蕴含了大量的角之间的关系(两直线平行，内错角相等、同位角相等、同旁内角互补)，因此它们常常结合在一起，综合应用，通过角的等量转化，以求角的度数或证明角相等．
解技巧 三角形内角和、外角性质的综合运用 因为三角形的内角、外角以及形成的邻补角、对顶角等都是通过图形反映出来的，在已知中不提及，因此运用时要注意观察图形，善于发现各角之间的位置关系，进而确定它们的大小关系．
【例6－1】 在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，则∠C＝__________°.
解析：根据三角形内角和是180°，直接减去∠A，∠B的度数即可得出∠C的度数．
答案：40
【例6－2】 已知在△ABC中，∠A＝40°，∠B－∠C＝40°，则∠B＝__________，∠C＝__________.
解析：由∠B－∠C＝40°得∠B＝40°＋∠C.根据三角形内角和是180°，列出等式∠A＋∠B＋∠C＝∠A＋40°＋∠C＋∠C＝180°，把∠A＝40°代入，求得∠C＝50°，进而求得∠B＝90°.
答案：90° 50°
【例6－3】 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝5∶3∶2，那么△ABC是( )．
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形
解析：根据比例关系和三角形内角和，设每一份为x °，那么∠A＝5x°，∠B＝3x°，∠C＝2x°，所以5x＋3x＋2x＝180，解得x＝18，直接得出∠A＝90°，所以△ABC为直角三角形．熟练后大家可以根据∠A所占的比例是整个比例中的一半，直接得出∠A＝90°，所以△ABC是直角三角形．
答案：B
【例6－4】 锐角三角形的三个内角是∠A，∠B，∠C.如果∠α＝∠A＋∠B，∠β＝∠B＋∠C，∠γ＝∠C＋∠A，那么∠α，∠β，∠γ这三个角中( )．
A．没有锐角 B．有1个锐角
C．有2个锐角 D．有3个锐角
解析：因为三角形为锐角三角形，所以三角形中不存在钝角和直角．根据三角形内角和是180°可知，180°减任何一个角都大于90°，因此任意两个角的和都是钝角，因为∠α，∠β，∠γ都等于三角形两内角的和，所以它们都是钝角，只有A正确，故选A.
答案：A
【例7】 填空：(1)如图(1)，P为△ABC中BC边的延长线上一点，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠ACP＝________°.
(2)如图(2)所示，已知∠ABE＝142°，∠C＝72°，则∠A＝__________°，∠ABC
＝__________°.
(3)如图(3)，∠3＝120°，则∠1－∠2＝________°.
解析：(1)由三角形外角性质可知∠ACP＝∠A＋∠B＝50°＋70°＝120°.
(2)由三角形外角性质可知∠A＝∠ABE－∠C＝142°－72°＝70°；∠ABC与∠ABE互补，所以∠ABC＝38°.
(3)观察图形，根据三角形外角性质可知，∠1是三角形外角，∠1－∠2＝∠4，∠4与∠3互为邻补角，所以∠4＝180°－∠3＝180°－120°＝60°，即∠1－∠2＝60°.
答案：(1)120 (2)70 38 (3)60
【例8－1】 如图(1)，将一等边三角形剪去一个角后，∠1＋∠2等于( )．
A．120° B．240°
C．300° D．360°
解析：如图(2)，由三角形外角性质定理可知，∠1＝∠3＋∠5，∠2＝∠3＋∠4，所以∠1＋∠2＝∠3＋∠5＋∠3＋∠4.因为三角形为等边三角形，所以∠3＝60°，由三角形内角和定理可知∠3＋∠4＋∠5＝180°，所以∠1＋∠2＝60°＋180°＝240°，故选B.
答案：B
【例8－2】 如图，a∥b，则下列式子中值为180°的是( )．
A．∠α＋∠β－∠γ B．∠α＋∠β＋∠γ
C．∠β＋∠γ－∠α D．∠α－∠β＋∠γ
9.运用三角形内角和定理判断三角形形状
判断三角形形状是三角形问题中经常遇到的题目，而判定三角形形状方法多样，其中运用三角形内角和定理求角，进而判断三角形形状是最常用的方法．
因为三角形按角分类可以分为三类：钝角三角形、锐角三角形、直角三角形，此外根据角的度数还能判定等腰三角形、等边三角形，因此根据三角形内角和定理求出三角形某些角的度数，不仅可以按角分类判断三角形的形状，还可以按边分类判断三角形的形状，进而了解边的大小关系．
解技巧 利用三角形内角和确定三角形的形状 运用三角形内角和定理求角判断三角形形状问题比求角度问题多一步判断，但不同点是：判断形状不是求出所有角，而是根据所给三角形各内角关系，求某些关键的角，一般是最大角，然后进行判断．
解析：如图，因为a∥b，所以∠2＝∠α，∠1＝∠β－∠γ.由图可知∠1＋∠2＝180°，得∠α＋∠β－∠γ＝180°，所以A正确，故选A.
答案：A
【例9－1】 一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是( )．
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
解析：设三个内角度数分别为2k°，3k°，7k°，由三角形内角和定理，得2k＋3k＋7k＝180，解得k＝15，所以2k＝30，3k＝45,7k＝105.所以这个三角形是钝角三角形，故选D.
