2.3 映射
教学分析
课本将映射作为函数的一种推广，这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化．这样处理，主要是想较好地衔接初中的学习，让学生将更多的精力集中理解函数的概念，同时，也体现了从特殊到一般的思维过程．
三维目标
了解映射的概念及表示方法，会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用，提高对数学高度抽象性和广泛应用性的认识．
重点难点
映射的概念．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.复习初中常见的对应关系
1．对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应．
2．对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x，y)和它对应．
3．对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应．
4．某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应．
5．函数的概念．
我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射(板书课题)．
思路2.前面学习了函数的概念是：一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应．
(1)对于任意一个实数，在数轴上都有唯一的点与之对应．
(2)班级里的每一位同学在教室内都有唯一的坐位与之对应．
(3)对于任意的三角形，都有唯一确定的面积与之对应．
那么这些对应又有什么特点呢？
这种对应称为映射．引出课题．
推进新课
①给出以下对应关系：
图1
这三个对应关系有什么共同特点？
②像问题①中的对应我们称为映射，请给出映射的定义．
③“都有唯一”是什么意思？
④函数与映射有什么关系？
讨论结果：①集合A，B均为非空集合，并且集合A中的元素在集合B
中都有唯一的元素与之对应．
②一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．记作“f：A→B”．
如果集合A中的元素x对应集合B中元素y，那么集合A中的元素x叫集合B中元素y的原像，集合B中元素y叫集合A中的元素x的像．
③包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思，即是一对一或多对一．
④函数是特殊的映射，映射是函数的推广．
思路1
例1 下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？
(1)A＝{P|P是数轴上的点}，B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；
(2)A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
(3)A＝{三角形}，B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；
(4)A＝{x|x是新华中学的班级}，B＝{x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．
活动：学生思考映射的定义．判断一个对应是否是映射，要紧扣映射的定义．
(1)中数轴上的点对应着唯一的实数；
(2)中平面直角坐标系中的点对应着唯一的有序实数对；
(3)中每一个三角形都有唯一的内切圆；
(4)中新华中学的每个班级对应其班内的多个学生．
解：(1)是映射；(2)是映射；(3)是映射；
(4)不是映射．新华中学的每个班级对应其班内的多个学生，是一对多，不符合映射的定义.
变式训练
1．图2(1)，(2)，(3)，(4)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，是不是映射？
图2
答案：(1)不是；(2)是；(3)是；(4)是．
2．在图3中的映射中，A中元素60°的对应的元素是什么？在A中的什么元素与B中元素对应？
图3
答案：A中元素60°的对应的元素是，在A中的元素45°与B中元素对应.
思路2
例1 下列对应是不是从集合A到集合B的映射，为什么？
(1)A＝R，B＝{x∈R|x≥0}，对应法则是“求平方”；
(2)A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，对应法则是“求平方”；
(3)A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，对应法则是“求平方根”；
(4)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应法则是“作圆的内接矩形”．
活动：学生回顾映射的概念，教师适时点拨或提示．判断一个对应是否是映射，关键是确定是否是“一对一”或“多对一”的对应，即集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应．
解：(1)是映射，因为A中的任何一个元素，在B中都能找到唯一的元素与之对应．
(2)不是从集合A到集合B的映射，因为A中的元素0，在集合B中没有对应的元素．
(3)不是从集合A到集合B的映射，因为任何正数的平方根都有两个值，即集合A中的任何元素，在集合B中都有两个元素与之对应．
(4)不是从集合A到集合B的映射．因为一个圆有无穷多个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应．
点评：本题主要考查映射的概念．给定两集合A，B及对应法则f，判断是否是从集合A到集合B的映射，主要利用映射的定义．用通俗的语言讲：A→B的对应有“多对一”，“一对一”，“一对多”，前两种对应是A到B的映射，而后一种不是A到B的映射.
变式训练
1．设集合A＝{a，b，c}，集合B＝R，以下对应关系中，一定能建立集合A到集合B的映射的是( )．
A．对集合A中的数开平方
B．对集合A中的数取倒数
C．对集合A中的数取算术平方根
D．对集合A中的数立方
分析：当a＜0时，对a开平方或取算术平方根均无意义，则A，C错；
当a＝0时，对a取倒数无意义，则B错；
由于对任何实数都能立方，并且其立方仅有一个，
所以对集合A中的数立方能建立映射，
故选D.
