3 绝对值
1．相反数
(1)相反数的定义
像4和－4,3和－3,2.5和－2.5等这样只有符号不同的两个数，我们称其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0.
辨误区 相反数的理解
①相反数“只有符号不同”，即符号相反，数字相同，不能误理解为“只要符号不同”就行，例如：－1与2符号不同，但不是互为相反数．②相反数是成对出现的，不能单独存在．例如，5是－5的相反数，－5也是5的相反数．③0的相反数为0是相反数定义的重要组成部分．
【例1－1】 关于相反数下列说法正确的是( )．
A．－和0.25不互为相反数 B．－3是相反数
C．任何一个数都有相反数 D．正数与负数互为相反数
解析：
A
×
只有符号不同，互为相反数
B
×
相反数是成对出现的
C
√
正数、0、负数都有相反数
D
×
正数与负数中的数字不一定相同，不一定是互为相反数
答案：C
(2)相反数的求法
求一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“－”号，就表示这个数的相反数．
一个有理数a，它的相反数是多少呢?
有理数a的相反数是－a.这里a可以表示任意一个数，可以是正数，可以是0，可以是负数，还可以是一个式子．比如：当a＝2时，－a＝－2,2与－2是互为相反数；当a＝－1时，－a＝－(－1)，因为－1的相反数是1，所以－(－1)＝1；当a＝m＋n时，－a＝－(m＋n)，所以m＋n的相反数是－(m＋n)．
【例1－2】 填空：
(1)－8的相反数是__________；－(－2.8)的相反数是__________；__________的相反数是；100和__________是互为相反数．
(2)如果m＝－9，则－m＝__________.
解析：(1)根据相反数的定义和求法直接写出相反数即可．其中应注意－(－2.8)表示－2.8的相反数，等于2.8，所以－(－2.8)的相反数也就是2.8的相反数，应该填－2.8.(2)－m表示m的相反数，也就是求－9的相反数．
答案：(1)8 －2.8 － －100 (2)9
(3)相反数的几何意义
一对相反数在数轴上对应的点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等．
【例1－3】 如图，数轴上的点A，B，C，D，E表示的数中哪些互为相反数？
分析：
解：(方法1)由图可知A，B，C，D，E各点分别表示－4，－2.5,0.5,2.5,4.因为－4与4互为相反数，－2.5与2.5互为相反数，所以A与E，B与D表示的数互为相反数．
(方法2)由图可知，点A，B在原点的左侧，且到原点的距离分别是4个单位长度和2.5个单位长度．C，D，E在原点的右侧，且到原点的距离分别是0.5个单位长度，2.5个单位长度和4个单位长度．根据互为相反数的几何意义可得A与E，B与D表示的数互为相反数．
2．绝对值
(1)绝对值的几何定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①绝对值是一个数在数轴上的对应点离开原点的长度，如图中，点－4距离原点4个单位长度，则－4的绝对值就是4.②绝对值是一个距离．
(2)绝对值的表示方法
一个数a的绝对值记作|a|，读作a的绝对值．如，＋4的绝对值记作|＋4|，－8的绝对值记作|－8|.
(3)绝对值的代数意义
①一个正数的绝对值是它本身；
②一个负数的绝对值是它的相反数；
③0的绝对值是0.
用式子表示为：|a|＝
【例2】 下列说法正确的是( )．
A．|－5|表示－5的绝对值，等于－5
B．负数的绝对值等于它本身
C．－10距离原点10个单位长度，所以－10的绝对值是10
D．绝对值等于它本身的数有两个，是0和1
解析：
A
×
绝对值是一个距离，不能为负数
B
×
负数的绝对值等于它的相反数
C
√
一个数的绝对值是它在数轴上对应点与原点的距离
D
×
正数和0的绝对值都等于它本身
答案：C
3．绝对值的性质
(1)数轴上表示某个数的点到原点的距离越近，它的绝对值就越小，到原点的距离越远，它的绝对值就越大．
(2)任何一个有理数的绝对值一定是非负数，即|a|≥0.0是绝对值最小的有理数．
(3)互为相反数的两个数的绝对值相等．反过来，若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数．
(4)任何一个有理数都有唯一的绝对值．但绝对值为某一正数的数有两个，它们互为相反数．例如，如果|a|＝2，那么a＝±2.
