7 有理数的乘法
1．有理数的乘法法则
(1)乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍为0.
①两个有理数相乘，积的符号是由两个因数的符号确定：同号(＋，＋或－，－)得正，异号(＋，－或－，＋)得负；②0与任何数相乘，积都是0；③1乘任何数得原数，－1乘任何数得原数的相反数．
(2)两个有理数相乘的步骤
①先确定积的符号；
②再求出积的绝对值．
(3)多个有理数的乘法
①几个不等于0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．
②几个有理数相乘，有一个因数为0，结果就是0；反之，若几个数的积为0，则至少有一个因数为0.
释疑点 有理数相乘的方法
①几个有理数相乘，先确定积的符号，再把绝对值相乘；②当几个因数中有一个为0时，不用再判断符号，直接得0.
【例1】 计算：(1)(＋4)×(－5)；
(2)(－0.75)×(－1.2)；
(3)×0.3；
(4)0×；
(5)×1×××1.
分析：按照乘法法则运算，先确定符号，再将绝对值相乘．
解：(1)(＋4)×(－5)＝－(4×5)＝－20；
(2)(－0.75)×(－1.2)＝＋(0.75×1.2)＝0.9；
(3)×0.3＝－＝－；
(4)0×＝0；
(5)×1×××1＝－＝－.
2.倒数
如果两个有理数的乘积为1，那么称其中的一个数是另一个数的倒数，也称这两个数互为倒数．
若a≠0，则a的倒数是.
谈重点 对倒数的理解
①0没有倒数；②互为倒数的两个数的符号相同，即正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；③若两个数互为倒数，则它们的乘积为1；④倒数等于它本身的数是1和－1.
【例2】 填空：(1)－的倒数是__________；0.2的倒数是__________；(2)倒数是4的数是__________．
解析：乘积是1的两个数互为倒数．
答案：(1)－ 5 (2)
3．有理数的乘法运算律
(1)乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变．
用字母表示为：a×b＝b×a.
(2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．
用字母表示为：(a×b)×c＝a×(b×c)．
(3)乘法对加法的分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．
用字母表示为：a×(b＋c)＝a×b＋a×c.
谈重点 乘法运算律的运用方法
①交换因数的位置时，要连同符号一起交换；②公式中的字母a，b，c可以是正数，也可以是负数和0；③乘法的交换律和结合律对多个因数的乘法也适用；④为了能简便运算，也可以逆用乘法对加法的分配律，即a×b＋a×c＝a×(b＋c)．
【例3】 计算：(1)(－8)×9×(－1.25)×；
(2)×(－12)；
(3)－5.372×(－3)＋5.372×(－17)＋5.372×4；
(4)×2.5×(－8)；
(5)×36－6×1.43＋3.93×6.
分析：运用乘法的运算律进行简化计算．(1)用乘法交换律和结合律；(2)用乘法对加法的分配律；(3)因各乘积中都有因数5.372，故可逆用乘法对加法的分配律进行简便计算；(4)将带分数拆成整数与分数的和或差，再运用乘法结合律和乘法对加法的分配律；(5)算式的前半部分可直接正向运用乘法对加法的分配律，后半部分可逆用乘法对加法的分配律，从而可省去通分和繁杂的计算．
解：(1)(－8)×9×(－1.25)×
＝[(－8)×(－1.25)]×
＝10×(－1)＝－10；
(2)×(－12)
＝1×(－12)＋×(－12)＋×(－12)
＝－15＋10＋(－6)＝－11；
(3)－5.372×(－3)＋5.372×(－17)＋5.372×4[来源:学科网]
＝5.372×3＋5.372×(－17)＋5.372×4
＝5.372×[3＋(－17)＋4]
＝5.372×(－10)＝－53.72；
(4)×2.5×(－8)
＝24×2.5×8＝×20
＝25×20－×20＝500－
＝499.
(5)×36－6×1.43＋3.93×6
＝×36－×36－×36＋6×(－1.43＋3.93)
＝33－28－10＋6×2.5
＝－5＋15＝10.
