§4 二次函数性质的再研究
4.1 二次函数的图像
教学分析
二次函数是作为全面介绍函数的第一个例子出现的.本节教材从三个递进的问题开始:1.解决二次函数的形状问题;2.解决其移动问题;3.解决配方问题.在教师引导和学生动手的基础上,围绕三个问题,每走一步都抽象概括,再明晰一次.
这部分教材,信息技术大有用武之地.可以充分利用信息技术的动态特点,画出各种曲线族,把变化极其形象地表现出来,以便使学生掌握二次函数中各参数的变化对图像的影响.
三维目标
理解在二次函数的图像中a,b,c,h,k的作用,掌握研究二次函数移动的方法,能够熟练地对二次函数图像的上下左右移动,并能迁移到其他函数,培养学生变换作图的能力.
重点难点
教学重点:二次函数图像的变换.
教学难点:将二次函数图像的上下左右移动迁移到其他函数.
课时安排
1课时
导入新课
思路1.在初中,我们已经学过了二次函数,知道其图像为抛物线,并了解其图像的开口方向、对称轴、顶点等特征,本节课进一步研究一般的二次函数的性质,引出课题.
思路2.高考试题中,有关二次函数的题目经常出现,二次函数是高中数学最重要的函数,因此有必要对二次函数的图像和性质进行深入学习,教师引出课题.
推进新课
①请回顾二次函数的定义.
②二次函数的解析式有几种形式?
③二次函数的图像是什么形状?如何快速画出其草图?
讨论结果
①一般地,函数y=ax2+bx+c( a,b,c为常数且a≠0)叫作二次函数.其中自变量的最高次数是2,自变量取值范围即函数的定义域是全体实数.
②有三种形式:
一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);
顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0);
零点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
注意:任意二次函数的解析式均有一般式和顶点式,但是不一定有零点式.当且仅当二次函数的图像与x轴相交时,二次函数的解析式才有零点式.
③二次函数的图像是抛物线.画抛物线的草图时,通常根据“三点一线一开口”来画.“三点”是指:顶点,抛物线与x轴的两个交点;“一线”是指对称轴这条直线,“一开口”是指抛物线的开口方向,根据抛物线的这些特征描出其草图.如果抛物线与x轴仅有一个交点或没有交点时,可以先在抛物线上任取一点(除顶点),再作出此点关于抛物线对称轴的对称点,这两个点和顶点合起来组成“三点”.
①画出y=x2的图像.并填写表1.
表1
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
x2
…
…
2x2
…
…
②观察表2,要得到2x2的值,只要把相应的x2的值扩大为原来的几倍?这种情况是如何在图像上表现的?
③如何由y=x2的图像得到y=2x2的图像?
④如何由函数y=f(x)的图像得到函数y=Af(x)(A>0,A≠1)的图像?
讨论结果:
①如图1是y=x2的图像,
图1
如表2为所填表格:
表2
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
2x2
…
18
8
2
0
2
8
18
…
②要得到2x2的值,只要把相应的x2的值扩大为原来的2倍.这种情况表现在图像上如图2所示,就是把AB伸长为原来的2倍,即AC的长度,得到当x=1时y=2x2对应的值.
图2 图3
③将y=x2的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标都扩大为原来的2倍得到y=2x2的图像.
④将y=Af(x)的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标都扩大为原来的A(A>1)倍或缩短为原来的A(0<A<1)倍得到y=Af(x)的图像.
①在同一坐标系中画出y=2x2,y=2(x+1)2,y=2(x+1)2+3的图像,观察图像,如何由y=2x2的图像得到y=2(x+1)2+3的图像?
②如何由y=ax2的图像得到y=a(x+h)2+k(h≠0,k≠0)的图像?
③如何由y=f(x)的图像得到y=f(x+h)+k(h≠0,k≠0)的图像?
④由y=ax2的图像如何平移得到y=ax2+bx+c的图像?
讨论结果:①y=2x2,y=2(x+1)2,y=2(x+1)2+3的图像,如图4.
