二次函数的图像
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2013年秋北师大版必修1示范教案2.4.1二次函数的图像.doc

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资料简介
‎§4 二次函数性质的再研究 ‎4.1 二次函数的图像 教学分析     ‎ 二次函数是作为全面介绍函数的第一个例子出现的.本节教材从三个递进的问题开始:1.解决二次函数的形状问题;2.解决其移动问题;3.解决配方问题.在教师引导和学生动手的基础上,围绕三个问题,每走一步都抽象概括,再明晰一次.‎ 这部分教材,信息技术大有用武之地.可以充分利用信息技术的动态特点,画出各种曲线族,把变化极其形象地表现出来,以便使学生掌握二次函数中各参数的变化对图像的影响.‎ 三维目标     ‎ 理解在二次函数的图像中a,b,c,h,k的作用,掌握研究二次函数移动的方法,能够熟练地对二次函数图像的上下左右移动,并能迁移到其他函数,培养学生变换作图的能力.‎ 重点难点     ‎ 教学重点:二次函数图像的变换.‎ 教学难点:将二次函数图像的上下左右移动迁移到其他函数.‎ 课时安排     ‎ ‎1课时 导入新课     ‎ 思路1.在初中,我们已经学过了二次函数,知道其图像为抛物线,并了解其图像的开口方向、对称轴、顶点等特征,本节课进一步研究一般的二次函数的性质,引出课题.‎ 思路2.高考试题中,有关二次函数的题目经常出现,二次函数是高中数学最重要的函数,因此有必要对二次函数的图像和性质进行深入学习,教师引出课题.‎ 推进新课     ‎ ‎①请回顾二次函数的定义.‎ ‎②二次函数的解析式有几种形式?‎ ‎③二次函数的图像是什么形状?如何快速画出其草图?‎ 讨论结果 ‎①一般地,函数y=ax2+bx+c( a,b,c为常数且a≠0)叫作二次函数.其中自变量的最高次数是2,自变量取值范围即函数的定义域是全体实数.‎ ‎②有三种形式:‎ 一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);‎ 顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0);‎ 零点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).‎ 注意:任意二次函数的解析式均有一般式和顶点式,但是不一定有零点式.当且仅当二次函数的图像与x轴相交时,二次函数的解析式才有零点式.‎ ‎③二次函数的图像是抛物线.画抛物线的草图时,通常根据“三点一线一开口”来画.“三点”是指:顶点,抛物线与x轴的两个交点;“一线”是指对称轴这条直线,“一开口”是指抛物线的开口方向,根据抛物线的这些特征描出其草图.如果抛物线与x轴仅有一个交点或没有交点时,可以先在抛物线上任取一点(除顶点),再作出此点关于抛物线对称轴的对称点,这两个点和顶点合起来组成“三点”.‎ ‎①画出y=x2的图像.并填写表1.‎ 表1‎ x ‎…‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ x2‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎2x2‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎②观察表2,要得到2x2的值,只要把相应的x2的值扩大为原来的几倍?这种情况是如何在图像上表现的?‎ ‎③如何由y=x2的图像得到y=2x2的图像?‎ ‎④如何由函数y=f(x)的图像得到函数y=Af(x)(A>0,A≠1)的图像?‎ 讨论结果:‎ ‎①如图1是y=x2的图像,‎ 图1‎ 如表2为所填表格:‎ 表2‎ x ‎…‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ x2‎ ‎…‎ ‎9‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎…‎ ‎2x2‎ ‎…‎ ‎18‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎8‎ ‎18‎ ‎…‎ ‎②要得到2x2的值,只要把相应的x2的值扩大为原来的2倍.这种情况表现在图像上如图2所示,就是把AB伸长为原来的2倍,即AC的长度,得到当x=1时y=2x2对应的值.‎ ‎ ‎ 图2   图3‎ ‎③将y=x2的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标都扩大为原来的2倍得到y=2x2的图像.