11.3 多边形及其内角和
1．多边形及其有关概念
(1)多边形定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
多边形按组成它的线段的条数分为三角形、四边形、五边形、六边形、……由n条线段组成的多边形就叫做n边形．如图，是一个五边形，可表示为五边形ABCDE.
三角形是最简单，边数最少的多边形.
(2)多边形的边：
组成多边形的线段叫做多边形的边．
(3)多边形的内角、外角：
多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，也称为多边形的角；多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．如图，∠B，∠C，∠D，…是五边形的内角，∠1是五边形的外角．
谈重点 多边形外角的理解 多边形每一个顶点处有两个外角，并且同顶点的外角与内角互为邻补角．
(4)多边形的对角线：
①定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．如图，AC，AD就是五边形ABCDE中的两条对角线．
②拓展理解：
一个n边形从一个顶点可以引(n－3)条对角线，把n边形分成(n－2)个三角形．一个n边形一共有条对角线．
析规律 多边形的对角线条数与顶点数的关系 ①从多边形一个顶点引出的对角线能将多边形分割成不同的三角形，这就把多边形问题转化为三角形问题来研究；②所有的四边形都有2条对角线，五边形有5条对角线，也就是说一个边数一定的多边形的对角线的条数是一定的．
(5)凸多边形和凹多边形：
①在图(1)中，画出四边形ABCD
的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；
②在图(2)中，画出DC(或BC)所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧，我们称这个四边形为凹四边形，像这样的多边形称为凹多边形．
谈重点 凸多边形的认识 没有特殊说明，今后学习中所指的多边形都是凸多边形．
【例1】 填空：
(1)十边形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线．
(2)从多边形一个顶点出发画对角线将它分成了四个三角形，这个多边形是________边形．
解析：(1)一个n边形有n个顶点，n个角，2n个外角，从一个顶点能画出(n－3)条对角线，共有条对角线；
(2)一个n边形从一个顶点可以引(n－3)条对角线，把n边形分成(n－2)个三角形，所以n－2＝4，n＝6，这个多边形是六边形．
答案：(1)10 10 20 7 35
(2)六
2．正多边形
(1)定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．如等边三角形、正方形等．
(2)特点：不仅边都相等，角也都相等，两个条件必须同时具备才是正多边形．如长方形四个角都是直角，都相等，但边不等，所以不是正多边形．
析规律 正多边形外角的特征 因为边数相同的正多边形各个内角都相等，同顶点的内角与外角互为邻补角，所以边数相同的正多边形的各个外角也相等．
【例2】 下列说法正确的个数有( )．
(1)由四条线段首尾顺次相接组成的图形是四边形；
(2)各边都相等的多边形是正多边形；
(3)各角都相等的多边形一定是正多边形；
(4)正多边形的各个外角都相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：(1)不正确，一是要在同一平面内，二是不能在同一条直线上；(2)不正确，各边都相等，各角也都相等的多边形才是正多边形，这两个条件必须同时具备，如菱形虽然四边都相等，但它不是正多边形；(3)不正确，如长方形四个角都是直角，都相等，但边不一定相等，所以不是正多边形；(4)正确，因为边数相同的正多边形各个内角都相等，同顶点的内角与外角互为邻补角，所以边数相同的正多边形的各个外角也相等．故选A.
答案：A
3．多边形的内角和
(1)公式：n边形内角和等于(n－2)×180°.
(2)探究过程：如图，以五边形、六边形为例．
①从五边形的一个顶点出发，可以画2条对角线，它们将五边形分成3个三角形，五边形的内角和等于180°×3＝540°；
②从六边形的一个顶点出发，可以画3条对角线，它们将六边形分成4个三角形，六边形的内角和等于180°×4＝720°；
③从n边形的一个顶点出发，可以画(n－3)条对角线，它们将n边形分成(n－2)个三角形，n边形的内角和等于180°×(n－2)．
所以多边形内角和等于(n－2)×180°.
析规律 多边形内角和公式的推导 推导多边形内角和公式的方法很多，但都是将多边形内角和转化为三角形内角和进行推导的，这也是研究问题的一种思路方法，将多边形问题转化为三角形问题解决．
(3)应用：
①运用多边形内角和公式可以求出任何边数的多边形的内角和；
②由多边形内角和公式可知，边数相同的多边形内角和也相等，因此已知多边形内角和也能求出边数．
【例3】 选择：
(1)十边形的内角和为( )．
A．1 260° B．1 440°
C．1 620° D．1 800°
(2)一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线共有( )．
A．6条 B．7条
C．8条 D．9条
解析：(1)运用多边形内角和公式计算：
180°×(10－2)＝1 440°，故选B；
(2)一个多边形的内角和为720°，即180°×(n－2)＝720°，解得n＝6，所以该多边形是六边形，六边形有＝9条对角线，故选D.