图4
观察图4,得把y=2x2的图像向左平移一个单位长度得y=2(x+1)2的图像,再把y=2(x+1)2的图像向上平移3个单位得y=2(x+1)2+3的图像.
②把y=ax2的图像向左(h>0)或向右(h<0)平移|h|个单位长度得y=a(x+h)2的图像,再把y=a(x+h)2的图像向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位得y=a(x+h)2+k的图像.
③把y=f(x)的图像向左(h>0)或向右(h<0)平移|h|个单位长度得y=f(x+h)的图像,再把y=f(x+h)的图像向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位得y=f(x+h)+k的图像.
④一般地,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)可通过配方得到它的恒等形式y=a(x+h)2+k,从而就可以知道由y=ax2的图像如何平移得到y=ax2+bx+c的图像.
①二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)中,h,k对函数的图像有何影响?
②二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,确定函数图像开口大小及方向的参数是什么?确定函数图像位置的参数是什么?
③写出一个开口向下,顶点为(-3,1)的二次函数的解析式,并画出其图像.
讨论结果:①h,k只改变函数图像的顶点位置,不改变图像形状.
②确定函数图像开口大小及方向的参数是a,确定函数图像位置的参数是a,b,c.
③例如y=-(x+3)2+1.其图像如图5所示,
图5
例1 二次函数f(x)与g(x)的图像开口大小相同,开口方向也相同,已知函数g(x)的解析式和f(x)图像的顶点,写出函数f(x)的解析式;
(1)函数g(x)=x2,f(x)图像的顶点是(4,-7);
(2)函数g(x)=-2(x+1)2,f(x)图像的顶点是(-3,2).
活动:学生思考确定二次函数的开口大小和方向的参数,以及二次函数解析式的顶点式.
解:如果二次函数的图像与y=ax2的图像开口大小相同,开口方向也相同,顶点坐标是(-h,k),则其解析式为y=a(x+h)2+k,
(1)因为f(x)与g(x)=x2的图像开口大小相同,开口方向也相同,f(x)图像的顶点是(4,-7),所以f(x)=(x-4)2-7=x2-8x+9;
(2)因为f(x)与g(x)=-2(x+1)2的图像开口大小相同,开口方向也相同,g(x)=-2(x+1)2又与y=-2x2的图像开口大小相同,开口方向也相同,所以f(x)与y=-2x2的图像开口大小也相同,开口方向也相同.
又因为f(x)图像的顶点是(-3,2),
所以f(x)=-2(x+3)2+2=-2x2-12x-16.
点评:本题主要考查二次函数的解析式、其图像和性质,以及数形结合的能力.已知二次函数的顶点坐标求其解析式时,常设二次函数的顶点式.
变式训练
1.函数y=2x2+4x-1的对称轴和顶点分别是( ).
A.x=-2,(-2,-1) B.x=2,(-2,-1)
C.x=-1,(-1,-3) D.x=1,(-2,3)
解析:由y=2x2+4x-1=2(x+1)2-3得对称轴是x=-1,顶点是(-1,-3).
答案:C
2.已知f(x)=则f()等于( ).
A.2 B.2
C. D.无法确定
解析:∵∈[1,6],∴f()=.
答案:C
3.将函数y=x2-2x的图像向右平移2个单位,再向下平移1个单位后所得函数解析式为( ).
A.y=x2+6x+7 B.y=x2-6x+7
C.y=x2+2x-1 D.y=x2-2x+1
解析:所得解析式为y=(x-2)2-2(x-2)-1=x2-6x+7.
答案:B
例2 已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个不同的交点A(x1,0),B(x2,0)且x+x=,试问该抛物线由y=-3(x-1)2的图像向上平移几个单位得到?
分析:利用题设条件,再根据根与系数的关系列方程并解出抛物线方程的系数,之后利用二次函数图像的平移规律得到答案.
解:由题意可设所求抛物线的解析式为y=-3(x-1)2+k,展开,得y=-3x2+6x-3+k,
由题意得x1+x2=2,x1x2=,
所以x+x=(x1+x2)2-2x1x2=,
得4-=.