‎ ‎④将y=Af(x)的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标都扩大为原来的A(A>1)倍或缩短为原来的A(0<A<1)倍得到y=Af(x)的图像.‎ ‎①在同一坐标系中画出y=2x2,y=2(x+1)2,y=2(x+1)2+3的图像,观察图像,如何由y=2x2的图像得到y=2(x+1)2+3的图像?‎ ‎②如何由y=ax2的图像得到y=a(x+h)2+k(h≠0,k≠0)的图像?‎ ‎③如何由y=f(x)的图像得到y=f(x+h)+k(h≠0,k≠0)的图像?‎ ‎④由y=ax2的图像如何平移得到y=ax2+bx+c的图像?‎ 讨论结果:①y=2x2,y=2(x+1)2,y=2(x+1)2+3的图像,如图4.‎ 图4‎ 观察图4,得把y=2x2的图像向左平移一个单位长度得y=2(x+1)2的图像,再把y=2(x+1)2的图像向上平移3个单位得y=2(x+1)2+3的图像.‎ ‎②把y=ax2的图像向左(h>0)或向右(h<0)平移|h|个单位长度得y=a(x+h)2的图像,再把y=a(x+h)2的图像向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位得y=a(x+h)2+k的图像.‎ ‎③把y=f(x)的图像向左(h>0)或向右(h<0)平移|h|个单位长度得y=f(x+h)的图像,再把y=f(x+h)的图像向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位得y=f(x+h)+k的图像.‎ ‎④一般地,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)可通过配方得到它的恒等形式y=a(x+h)2+k,从而就可以知道由y=ax2的图像如何平移得到y=ax2+bx+c的图像.‎ ‎①二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)中,h,k对函数的图像有何影响?‎ ‎②二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,确定函数图像开口大小及方向的参数是什么?确定函数图像位置的参数是什么?‎ ‎③写出一个开口向下,顶点为(-3,1)的二次函数的解析式,并画出其图像.‎ 讨论结果:①h,k只改变函数图像的顶点位置,不改变图像形状.‎ ‎②确定函数图像开口大小及方向的参数是a,确定函数图像位置的参数是a,b,c.‎ ‎③例如y=-(x+3)2+1.其图像如图5所示,‎ 图5‎ 例1 二次函数f(x)与g(x)的图像开口大小相同,开口方向也相同,已知函数g(x)的解析式和f(x)图像的顶点,写出函数f(x)的解析式;‎ ‎(1)函数g(x)=x2,f(x)图像的顶点是(4,-7);‎ ‎(2)函数g(x)=-2(x+1)2,f(x)图像的顶点是(-3,2).‎ 活动:学生思考确定二次函数的开口大小和方向的参数,以及二次函数解析式的顶点式.‎ 解:如果二次函数的图像与y=ax2的图像开口大小相同,开口方向也相同,顶点坐标是(-h,k),则其解析式为y=a(x+h)2+k,‎ ‎(1)因为f(x)与g(x)=x2的图像开口大小相同,开口方向也相同,f(x)图像的顶点是(4,-7),所以f(x)=(x-4)2-7=x2-8x+9;‎ ‎(2)因为f(x)与g(x)=-2(x+1)2的图像开口大小相同,开口方向也相同,g(x)=-2(x+1)2又与y=-2x2的图像开口大小相同,开口方向也相同,所以f(x)与y=-2x2的图像开口大小也相同,开口方向也相同.‎ 又因为f(x)图像的顶点是(-3,2),‎ 所以f(x)=-2(x+3)2+2=-2x2-12x-16.‎ 点评:本题主要考查二次函数的解析式、其图像和性质,以及数形结合的能力.已知二次函数的顶点坐标求其解析式时,常设二次函数的顶点式.‎ 变式训练 ‎1.函数y=2x2+4x-1的对称轴和顶点分别是(  ).‎ A.x=-2,(-2,-1)     B.x=2,(-2,-1)‎ C.x=-1,(-1,-3) D.x=1,(-2,3)‎ 解析:由y=2x2+4x-1=2(x+1)2-3得对称轴是x=-1,顶点是(-1,-3).‎ 答案:C ‎2.已知f(x)=则f()等于(  ).‎ A.2 B.2‎ C. D.无法确定 解析:∵∈[1,6],∴f()=.‎ 答案:C ‎3.将函数y=x2-2x的图像向右平移2个单位,再向下平移1个单位后所得函数解析式为(  ).‎ A.y=x2+6x+7 B.y=x2-6x+7‎ C.y=x2+2x-1 D.y=x2-2x+1‎ 解析:所得解析式为y=(x-2)2-2(x-2)-1=x2-6x+7.