答案：(1)B (2)D
4．多边形的外角和
(1)公式：多边形的外角和等于360°.
(2)探究过程：如图，以六边形为例．
①外角和：在每个顶点处各取一个外角，即∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，它们的和为外角和．
②因为同顶点处的一个内角和外角互为邻补角，所以六边形内、外角和等于180°×6＝1 080°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝1 080°－180°×(6－2)＝360°.
③n边形外角和＝n×180°－(n－2)×180°＝360°.
(3)拓展理解：
①多边形的外角和是一个恒值，即任何多边形的外角和都是360°，与边数无关．
②多边形的外角和与多边形所有外角的和不是一回事，多边形的外角和是每个顶点处取一个外角的和．
解技巧 多边形的内角与相邻外角的关系的运用 同顶点的每一个内角和外角互为邻补角是解决含内、外角问题的关键，是内、外角转换的纽带．
【例4】 填空：
(1)一个多边形每个外角都是60°，这个多边形是__________边形，它的内角和是__________度，外角和是__________度；
(2)多边形边数每增加一条，它的内角和会增加__________，外角和增加__________．
解析：(1)因为每个外角都是60°，所以360°÷60°＝6，所以是六边形．根据内角和公式计算出内角和是720°，外角和是恒值为360°(也可以由每个外角都是60°，得每个内角都是120°，进而得到内角和是720°)；
(2)多边形边数每增加一条，它的内角和会增加180°，但外角和不变．
答案：(1)六 720 360 (2)180° 0°
5．多边形内角和公式的应用
多边形内角和只与边数有关，因此当一个多边形的边数确定时，多边形的内角和就是一定的，所以多边形内角和公式就有两个作用：
(1)已知多边形边数(顶点数、内角个数)就可以求出多边形内角和度数，方法是直接将边数n代入公式(n－2)×180°求出．
(2)已知多边形内角和求多边形边数，只要根据多边形内角和公式列出以n为未知数的方程，解方程，求出n即可得到边数．
破疑点 多边形内角和的理解 ①用内角和除以180°得到的是n－2的值，不是边数，边数是n，这点要注意．②熟记多边形内角和公式是这部分内容应用的关键．
【例5－1】 若一个四边形的四个内角度数的比为3∶4∶5∶6，则这个四边形的四个内角的度数分别为__________．
解析：设每一份为x°，那么四个角分别为3x°，4x°，5x°，6x°.根据四边形内角和是360°，列出方程3x＋4x＋5x＋6x＝360，解得x＝20，然后求出各角；也可以用360°÷18＝20°，每一份是20°，然后求解．
答案：60°，80°，100°，120°
【例5－2】 一个多边形的内角和等于1 440°，则它的边数为__________．
解析：根据多边形内角和公式列出以n为未知数的方程(n－2)×180＝1 440，解方程得n＝10.所以这个多边形为十边形．
答案：10
【例5－3】 一个多边形的内角和不可能是( )．
A．1 800° B．540°
C．720° D．810°
解析：因为边数只能是整数，所以多边形的内角和必须是180°的整数倍，故选D.
答案：D
6.多边形外角、外角和公式的应用
多边形外角和是360°，它是一个恒值，不论多边形是几边形，它的外角和都是360°，与边数无关，所以对于普通多边形，根据多边形外角和无法判断多边形的边数，因此多边形外角很少单独考查，它一般应用于正多边形中或各角都相等时的情况，因为正多边形的每一个内角都相等，所以正多边形的每一个外角也都相等，因此只要知道正多边形中任一个外角的度数就能求出边数，或知道外角的个数也能求出每一个外角的度数，进而能求出内角度数和内角和的度数．
同顶点的外角和内角互为邻补角，所以多边形外角和内角又是相互联系的，知道内角能求外角，知道外角也能求内角，它们之间能相互转换．
破疑点 多边形外角和与外角的关系 多边形的外角和与多边形所有外角的和不是一回事，多边形的外角和是每个顶点处各取一个外角的和，是360°，而多边形所有外角的和是360°的2倍，是720°，这点要注意．
【例6－1】 如图所示，已知∠ABE＝138°，∠BCF＝98°，∠CDG＝69°，则∠DAB＝__________.
解析：方法一：根据同顶点的外角和内角互为邻补角，求出已知角的邻补角．根据四边形内角和为360°，求出∠A；方法二：根据四边形外角和为360°，求出与∠A同顶点的邻补角(A点处的外角)，再求出∠A.