答案：D
【例9－2】 在△ABC中，若∠A＝2∠B＝3∠C，试判断这个三角形的形状．
分析：根据∠A＝2∠B＝3∠C，可设∠A＝x°，那么∠B＝x°，∠C＝x°，根据三角形内角和是180°列方程求出x，再求出最大角的大小，即可判断出三角形的形状．
解：设∠A＝x°，则∠B＝x°，∠C＝x°，于是有x＋x＋x＝180，解得x≈98.2，即最大角∠A≈98.2°.
所以可知△ABC是钝角三角形．
10．角平分线的夹角与三角形内角关系的探究
根据三角形的内角和，三角形外角与内角的关系及角平分线的意义，可以探究有关角平分线的夹角问题．
(1)三角形的两内角平分线的夹角与内角的关系
如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点O，求∠BOC与∠A之间的关系．
结论：三角形两内角的平分线所夹的钝角等于90°加上第三角的一半，即∠BOC＝90°＋∠A.
(2)三角形两外角的平分线的夹角与内角的关系
如图，在△ABC中，BP，CP分别是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分线，试探究∠BPC与∠A的关系．
结论：三角形的两个外角的平分线所夹的锐角等于90°减去第三个角的一半，即∠BPC＝90°－∠A.
(3)一个内角平分线与一个外角平分线的夹角与内角的关系
如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，BE是△ABC的外角∠ABD的平分线，试探究∠BEC与∠A的关系．
结论：三角形的一个内角平分线与外角平分线相交成的锐角等于第三个内角的一半，即∠BEC＝∠A.
【例10－1】 如图，已知△ABC，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点O，求∠BOC与∠A之间的关系．
分析：根据角平分线意义和三角形内角和定理，采用整体代入方法，由∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)，经过代换得，∠BOC＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－(180°－∠A)，化简得出结论．
解：因为BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，所以∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB.
因为∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)，
所以∠BOC＝180°－∠ABC－∠ACB
＝180°－(∠ABC＋∠ACB)
＝180°－(180°－∠A)＝90°＋∠A.
【例10－2】 如图，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的两条平分线，∠A＝100°，则∠BOC的度数是( )．
A．80° B．90° C．120° D．140°
解析：根据以上结论可以直接得出∠BOC＝90°＋∠A＝90°＋×100°＝140°，故选D.
答案：D
【例10－3】 如图所示，∠ABC的平分线和△ABC的外角∠ACE的平分线交于点D，∠D＝30°，∠A的度数是__________；当∠D＝__________时，∠A的度数是90°.
解析：(1)题目符合“一个内角平分线与一个外角平分线的夹角与内角的关系”，
所以∠D＝∠A，因此∠A＝2∠D＝2×30°＝60°；
(2)同样当∠A＝90°时，∠D＝∠A，所以∠D应为45°.
答案：60° 45°
11.与三角形有关的角的问题的一题多解
由于用三角形外角性质得到的结论都能用三角形内角和定理和邻补角定义推出，以及外角的多样性和求角度的方法多样性，因此这部分内容中的题目解法多样，很多题目解法都不唯一，例如：如图(1)是由平面上五个点A，B，C，D，E连接而成，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数是多少？
由于每个角的度数都不知道，所以需要将五个角转化到同一个三角形中解决，解决此问题有多种方法，①如图(2)，连接BC，根据三角形内角和定理和对顶角相等，可将∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E转化到△ABC中求解；②如图(3)，延长BD，交AC于F，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，可将∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E转化到△COF中求解；③如图(4)，也可以延长CE交AB于G，运用三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和，将∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E转化到△BOG中求解；④向两方延长DE也能构造出三角形求解．
【例11】 如图(1)所示是小亮的爸爸带回家的一种零件示意图，它要求∠BDC＝140°才合格，小明通过测量得∠A＝90°，∠B＝19°，∠C＝40°后就下结论说此零件不合格，于是爸爸让小亮解释这是为什么呢？小亮很轻松地说出了原因，你能解释吗？
分析：是否合格只要求出∠BDC的度数，等于140°合格，不等于140°就不合格．根据所给条件∠A＝90°，∠B＝19°，∠C＝40°，所以必须把∠BDC与已知角联系起来．
方法一：如图(2)，连接AD并延长，根据三角形外角性质经过转化即可得到∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C；
方法二：如图(3)，连接BC，则∠BDC＝180°－(∠1＋∠2)，而∠1＋∠2＝180°－(∠3＋∠4＋∠A)，代入求出∠BDC；
方法三：如图(4)，延长CD交AB于E，则∠BDC＝∠1＋∠B，而∠1＝∠A＋∠C，故∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C.
解：解法不唯一，以其中两种解法为例：
方法一：如图(2)，连接AD并延长，则∠1＝∠3＋∠C，∠2＝∠4＋∠B，
所以∠BDC＝∠1＋∠2＝∠3＋∠C＋∠4＋∠B＝(∠3＋∠4)＋∠B＋∠C＝90°＋19°＋40°＝149°，
所以∠BDC≠140°，故此零件不合格．
方法二：如图(4)，延长CD交AB于E，
因为∠BDC＝∠1＋∠B，又∠1＝∠A＋∠C，
所以∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C＝90°＋19°＋40°＝149°.
所以∠BDC≠140°，故此零件不合格．
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