‎ 答案:B 例2 已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个不同的交点A(x1,0),B(x2,0)且x+x=,试问该抛物线由y=-3(x-1)2的图像向上平移几个单位得到?‎ 分析:利用题设条件,再根据根与系数的关系列方程并解出抛物线方程的系数,之后利用二次函数图像的平移规律得到答案.‎ 解:由题意可设所求抛物线的解析式为y=-3(x-1)2+k,展开,得y=-3x2+6x-3+k,‎ 由题意得x1+x2=2,x1x2=,‎ 所以x+x=(x1+x2)2-2x1x2=,‎ 得4-=.‎ 解得k=.‎ 所以该抛物线是由y=-3(x-1)2的图像向上平移个单位得到的,它的解析式为y=-3(x-1)2+,即y=-3x2+6x-.‎ 点评:本题考查利用二次函数的知识解决问题.函数图像的平移会对解析式产生影响,但函数图像中的某些特征不会产生变化.我们要抓住变化的关键,对函数解析式中变化的系数进行讨论.‎ 变式训练 如果把函数y= f(x)的图像平移,可以使图像上的点P(1,0)变成Q(2,2),则函数y= f(x)的图像经过此种变换后所对应的函数为(  ).‎ A.y=f(x-1)+2        B.y=f(x-1)-2‎ C.y=f(x+1)+2 D.y=f(x+1)-2‎ 解析:点P(1,0)变成Q(2,2)可以看成将点P(1,0)向右平移一个单位,再向上平移2个单位得到点Q(2,2),则将函数y= f(x)的图像向右平移一个单位,再向上平移2个单位得函数y= f(x-1)+2的图像.‎ 答案:A ‎1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像的顶点坐标为(2,-1),与y轴交点坐标为(0,11),则(  ).‎ A.a=1,b=-4,c=-11      B.a=3,b=12,c=11‎ C.a=3,b=-6,c=11 D.a=3,b=-12,c=11‎ 解析:由题意得 ‎∴ 答案:D ‎2.设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则f(x)的解析式为f(x)=__________,关于x的方程f(x)= x的解的个数为__________.‎ 解析:∵f(-4)=f(0),f(-2)=-2,‎ ‎∴ 解得b=4,c=2,画出函数y=f(x),y=x的图像,它们的图像有3个交点,故关于x的方程f(x)= x有3个解.‎ 答案:f(x)= 3‎ ‎3.已知二次函数f(x)的顶点坐标为(1,-2),且过点(2,4),则f(x)=__________.‎ 解析:设f(x)=a(x-1)2-2,因为过点(2,4),‎ 所以有a(2-1)2-2=4,得a=6.‎ 所以f(x)=6(x-1)2-2=6x2-12x+4.‎ 答案:6x2-12x+4‎ 问题:两个二次函数f(x)=ax2+bx+c与g(x)=bx2+ax+c的图像只可能是图6中的(  ).‎ 图6‎ 解析:这是一道考查二次函数解析式中a,b,c的性质与函数图像特征的相关题目.由于f(x),g(x)图像的对称轴方程分别是x=-,x=-,且-与-同号,即它们的对称轴位于y轴的同一侧,由此排除A,B;又由C,D中给出的图像可断定它们开口方向相反,故ab<0.于是->0,->0,即它们的对称轴都位于y轴右侧,排除C.‎ 答案:D 本节学习了:‎ ‎(1)二次函数的解析式及其求法.‎ ‎(2)变换法画二次函数的图像.‎ 习题2—‎4A组2、3、4.‎ 本节课的教学设计中,主要涉及图像的移动,“形”十分突出,因此教师一定要注意用好“形”,但是,又不能仅仅满足于对“形”的认识,教材还设置了“抽象概括”,意在从形出发,然后升华为对一般的数的认识.‎ 函数图像的变换 函数的变换,教材中给出的实际是函数的平移变换,而变换还可以有对称变换、放缩变换等.‎ 所谓对称变换,是指对于两个函数y=f(x)和y=g(x),如果对于定义域内的所有x都有f(x)=g(-x),那么它们的图像关于y轴对称,如果f(x)=-g(x),那么它们的图像关于x轴对称,如果f(x)=-g(-x),那么它们的图像关于原点O成中心对称,则称其中一个函数由另一个函数经对称变换而得到.‎ 所谓放缩变换,是指对于两个函数y=f(x)和y=g(x),如果对于定义域内的所有x都有f(x)=kg(x),那么函数y=f(x)的图像由函数y=g(x)的图像在y轴方向上扩大a倍,如果f(x)= g(kx),那么函数y=f(x)的图像由函数y=g(x)的图像在x轴方向上压缩a倍,则称其中一个函数由另一个函数经放缩变换而得到.‎ ‎(设计者 张新军)‎

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