(5)任何一个数的绝对值都大于或等于它本身，即|a|≥a.
【例3】 下列说法：
①若|x|＝2 013，则x＝2 013；②＝；③绝对值最小的有理数是1；④0没有绝对值；⑤一个有理数的绝对值一定是非负数．正确的个数为( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：绝对值是2 013的数是±2 013；＝，＝；绝对值最小的有理数是0；0的绝对值是0；正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它的相反数，也是正数，0的绝对值是0.所以⑤正确．
答案：A
4．多重符号的化简
化简规律：化简一个含有多重括号的非零有理数，结果与这个有理数前面的负号的个数有关．
①当“－”号的个数是奇数时，结果为负；
②当“－”号的个数是偶数时，结果为正．
由于正号可以省略，所以化简符号时，主要看这个数前面“－”号的个数．
【例4】 化简下列各数的符号：
(1)－{－[＋(－10)]}；(2)－[－(＋5)]．
分析：
题号
负号的个数
答案
(1)
3
－10
(2)
2
5
解：(1)－{－[＋(－10)]}＝－10；
(2)－[－(＋5)]＝5.
点评：化简一个含有多重括号的非零有理数，可以逐步地由内向外层层化简，也可以根据“奇负偶正”的规律进行化简．
5.绝对值的求法
绝对值的求法有两种方式：一是给出数字，直接按要求求这个数的绝对值；二是给出含有绝对值符号的式子，求式子的值．
求绝对值的方法：
(1)先判断这个数是正数、负数，还是0.
(2)根据绝对值的代数意义确定它的绝对值是它本身，还是它的相反数，从而求得它的绝对值．
绝对值的代数意义：
①一个正数的绝对值是它本身；
②一个负数的绝对值是它的相反数；
③0的绝对值是0.
弄清绝对值与相反数符号的意义及相反数和绝对值的求法，是求含有绝对值符号式子的关键．
【例5－1】 求下列各数的绝对值：＋11，－3.4,0，－.
分析：可根据绝对值的意义，即根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”进行求解．
解：|＋11|＝11，|－3.4|＝3.4，|0|＝0，＝.
【例5－2】 求下列各式的值：
|＋2 013|，|－3.9|，－，－|＋18|.
分析：
|＋2 013|
求＋2 013的绝对值
|－3.9|
求－3.9的绝对值
－
求－的绝对值的相反数
－|＋18|
求＋18的绝对值的相反数
解：|＋2 013|＝2 013，|－3.9|＝3.9，
－＝－，－|＋18|＝－18.
6.利用绝对值比较大小
(1)利用绝对值比较两个负数的大小
两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
比较的具体步骤：
①先求两个负数的绝对值；
②比较绝对值的大小；
③根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出判断．
(2)几个有理数的大小比较
①同号两数，可以根据它们的绝对值来比较：a.两个正数，绝对值大的数较大；b.两个负数，绝对值大的反而小．
②多个有理数的大小比较，需要先将它们按照正数、0、负数分类比较，然后利用各数的绝对值或借助于数轴来进一步比较．
【例6－1】 比较下列每组数的大小：
(1)－3和－2.9；(2)－和－0.6.
分析：可先求出它们的绝对值，再根据“两个负数，绝对值大的反而小”比较大小．
解：(1)因为|－3|＝3，|－2.9|＝2.9,3＞2.9，
所以－3＜－2.9；
(2)因为＝，|－0.6|＝0.6，＞0.6，
所以－＜－0.6.
【例6－2】 求下列各数的绝对值，并用“>”将各数排列起来：－，＋1,0，－2.3.
