§4 对 数
教学分析
我们在前面的学习过程中，已了解了指数函数的概念和性质，它是后续学习的基础，从本节开始我们学习对数及其运算．使学生认识引进对数的必要性，理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用．
教材注重从现实生活的事例中引出对数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望．教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情境创设．教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能，教材安排了“阅读与思考”的内容，有利于加强数学文化的教育，应指导学生认真研读．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持．
三维目标
1．理解对数的概念，了解对数与指数的关系；理解和掌握对数的性质；掌握对数式与指数式的关系；通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，并掌握化简求值的技能；运用对数运算性质解决有关问题．培养学生分析、综合解决问题的能力；培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度．
2．通过与指数式的比较，引出对数的定义与性质；让学生经历并推理出对数的运算性质；让学生归纳整理本节所学的知识．
3．学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力；通过对数的运算法则的学习，培养学生严谨的思维品质；在学习过程中培养学生探究的意识；让学生感受对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性．
重点难点
教学重点：对数式与指数式的互化及对数的性质，对数运算的性质与对数知识的应用．
教学难点：对数概念的理解，对数运算性质的推导及应用．
课时安排
3课时
4．1 对数及其运算(1)
导入新课
思路1.1.庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭．(1)取4次，还有多长？(2)取多少次，还有0.125尺？
2．假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？
抽象出：1.4＝？x＝0.125x＝？
2．(1＋8%)x＝2x＝？都是已知底数和幂的值，求指数．你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数〔引出对数的概念，教师板书课题〕．
思路2.我们前面学习了指数函数及其性质，同时也会利用性质解决问题，但仅仅有指数函数还不够，为了解决某些实际问题，还要学习对数函数，为此我们先学习对数〔引出对数的概念，教师板书课题〕．
推进新课
活动：学生讨论并作图，教师适时提示、点拨．
对问题①，回忆计算机作函数图像的方法，抓住关键点．
对问题②，图像类似于人的照片，从照片上能看出人的特点，当然从函数图像上就能看出函数的某些点的坐标．
对问题③，定义一种新的运算．
对问题④，借助③，类比到一般的情形．
讨论结果：①如图1.
图1
②在所作的图像上，取点P，测出点P的坐标，移动点P，使其纵坐标分别接近18,20,30，观察这时的横坐标，大约分别为32.72,43.29,84.04，这就是说，如果保持年增长率为1个百分点，那么大约经过33年、43年、84年，我国人口分别约为18亿、20亿、30亿．
③＝1.01x，＝1.01x，＝1.01x，在这几个式子中，要求x分别等于多少，目前我们没学这种运算，可以定义一种新运算，即若＝1.01x，则x称作以1.01为底的的对数．其他的可类似得到，这种运算叫作对数运算．
④一般性的结论就是对数的定义：
一般地，如果a(a＞0，a≠1)的x次幂等于N，就是ax＝N，那么数x叫作以a为底N的对数(logarithm)，记作x＝logaN，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
有了对数的定义，前面问题的x就可表示了：x＝log1.01，x＝log1.01，x＝log1.01.
由此得到对数和指数幂之间的关系：
a
N
b
指数式ab＝N
底数
幂
指数
对数式logaN＝b
对数的底数
真数
对数
例如：42＝162＝log416；102＝1002＝log10100；4＝2＝log42；10－2＝0.01－2＝log100.01.
①为什么在对数定义中规定a>0，a≠1？
②根据对数定义求loga1和logaa(a>0，a≠1)的值.
③负数与零有没有对数？
④alogaN＝N与logaab＝b(a>0，a≠1)是否成立？
讨论结果：①这是因为若a＜0，则N为某些值时，b不存在，如log(－2)；
若a＝0，N不为0时，b不存在，如log03，N为0时，b可为任意正数，是不唯一的，即log00有无数个值；
若a＝1，N不为1时，b不存在，如log12，N为1时，b可为任意数，是不唯一的，即log11有无数个值．综之，就规定了a＞0且a≠1.
②loga1＝0，logaa＝1.
因为对任意a＞0且a≠1，都有a0＝1，所以loga1＝0.
同样易知：logaa＝1.即1的对数等于0，底的对数等于1.
