初二（上）数学知识点 姓名
第二章——轴对称图形
1、线段的对称轴有 条，是
2、线段垂直平分线上的点到 的
距离相等
∵
∴
3、到 距离相等的点在线段的垂直平分线上
∵
∴
∵
∴
∴
例1：如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．
(1)若AC＝6，△ABD的周长是13，则△ABC的周长是_______；
(2)若△ABC的周长是30，△ABD的周长是25，则AC＝_______．
例2：如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、点D.
(1)若BC＝8，则△ADE的周长是_______；
(2) 若∠BAC=110°，那么∠EAD＝______
(3) 若∠EAD=100°，那么∠BAC＝______
4、角的对称轴有 条，是
5、角平分线上的点到 的距离相等
∵
又∵
∴
6、角的内部到 距离相等
的点在角的平分线上
∵
又∵
∴
例3：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC.
(1)若CD=5，则点D到AB的距离为 .
(2) 若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是 .
例4：如图，OP平分∠AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为A、B．
下列结论中，不一定成立的是 ( )
A．PA=PB B．PO平分∠APB
C．OA=OB D．AB垂直平分OP
补充：①三角形的三条边的垂直平分线的交点到 的距离相等
②三角形的三条角平分线的交点到 的距离相等
1. 请你先在图的BC上找一点P，使点P到AB、AC的距离相等，再在射线AP上找一点Q，使QB=QC．
2. 如图，求作点P，使点P同时满足：
①PA=PB；②到直线m，n的距离相等．
7、等边对等角
∵
∴
8、等角对等边
∵
∴
9、等腰三角形 、
、
重合（三线合一）
（有 条对称轴）
∵ ∵ ∵
又∵ 又∵ 又∵
∴ ∴ ∴
例5：（1）等腰三角形的一边长为5，另一边长为11，则该等腰三角形的周长为
（2）等腰三角形的两边长分别为4、5.则该等腰三角形的周长为
（3）已知等腰三角形的一个外角为100°，则这个等腰三角形的顶角为__________．
（4）等腰△ABC中，若∠A=30°，则∠B= ．
例6：(1)如图①，在Rt△ABC中，若AB=AC，AD=AE，∠BAD=40°,则∠EDC=_______．
(2)如图②，∠ACB=90°,E、F为AB上的点，AE=AC，BC=BF，则∠ECF=___ __．
③
(3)如图③， AB=AC=DC，且BD=AD，则∠B=___ __．
例7：如图，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，
交AB于点D，交AC于点E．试说明BD＋EC＝DE．
例8：如图，已知AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．
例9：在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE=CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．
10、（1）等边三角形的性质：
等边三角形的三条边 ，三个角都是 ，每条边上都有三线合一，有 条对称轴
（2）等边三角形的3个判定方法：
三条边都 的三角形是等边三角形
三个角都 的三角形是等边三角形
有一个角是 的 三角形是等边三角形
例10：(1)如图①，在等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE=____．
(2)如图②，正方形ABCD，△EAD为等边三角形，则∠EBC＝_______．
A
B
C
D
(3)如图③，已知等边△ABC，AC=AD,且AC⊥AD，垂足为A，则∠BEC＝_______．
② ③
例11：如图，C为线段AE上一动点(点C不与点A、E重合)，在AE的同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE相交于点O，AD与BC相交于点P，BE与CD相交于点Q，连接PQ．下列五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°，其中恒成立的有__________(填序号)．
例12：如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE．
求证：AE∥BC．
11、直角三角形斜边上的中线等于
∵
又∵
∴
12、用等积法求直角三角形斜边上的高
SΔABC=
=
13、直角三角形中，30°的角所对的直角
边等于
∵
又∵
∴
例12：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB的中线，且CD=4 cm，则AB=_______．
(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则AC=_______．
(3)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，则AB边上的高CD= ．
例13：如图，在△ABC中，BD、CE是高，G、F分别是BC、DE的中点，
连接GF，求证： GF⊥DE．
例14：如图，已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，
E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形．
相关练习选用：
1．如图，在△ABC中，BC=8 cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，求△PDE的周长．
2．如图，在边长为2等边△ABC中， AD是BC边上的中线，E、F是AD的三等分点，则图中阴影部分的面积是__________cm2．
3．如图，在△ABC中，CD与C，分别是△ABC的内角、外角平分线，DF//BC交AC于点E．试说明(1) △DCF为直角三角形；(2)DE=EF．
4．如图，△ABC是等腰三角形，∠B=∠C，AD是底边BC上的高，DE∥AB交AC于点E．试找出图中除△ABC外的等腰三角形，并说明你的理由．
5.如图，AD是△ABC的角平分线，点E在AB上，且AE=AC，EF∥BC交AC于点F．求证：EC平分∠DEF．
6．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC． BE与DF相等吗？请说明理由．
7．如图，C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），在AB的同侧分别作
△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角，且∠ACD＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC．
试说明： (1) △ACE≌△DCB． (2) PC平分∠APB．
8．如图，等边△ABC中，D是AC的中点，延长BC到点E，使CE=CD，AB=10cm．
( l ）求BE的长； ( 2 ）试说明BD=ED
9．画图、证明：如图，∠AOB=90°，点C、D分别在OA、OB上．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作∠AOB的平分线OP；作线段CD的垂直平分线EF，分别与CD、OP相交于E、F；连接OE、CF、DF．
（2）在所画图中，
①线段OE与CD之间有怎样的数量关系，并说明理由．
②求证：△CDF为等腰直角三角形
10.如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．
（1）求证：DE平分∠BDC；
（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证： ME=BD．
11.如图，设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上.从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2=AA1 .
(1)小棒能无限摆下去吗？答： .(填“能”或“不能”)
(2)若已经摆放了3根小棒，则θ1 =___________，θ2 =__________，θ3=__________；（用含θ的式子表示）
(3)若只能摆放4根小棒，求θ的范围.
12．如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶
点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CD，BD＝CF．
(1)试说明DE＝DF．
(2)若∠A＝40°，求∠EDF的度数．
14．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为 _______．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于
16．如图，P为∠AOB的平分线OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，连接MN交OP于点D．则①PM＝PN；②MO＝NO；③OP⊥MN；④MD＝ND．其中正确的有
17．如图所示，等边三角形ABC的边长是6，点P在边AB上，点Q在BC的延长线上，且AP＝CQ，设PQ与AC相交于点D．
(1)当∠DQC＝30°时，求AP的长．
(2)作PE⊥AC于E，求证：DE＝AE＋CD．
18．如图，在△ABC中，已知BA＝BC，
∠B＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D．
(1)求∠A的度数；
(2)若AC＝6cm，求AD的长度．
19.若直角三角形斜边上的高和中线分别为10 cm、12 cm，则它的面积为__________cm2．
20.如图，某市把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，∠ACB=90o．
AC=80 m．BC=60 m．
(1)若入口E在边AB上，且与A、B距离相等，求从人口E到出口C的最短路线的长；
(2)若线段CD是一条水渠，且点D在AB边上，已知水渠造价约为10元／m，则点D在距点A多远处，此水渠的造价最低?最低造价是多少?
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