答案：125°
【例6－2】 如图，在四边形ABCD中，∠1，∠2分别是∠BCD和∠BAD的邻补角，且∠B＋∠ADC＝140°，则∠1＋∠2等于( )．
A．140° B．40°
C．260° D．不能确定
解析：方法一：因为四边形内角和是360°，且∠B＋∠ADC＝140°，所以∠DAB＋∠DCB＝220°，∠1＋∠2＋∠DAB＋∠DCB＝180°×2，
所以∠1＋∠2＝360°－220°＝140°；
方法二：可求出与∠B，∠ADC同顶点的两外角和为220°，根据四边形外角和是360°，得出∠1＋∠2＝360°－220°＝140°；
方法三：连接BD，根据三角形一个外角等于和它不相邻的两内角和，求出∠1＋∠2的度数．
答案：A
7.正多边形知识的应用
正多边形是特殊的多边形，它特殊在每一个内角、外角、每一条边都相等，所以在正多边形中，只要知道一个角的度数，就能知道所有角的度数，包括每一个外角的度数．知道一边的长度，就能知道每一边的长度．因此它的应用主要包括两个方面：
(1)已知内角(或外角)能求边数、内角和；已知边数能求每一个外角(或内角)的度数及内角和，即在内角和、边数、内角度数、外角度数四个量中知道一个量就能求出其他三个量．
(2)因为正多边形每一条边都相等，所以知道周长能求边长，知道边长能求周长(因较简单所以考查较少)．
解技巧 利用方程思想求多边形的边数 正多边形中已知一个内角的度数求边数时，一是将内角根据“同顶点的内、外角互补”转化为外角，再根据外角和是360°，由360°除以一个外角的度数得到边数；二是根据内角和公式和每个角度数都相等列方程解出边数n.
【例7－1】 若八边形的每个内角都相等，则其每个内角的度数是__________．
解析：由多边形内角和定理知，八边形的内角和是1 080°，每个内角都相等，所以1 080°÷8＝135°.
答案：135°
【例7－2】 一个多边形的每一个外角都等于30°，这个多边形的边数是__________，它的内角和是__________．
解析：多边形的外角和是360°，每个外角都是30°，所以360°÷30°＝12，所以该多边形是十二边形，内角和是1 800°，本题也可根据共顶点的内、外角互补，求出内角和．
答案：12 1 800°
【例7－3】 一个多边形的每一个内角都等于144°，求这个多边形的边数．
分析：方法一：可设这个多边形的边数为n，那么内角和就是(n－2)×
180°，因为每一个内角都是144°，所以内角和为144°×n，根据“表示同一个量的两个式子相等”列方程解出；
方法二：因为每一个内角都等于144°，所以每一个外角都是36°.根据多边形外角和为360°，用360°÷36°＝10，也可以得出这个多边形为十边形．
解：设这个多边形的边数为n，则(n－2)×180°＝n×144°，
解得n＝10.
答：这个多边形的边数为10.
8．边数、顶点数、内角和、对角线条数之间关系的综合应用
在多边形问题中，当多边形的边数n一定时，不论多边形形状如何，多边形的内角和也是一定的，是(n－2)×180°，多边形对角线的条数也是一定的，是，并且从一个顶点引出的对角线的条数也是一定的，是(n－3)条，所以在多边形问题中，在这些量中，只要知道其中一个量，就可以求出所有的量．
在多边形问题的综合应用中，一般是边数、对角线的条数、内角和之间的关系应用较多，有时还与正多边形知识相结合．因知识限制，一般是给出内角和，求边数或对角线条数题目较多，如：
已知一个多边形内角和是1 080°，它有几条对角线？根据内角和公式列方程，(n－2)×180＝1 080求出边数，再根据对角线公式求出对角线条数．
【例8－1】 过n边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是( )．
A．8 B．9 C．10 D．11
解析：过多边形一个顶点的所有对角线将一个多边形分成(n－2)个三角形，所以n－2＝8，解得n＝10，即这个多边形是十边形，故选C.
答案：C
【例8－2】 多边形的每一个内角都是150°，则此多边形的一个顶点引出的对角线的条数是( )．
A．7 B．8 C．9 D．10
解析：根据每一个内角都是150°，求出这个多边形是十二边形，它的一个顶点引出的对角线的条数是n－3＝12－3＝9，故选C.
答案：C
【例8－3】 一个多边形的对角线的条数等于它的边数的4倍，求这个多边形的内角和．
分析：设边数为n，根据对角线的条数是边数的4倍，列方程求出边数，再代入多边形内角和公式求出内角和．
解：设这个多边形的边数为n，
根据题意，得＝4n，解得n＝11，
所以这个多边形的内角和为：(n－2)×180°＝(11－2)×180°＝1 620°.