答案：D
2．设f：A→B是A到B的一个映射，其中A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：(x，y)→(x－y，x＋y)，求：
(1)A中元素(－1,2)在B中对应的元素；
(2)在A中什么元素与B中元素(－1,2)对应？
分析：这是一个映射的问题，由于A中元素(x，y)对应B中元素为(x－y，x＋y)，确定了对应法则，转化为解方程组．
解：(1)A中元素(－1,2)在B中对应的元素为(－1－2，－1＋2)，
即(－3,1)．
(2)设A中元素(x，y)与B中元素(－1,2)对应，
则
解得
所以A中元素与B中元素(－1,2)对应.
例2 设映射f：x→－x2＋2x是实数集R＝M到实数集R＝N的映射，若对于实数p∈N，在M中不存在原像，则实数p的取值范围是( )．
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
活动：让学生思考：若对于实数p∈N，在M中不存在原像，与函数f(x)＝－x2＋2x有什么关系？若对于实数p∈N，在M中不存在原像是指实数p表示函数f(x)＝－x2＋2x值域中的元素，转化为求函数f(x)＝－x2＋2x，x∈R的值域．集合M是函数f(x)＝－x2＋2x的定义域，集合N是函数f(x)＝－x2＋2x的值域．
解：(方法一)由于集合M，N都是数集，
则映射f：x→－x2＋2x就是函数f(x)＝－x2＋2x，
其定义域是M＝R，
则有值域Q＝{y|y≤1}⊆N＝R.
对于实数p∈N，在M中不存在原像，
则实数p的取值范围是∁NQ＝∁RQ＝{y|y＞1}，
即p的取值范围是(1，＋∞)；
(方法二)当p＝0时，方程－x2＋2x＝0有解x＝0,2，
即在M中存在原像0和2，则p＝0不合题意，排除C，D；
当p＝1时，方程－x2＋2x＝1有解x＝1，
即在M中存在原像1，则p＝1不合题意，排除B.
答案：A
点评：本题主要考查映射的概念和函数的值域，以及综合应用知识解决问题的能力．解决本题的关键是转化思想的应用．把映射问题转化为函数的值域问题，进一步转化为求函数的值域在实数集中的补集．其转化的依据是对映射概念的理解以及对函数与映射关系的把握程度.
变式训练
设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下表(从上到下)：
表1 映射f的对应法则
原像
1
2
3
4
像
4
3
1
2
表2 映射g的对应法则
原像
1
2
3
4
像
4
3
1
2
则与f[g(1)]相同的是( )．
A．g[f(1)] B．g[f(2)]
C．g[f(3)] D．g[f(4)]
分析：f(a)表示在对应法则f下a对应的像，g(a)表示在对应法则g下a对应的像．
由表1和表2，得f[g(1)]＝f(4)＝1，g[f(1)]＝g(3)＝1，g[f(2)]＝g(4)＝2，g[f(3)]＝g(2)＝3，g[f(4)]＝g(1)＝4，
则有f[g(1)]＝g[f(1)]＝1.
答案：A
1．下列对应是从集合S到T的映射的是( )．
A．S＝N，T＝{－1,1}，对应法则是(－1)n，n∈S
B．S＝{0,1,4,9}，T＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，对应法则是开平方
C．S＝{0,1,2,5}，T＝，对应法则是取倒数
D．S＝{x|x∈R}，T＝{y|y∈R}，对应法则是x→y＝
分析：判断映射方法简单地说应考虑A中的元素是否都可以受f作用，作用的结果是否一定在B中，作用的结果是否唯一这三个方面．很明显A符合定义；B是一对多的对应；C命题中的元素0没有像；D命题集合S中的元素1也无像．
答案：A
2．已知集合M＝{x|0≤x≤6}，P＝{y|0≤y≤3}，则下列对应关系中不能看作从M到P的映射的是( )．
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝x
分析：选项C中，集合M中元素6没有像，其他均是映射．
答案：C
3．已知集合A＝N＋，B＝{a|a＝2n－1，n∈Z}，映射f：A→B，使A中任一元素a与B中元素2a－1对应，则与B中元素17对应的A中元素是( )．
A．3 B．5
C．17 D．9
分析：利用对应法则转化为解方程．
由题意得2a－1＝17，解得a＝9.
答案：D
4．若映射f：A→B的像的集合是Y，原像的集合是X，则X与A的关系是________；Y与B的关系是________．
分析：根据映射的定义，可知集合A中的元素必有像且唯一；
集合B中的元素在集合A中不一定有原像．
故像的集合是B的子集．
所以X＝A，Y⊆B.
答案：X＝A Y⊆B
5．已知集合M＝{a，b，c，d}，P＝{x，y，z}，则从M到P能建立不同映射的个数是________．
分析：集合M中有4个元素，集合P中有3个元素，则从M到P能建立34＝81个不同的映射．
答案：81
6．下列对应哪个是集合M到集合N的映射？哪个不是映射？为什么？
(1)设M＝{矩形}，N＝{实数}，对应法则f为矩形到它的面积的对应．
(2)设M＝{实数}，N＝{正实数}，对应法则f为x→.