4．与绝对值、相反数、倒数有关的混合运算
根据已知的与绝对值、相反数、倒数有关的条件，进行有关的综合计算，其步骤是：
(1)利用条件，先求出有关字母的数值或有关式子的数值；(2)将所求的式子变形，使其符合上述条件；(3)将条件代入变形后的式子，按照规定的运算进行计算．
【例4】 已知a与b互为倒数，c与d互为相反数，m的绝对值是4，求m×(c＋d)＋a×b
－3×m的值．
分析：互为倒数的两个数的积是1，互为相反数的两个数的和是0，绝对值是4的数是±4，所以本题要分情况计算．
解：因为a与b互为倒数，c与d互为相反数，m的绝对值是4，所以a×b＝1，c＋d＝0，m＝±4.
当m＝4时，m×(c＋d)＋a×b－3×m＝4×0＋1－3×4＝－11；
当m＝－4时，m×(c＋d)＋a×b－3×m＝(－4)×0＋1－3×(－4)＝13.
5.运用有理数乘法运算律进行简便运算
有理数的乘法中的简便运算主要是运用乘法的交换律、乘法的结合律和乘法对加法的分配律进行运算．
(1)乘法交换律和结合律的运用
运用乘法交换律、结合律的情况：
①一般将互为倒数的先结合；
②将容易约分的先结合．
(2)乘法对加法的分配律的运用
运用乘法对加法的分配律时注意以下几点：
①要把括号外面的因数连同符号与括号内的每一项相乘，它是以后要学的去括号的理论依据．
②乘法对加法的分配律可以逆用，即a×b＋a×c＝a×(b＋c)．
③乘法对加法的分配律可以推广为：
a×(b＋c＋d＋e)＝a×b＋a×c＋a×d＋a×e，各字母为任意有理数．
运用乘法对加法的分配律时，可以先确定符号，再进行计算，或者先利用分配律，再确定符号．有时可逆用乘法分配律：a×b＋a×c＝a×(b＋c)，使计算简便．
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【例5－1】 学习了有理数的乘法运算律之后，老师出示了下面的一道题目：
计算：－36×.
刘洋：原式＝－
＝－
＝－(18－20＋30－21)＝－7.
吕征：原式＝－36×－36×－36×－36×
＝－18－20－30－21＝89.
你认为刘洋和吕征同学的解法都正确吗？若有错误，请你按其思路改正过来．
分析：本题是一个整数与多个分数的和相乘，可利用乘法对加法的分配律简化运算．运用乘法对加法的分配律时，要注意符号．
解：刘洋的解答是正确的，而吕征的解答是错误的．
改正：原式＝－36×－(－36)×＋(－36)×－(－36)×＝－18－(－20)＋(－30)－(－21)＝－7.
【例5－2】 用简便方法计算：
－3.14×35.2＋6.28×(－23.3)－1.57×36.4.
分析：通过观察，可以发现3.14,6.28,1.57之间成倍数关系，故可以将式子进行变形，使式子里每一项中都含有1.57，再逆用乘法对加法的分配律，可避免复杂的计算．
解：－3.14×35.2＋6.28×(－23.3)－1.57×36.4
＝－1.57×2×35.2＋1.57×4×(－23.3)－1.57×36.4
＝1.57×[－2×35.2＋4×(－23.3)－36.4]
＝1.57×(－70.4－93.2－36.4)
＝1.57×(－200)＝－314.
6．有理数的乘法运算的实际应用
有理数的乘法运算的应用，主要是利用有理数的乘法解决生活中的实际问题．其步骤是：
①分析题意；
②列出算式；
③运用有理数的乘法法则或运算律进行计算；
④写出答案．
【例6】 一天，小刚和小明利用温差测量山峰的高度，小明在山顶测得的温度是－2 ℃，小刚在山脚测得的温度是4 ℃.已知该地区的高度每增加100 m，气温大约下降0.6 ℃，求这个山峰的高度大约是多少．
解：×100＝10×100＝1 000(m)．
答：这个山峰的高度大约为1 000 m.
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