解得k=.
所以该抛物线是由y=-3(x-1)2的图像向上平移个单位得到的,它的解析式为y=-3(x-1)2+,即y=-3x2+6x-.
点评:本题考查利用二次函数的知识解决问题.函数图像的平移会对解析式产生影响,但函数图像中的某些特征不会产生变化.我们要抓住变化的关键,对函数解析式中变化的系数进行讨论.
变式训练
如果把函数y= f(x)的图像平移,可以使图像上的点P(1,0)变成Q(2,2),则函数y= f(x)的图像经过此种变换后所对应的函数为( ).
A.y=f(x-1)+2 B.y=f(x-1)-2
C.y=f(x+1)+2 D.y=f(x+1)-2
解析:点P(1,0)变成Q(2,2)可以看成将点P(1,0)向右平移一个单位,再向上平移2个单位得到点Q(2,2),则将函数y= f(x)的图像向右平移一个单位,再向上平移2个单位得函数y= f(x-1)+2的图像.
答案:A
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像的顶点坐标为(2,-1),与y轴交点坐标为(0,11),则( ).
A.a=1,b=-4,c=-11 B.a=3,b=12,c=11
C.a=3,b=-6,c=11 D.a=3,b=-12,c=11
解析:由题意得
∴
答案:D
2.设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则f(x)的解析式为f(x)=__________,关于x的方程f(x)= x的解的个数为__________.
解析:∵f(-4)=f(0),f(-2)=-2,
∴
解得b=4,c=2,画出函数y=f(x),y=x的图像,它们的图像有3个交点,故关于x的方程f(x)= x有3个解.
答案:f(x)= 3
3.已知二次函数f(x)的顶点坐标为(1,-2),且过点(2,4),则f(x)=__________.
解析:设f(x)=a(x-1)2-2,因为过点(2,4),
所以有a(2-1)2-2=4,得a=6.
所以f(x)=6(x-1)2-2=6x2-12x+4.
答案:6x2-12x+4
问题:两个二次函数f(x)=ax2+bx+c与g(x)=bx2+ax+c的图像只可能是图6中的( ).
图6
解析:这是一道考查二次函数解析式中a,b,c的性质与函数图像特征的相关题目.由于f(x),g(x)图像的对称轴方程分别是x=-,x=-,且-与-同号,即它们的对称轴位于y轴的同一侧,由此排除A,B;又由C,D中给出的图像可断定它们开口方向相反,故ab<0.于是->0,->0,即它们的对称轴都位于y轴右侧,排除C.
答案:D
本节学习了:
(1)二次函数的解析式及其求法.
(2)变换法画二次函数的图像.
习题2—4A组2、3、4.
本节课的教学设计中,主要涉及图像的移动,“形”十分突出,因此教师一定要注意用好“形”,但是,又不能仅仅满足于对“形”的认识,教材还设置了“抽象概括”,意在从形出发,然后升华为对一般的数的认识.
函数图像的变换
函数的变换,教材中给出的实际是函数的平移变换,而变换还可以有对称变换、放缩变换等.
所谓对称变换,是指对于两个函数y=f(x)和y=g(x),如果对于定义域内的所有x都有f(x)=g(-x),那么它们的图像关于y轴对称,如果f(x)=-g(x),那么它们的图像关于x轴对称,如果f(x)=-g(-x),那么它们的图像关于原点O成中心对称,则称其中一个函数由另一个函数经对称变换而得到.
所谓放缩变换,是指对于两个函数y=f(x)和y=g(x),如果对于定义域内的所有x都有f(x)=kg(x),那么函数y=f(x)的图像由函数y=g(x)的图像在y轴方向上扩大a倍,如果f(x)= g(kx),那么函数y=f(x)的图像由函数y=g(x)的图像在x轴方向上压缩a倍,则称其中一个函数由另一个函数经放缩变换而得到.
(设计者 张新军)