(3)设M＝{x|0≤x≤100}，N＝{x|0≤x≤100}，对应法则f为开方再乘10.
解：(1)是M到N的映射，因为它是一对一的对应．
(2)不是映射，因为当x＝0时，集合M中没有元素与之对应．
(3)是映射，因为它是一对一的对应．
7．设集合A和B都是自然数集，映射f：A→B把A中的元素n映射到B中的元素2n＋n，则在映射f下，A中的元素________对应B中的元素3.( )．
A．1 B．3
C．9 D．11
分析：对应法则为f：n→2n＋n，根据选项验证2n＋n＝3，可得n＝1.
答案：A
8．已知集合A＝{1,2,3，k}，B＝{4,7，a4，a2＋3a}，且a∈N，k∈N，x∈A，y∈B，映射f：A→B，使B中元素y＝3x＋1和A中元素x对应，求a及k的值．
分析：先从集合A和对应法则f入手，同时考虑集合中元素的互异性．可以分析出此映射必为一一映射，再由3→10，求得a值，进而求得k值．
解：∵B中元素y＝3x＋1和A中元素x对应，
∴A中元素1的像是4；2的像是7；3的像是10，即a4＝10或a2＋3a＝10.
∵a∈N，
∴由a2＋3a＝10，得a＝2.
∵k的像是a4，
∴3k＋1＝16，得k＝5.
∴a＝2，k＝5.
9．A＝{(x，y)|x＋y＜3，x∈N，y∈N}，B＝{0,1,2}，f：(x，y)→x＋y，这个对应是否为映射？是否为函数？说明理由．
解：是映射，不是函数．由题意得A＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(2,0)}，显然对于A中的每一个有序实数对，它们的和是0或1或2，则在B中都有唯一一个数与它对应，所以是映射，因为集合A不是数集而是点集，所以不是函数．
问题：集合M中有m个元素，集合N中有n个元素，则从M到N能建立多少个不同的映射？
探究：当m＝1，n＝1时，从M到N能建立1＝11个不同的映射；
当m＝2，n＝1时，从M到N能建立1＝12个不同的映射；
当m＝3，n＝1时，从M到N能建立1＝13个不同的映射；
当m＝2，n＝2时，从M到N能建立4＝22个不同的映射；
当m＝2，n＝3时，从M到N能建立9＝32个不同的映射．
集合M中有m个元素，集合N中有n个元素，则从M到N能建立nm个不同的映射．
本节课学习了：
(1)映射是一种特殊的对应，元素之间的对应必须满足“一对一或多对一”．
(2)映射由三个部分组成：集合A，集合B及对应法则f，称为映射的三要素．
(3)映射中集合A，B中的元素可以为任意的．
练习1.
本节教学设计的内容拓展较深，在实际教学中根据学生实际选取例题和练习．本节重点设计了映射的概念，对于映射来说，只需要掌握概念即可，不要求拓展其内容，以免加重学生的负担，也偏离了课标要求和高考的方向．
[备选例题]
区间[0，m]在映射f：x→2x＋m所得的像集区间为[a，b]，若区间[a，b]的长度比区间[0，m]的长度大5，则m等于( )．
A．5 B．10
C．2.5 D．1
分析：函数f(x)＝2x＋m在区间[0，m]上的值域是[m,3m]，
则有[m,3m]＝[a，b]，
则a＝m，b＝3m，
又区间[a，b]的长度比区间[0，m]的长度大5，
则有b－a＝(m－0)＋5，
即b－a＝m＋5，
所以3m－m＝m＋5，
解得m＝5.
答案：A
[知识总结]
1．函数与映射的知识记忆口诀：
函数新概念，记准要素三；定义域值域，解析式相连；
函数表示法，记住也不难；图像和列表，解析最常见；
对应变映射，只是变唯一；映射变函数，集合变数集．
2．映射到底是什么？怎样理解映射的概念？
剖析：对于映射这个概念，可以从以下几点来理解：(1)映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；(2)映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的；(3)映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应，而这个与之对应的元素是唯一的，这样集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心；(4)映射允许集合B中存在元素在A
中没有元素与其对应；(5)映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的对应元素，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”；(6)映射是特殊的对应，函数是特殊的映射．
3．函数与映射的关系
函数是特殊的映射，对于映射f：A→B，当两个集合A，B均为非空数集时，则从A到B的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数．
(设计者：林大华)
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