9.将多边形截去一个角问题的探讨
在多边形问题中，有一类问题是将多边形截去一个角后，探讨多边形边数变化和内角和变化的问题．在这类问题中，因截法不同，会出现不同的变化，现以四边形为例加以说明．如图所示，将正方形的桌面截去一个角，那么余下的多边形的内角和度数将怎样变化？因截法有三种情况，所以内角和也就有三种情况：
(1)当是图①所示情况时，不过任何一个顶点，四边形变为五边形，边数增加1，所以内角和为540°.
(2)当是图②所示情况时，过一个顶点，四边形边数不变，所以内角和也不变，为360°.
(3)当是图③所示情况时，过两个顶点，四边形变为三角形，边数减少1，所以内角和也变为180°.
析规律 分类解决问题 对于其他多边形(三角形除外，因为三角形只有两种情况)也有这样的三种情况，并且截法相同，解法也相同．
【例9－1】 一个多边形截去一个角后，变为十六边形，则原来的多边形的边数为( )．
A．15或17 B．16或17
C．16或18 D．15或16或17
解析：因截法不同，所以有三种可能，①当不过任何一个顶点时，截完后边数会增加1，因此原来多边形应为十五边形；②当过一个顶点时，截完后边数不变，所以这种情况下原来的多边形为十六边形；③当过两个顶点时，边数比原来减少1，所以原来就是十七边形，所以原来的多边形的边数为15或16或17，故选D.
答案：D
【例9－2】 一个多边形截去一个角(截线不过顶点)之后，所形成的一个多边形的内角和是2 520°，那么原多边形的边数是( )．
A．13 B．15 C．17 D．19
解析：一个多边形截去一个角，因截线不过任何顶点，所以新得到的多边形边数比原来的多边形的边数应该增加1.因为新得到的多边形内角和是2 520°，根据多边形内角和公式列方程得(n－2)×180°＝2 520°，解得n＝16，新多边形为十六边形，所以原多边形为十五边形，故选B.
答案：B
【例9－3】 如果一个多边形的边数增加一倍，它的内角和是2 880°，那么原来的多边形的边数是( )．
A．10 B．9 C．8 D．7
解析：现在的多边形的内角和是2 880°，根据多边形内角和公式(n－2)×180°＝2 880°，求出n＝18，所以原来的多边形的边数就是18÷2＝9，因此是九边形，故选B.
答案：B
10.多边形内角和少算或多算一个角类型题目探索
因为多边形的边数只能是整数，由多边形内角和公式(n－2)×180°可知，n－2是正整数，所以多边形的内角和必定是180°的整数倍，因此：
①当所给内角和是多计算一个角的情况时，用所给内角和除以180°，因为多加的角大于0°小于180°，所以得到的余数部分就是多加角的度数，得到的整数部分加2就是边数；
②当所给内角和是少计算一个角的情况时，因为少加了角，所以得到的整数部分加2比实际的角个数少1，所以用所给内角和除以180°，整数部分加3才是边数，180°减余数部分就是少加的角的度数．
破疑点 多边形内角和与边数的关系 内角和除以180°所得到的整数并不是边数(或角的个数)n，而是n－2的值，所以得到的整数加2才是边数，这是易错点，要注意．
【例10－1】 一个多边形除了一个内角之外，其余内角之和为2 670°，求这个多边形的边数和少加的内角的大小．
分析：因为这个多边形的内角和少加了一个内角，所以内角和实际要大于2 670°，并且加上这个角后就是180°的整数倍，2 670°÷180°＝14……150°，所以n－2＝14，n＝16，因少加一个角，所以实际有16＋1＝17个角，所以边数是17条，少加的内角是180°－150°＝30°.
解：因为2 670°÷180°＝14……150°，所以n－2＝14＋1，n＝17.所以这个多边形的边数是17.少加的内角是180°－150°＝30°.
【例10－2】 若多边形所有内角与它的一个外角的和为600°，求这个多边形的边数及内角和．
分析：
由已知可知，600°是多加了一个外角后的内角和，减去多加的角就应是180°的整数倍，因此600°÷180°＝3……60°，因此n－2＝3，所以n＝5，这个多边形为五边形，边数是5，代入多边形内角和公式即可求出内角和．因为多加了一个角，并且多加的角是余数60°，也可以用600°减去余数(60°)得到内角和度数．
解：由题意，得600°÷180°＝3……60°，
所以n－2＝3，n＝5.
所以这个多边形的边数是5.
所以这个多边形的内角和为：180°×(5－2)＝540°.
答：这个多边形的边数是5，内角和是540°.
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