分析：根据绝对值的意义来求各数的绝对值；根据“正数大于0”“0大于负数”“两个负数，绝对值大的反而小”来比较它们的大小．
解：因为＝，|＋1|＝1，|0|＝0，|－2.3|＝2.3，所以＋1＞0＞－＞－2.3.
7．绝对值的非负性的应用
绝对值的非负性
(1)绝对值具有非负性，即对于任意有理数，都有|a|≥0.绝对值的最小值为0.
(2)若几个数的绝对值相加和为0，则这几个数的值都为0.
用式子表示为：
若|a|＋|b|＋|c|＝0，则a＝0，且b＝0，且c＝0.
可以利用上面的知识求字母的值．
【例7－1】 当m＝__________时，5＋|m－1|有最小值，最小值是__________．
解析：根据“任意一个有理数的绝对值都是非负数”来解答．
因为|m－1|≥0，所以当m＝1时，|m－1|有最小值为0，则5＋|m－1|的最小值是5＋0＝5.
答案：1 5
【例7－2】 已知|a－2|＋|7－b|＋|c－3|＝0，求a，b，c的值．
分析：当3个绝对值相加等于0时，说明每个绝对值都等于0.
解：因为|a－2|≥0，|7－b|≥0，|c－3|≥0，且|a－2|＋|7－b|＋|c－3|＝0，所以|a－2|＝0，|7－b|＝0，|c－3|＝0，
所以a＝2，b＝7，c＝3.
8.相反数与数轴的综合应用
比较一组数的大小时，若需要比较相反数的大小，可按以下方法进行：
(1)表示数：根据相反数的几何意义，将各数或字母的相反数在数轴上表示出来；
(2)排顺序：按照数轴上“右边的数总是大于左边的数”，排列这组数的大小关系．
【例8】 如图，若A是有理数a在数轴上对应的点，则关于a，－a,1的大小关系表示正确的是( )．
A．a＜1＜－a B．a＜－a＜1
C．1＜－a＜a D．－a＜a＜1
解析：观察数轴可知，a＜0，且|a|＞1.因为－a是a的相反数，所以－a＞0，且－a＞1.先在数轴上标出有理数a的相反数－a的对应点，再排列大小可以得到a，－a,1的大小关系是a＜1＜－a，故选A.
答案：A
9.利用绝对值解决实际问题
绝对值的产生来源于实际问题的需要，反过来又可以运用它解决一些实际问题，主要有以下两类：
(1)判断物体或产品质量的好坏
可以用绝对值判断物体或产品偏离标准的程度，绝对值越小，越接近标准，质量就越好．
方法：
①求每个数的绝对值；
②比较所求绝对值的大小；
③根据“绝对值越小，越接近标准”作出判断．
(2)利用绝对值求距离
路程问题中，当出现用“＋”、“－”号表示的带方向的路程，求最后的总路程时，实际上就是求绝对值的和．
方法：
①求每个数的绝对值；
②求所有数的绝对值的和；
③写出答案．
【例9－1】 如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是( )．
解析：因为|－0.8|＜|＋0.9|＜|＋2.5|＜|－3.6|，所以从轻重的角度看，最接近标准的是C.
答案：C
【例9－2】 一天上午，出租车司机小王在东西走向的路上运营，如果规定向东为正，向西为负，出租车的行车里程如下(单位：千米)：＋15，－3，＋12，－11，－13，＋3，－12，－18，请问小王将最后一位乘客送到目的地时，共行驶了多少千米？
分析：本题是绝对值意义在实际问题中的具体应用，有理数中的“＋”号和“－”号在本题中表示的是方向，而它们的绝对值是小王在运营中所行驶的路程，因此求总共行驶的路程应是每次行车里程绝对值之和．
解：|＋15|＋|－3|＋|＋12|＋|－11|＋|－13|＋|＋3|＋|－12|＋|－18|＝15＋3＋12＋11＋13＋3＋12＋18＝87(千米)．
答：小王将最后一位乘客送到目的地时，共行驶了87千米．
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