2 数轴
1．数轴
(1)定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，如图．
①数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；②原点的选定，单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的．通常取向右的方向为正方向．
(2)数轴的画法
画一条数轴的步骤可概括为：一画、二定、三选、四标．
①画直线：就是先画一条直线，一般画成水平的直线；
②定原点：通常原点选在你所画直线居中的位置，若问题中负数的个数较多时，原点选得靠右些；正数的个数较多时，原点选得靠左些．
③选正方向：通常取原点向右的方向为正方向，并选取适当的长度为单位长度，将表示刻度
的点用短竖线表示．
④标数：在数轴上依次标出1,2,3,4,0，－1，－2，－3，－4等各点，相应的数0，±1，±2，…写在数轴的下方；将需要在数轴上表示出的数或字母写在数轴的上方，相应的点表示为实心小圆点．
要是在数轴上用到30，那得标多少单位啊！
适当的长度有两层含义：①可取实 际1 cm作为一个单位长度，也可以取2 cm或其他实际数据作为一个单位长度；②一个单位长度可表示1，也可表示10或更多！如图所示就能做到啦！
【例1】 下列图形表示的数轴正确的是( )．
解析：
A
×
直线上没有规定正方向
B
×
－1的位置标错了
C
√
符合数轴的三要素
D
×
单位长度不统一
答案：C
2．有理数与数轴上的点的关系
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，即每个有理数都对应数轴上的一个点．
(1)表示正数的点都在原点的右侧；(2)表示负数的点都在原点的左侧；(3)表示0的点就是原点．
【例2】 (1)画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：－2,0,1，－0.5，－，2.
(2)指出如图所示的A，B，C，D，E各点分别表示什么数？
分析：(1)
有理数
数轴上的位置
－2
原点向左2个单位长度
0
原点
1
原点向右1个单位长度
－0.5
原点向左0.5个单位长度
－
原点向左个单位长度
2
原点向右2个单位长度
(2)
字母
数轴上的位置
有理数
A
原点右边3个单位长度
3
B
原点左边1个单位长度
－1
C
原点左边1.5个单位长度
－1.5
D
原点右边1.5个单位长度
1.5
E
原点右边0.5个单位长度
0.5
解：(1)如图．
(2)点A表示3；点B表示－1；点C表示－1.5；点D表示1.5；点E表示0.5.
点技巧 “数形结合”思想
(1)根据已知数在数轴上标出对应点，分三步：①画数轴；②确定点，并用实心小圆点描出；③标数，即在实心小圆点的上方标出所表示的数．(2)根据数轴上的点读数，原点表示0，原点向右为正数，原点向左为负数．都体现了“数形结合”的思想．
3．利用数轴比较有理数的大小
(1)数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大．
(2)正数大于0，负数小于0，正数大于负数．
(3)多个有理数比较大小：①把各个数在数轴上表示出来；②根据各数在数轴上的顺序，用“”连接．
析规律 两个有理数比较大小的方法
分情况比较：①若两数同号(都为正数或都为负数)，数轴上左边的数＜右边的数；
②若两数异号，则正数＞0＞负数．
【例3－1】 比较下列这组数的大小，并用“＜”连接起来．
－4，，1，－2,3,0，－0.5.
分析：如图，根据在数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大这一规律，可以先将这组数对应的点找到，然后比较大小．
解：如图．
－4＜－2＜－0.5＜0＜＜1＜3.
【例3－2】 有理数a，b在数轴上的位置如图所示，试用“＝”“＞”或“＜”填空：a__________0，b__________0，a__________b.
解析：a在原点的左边，是负数，负数小于0；b在原点的右边，是正数，正数大于0；b的对应点在a的对应点的右边，数轴上右边的数总是大于左边的数(或正数大于负数)．
答案：＜ ＞ ＜
4．数轴上点的移动
(1)相对于原点的移动：从原点向右a(a>0)个单位长度，则表示的数是a；从原点向左a(a>0)个单位长度，则表示的数是－a.
(2)两个相对点的移动：点A相对于点B向右移动或向左移动一定的距离，最后表示的数要看点A移动结束时对应点距离原点的距离和位置．
【例4】 一探险队要沿着一东西走向的河流进行考察，第一天沿河岸向上游走了5 km，第二天又向上游走了4.3 km，第三天开始计划有变，向下游走了4.8 km，第四天又向下游走了3 km，你知道第四天之后，该探险队在出发点的上游还是下游吗？距离出发点多远？
解：设出发点为原点，向上游走为正，那么向下游走为负，画出数轴如图所示．利用数轴分析，得第四天后，探险队在出发点的上游，距离出发点1.5 km.
5.利用数轴求数轴上的点表示的数
在数学里，数与形是密切联系的，数轴的引进使有理数与直线上的点联系了起来，利用数轴可以比较容易地写出数轴上某区域中的整数、正整数、负整数等．
如，写出大于－5而小于3的所有整数．可以先画出数轴，在数轴上标出－5与3这两个点，再在这两个点之间找出满足题意的整数－4，－3，－2，－1，0,1,2即可．
【例5】 小红做题时，不小心把墨水洒在了数轴上，如图所示，请根据图中的数值，写出墨迹盖住的所有整数．
分析：观察数轴可知，比－12.1大的最小整数是－12，比－6.5小的最大整数是－7，比－0.5大的最小整数是0，比10.5小的最大整数是10，所以墨迹盖住的整数分别是－12，－11，－10，－9，－8，－7及0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
解：墨迹盖住的所有整数分别是－12，－11，－10，－9，－8，－7及0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
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