③因为底数a＞0且a≠1，由指数函数的性质可知，对任意的b∈R，ab＞0恒成立，即只有正数才有对数，零和负数没有对数．
④因为ab＝N，所以b＝logaN，ab＝alogaN＝N，即alogaN＝N.
因为ab＝ab，所以logaab＝b.故两个式子都成立．(alogaN＝N叫对数恒等式)
思考
我们对对数的概念和一些特殊的式子已经有了一定的了解，但还有两类特殊的对数对科学研究和了解自然起了巨大的作用，你们知道是哪两类吗？
活动：同学们阅读课本的内容，教师引导，板书．
解答：①常用对数：我们通常将以10为底的对数叫作常用对数．为了简便，N的常用对数log10N简记作lg N.
例如：log105简记作lg 5；log103.5简记作lg 3.5.
②自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e＝2.718 28…为底的对数，以e为底的对数叫作自然对数，为了简便，N的自然对数logeN简记作ln N.
例如：loge3简记作ln 3；loge10简记作ln 10.
思路1
1将下列指数式写成对数式：
(1)54＝625；(2)3－3＝；(3)＝16；(4)5a＝15.
活动：学生阅读题目，独立解题，把自己解题的过程展示在屏幕上，教师评价学生，强调注意的问题．
对(1)根据指数式与对数式的关系，4在指数位置上，4是以5为底625的对数．
对(2)根据指数式与对数式的关系，－3在指数位置上，－3是以3为底的对数．
对(3)根据指数式与对数式的关系，在指数位置上，是以8为底16的对数．
对(4)根据指数式与对数式的关系，a在指数位置上，a是以5为底15的对数．
解：(1)log5625＝4；(2)log3＝－3；(3)log816＝；(4)a＝log515.
思考指数式与对数式的互化应注意哪些问题？
活动：学生考虑指数式与对数式互化的依据，回想对数概念的引出过程，理清对数与指数幂的关系，特别是位置的对照．
解答：若是指数式化为对数式，关键要看清指数是几，再写成对数式．若是对数式化为指数式，则要看清真数是几，再写成幂的形式．最关键的是搞清N与b在指数式与对数式中的位置，千万不可大意，其中对数的定义是指数式与对数式互化的依据．
例2 求下列各式的值：
(1)log525；(2)；(3)3log310；(4)ln 1；(5)log2.52.5.
活动：学生独立解题，教师同时展示学生的做题情况，要求学生说明解答的依据，利用指数式与对数式的关系，转化为指数式求解．
解：(1)因为52＝25，所以log525＝2.
(2)因为－5＝32，所以＝－5.
(3)设3log310＝N，则log3N＝log310，所以N＝10，即3log310＝10.
(4)因为e0＝1，所以ln 1＝0.
(5)因为2.51＝2.5，所以log2.52.5＝1.
点评：本题要注意方根的运算，同时也可借助对数恒等式来解．
例3 将下列对数式写成指数式．
(1)＝－4；(2)log3243＝5；(3)＝3；(4)lg 0.1＝－1.
活动：学生阅读题目，独立解题，发表自己的见解，把结果用多媒体显示在屏幕上．
解：根据指数式与对数式的关系，得(1)－4＝16；(2)35＝243；(3)3＝；(4)10－1＝0.1.
点评：对数的定义是指数式与对数式互化的根据．
思路2
例1 以下四个命题中，属于真命题的是( )．
(1)若log5x＝3，则x＝15
(2)若log25x＝，则x＝5
(3)若logx＝0，则x＝
(4)若log5x＝－3，则x＝
A．(2)(3) B．(1)(3)
C．(2)(4) D．(3)(4)
活动：学生观察，教师引导学生考虑对数的定义．
对数式化为指数式，根据指数幂的运算性质算出结果．
对于(1)，因为log5x＝3，所以x＝53＝125，错误；
对于(2)，因为log25x＝，所以x＝＝5，正确；
对于(3)，因为logx＝0，所以x0＝，无解，错误；
对于(4)，因为log5x＝－3，所以x＝5－3＝，正确．
总之(2)(4)正确．
答案：C
点评：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据．
例2 对于a＞0，a≠1，下列结论正确的是( )．
(1)若M＝N，则logaM＝logaN (2)若logaM＝logaN，则M＝N
(3)若logaM2＝logaN2，则M＝N (4)若M＝N，则logaM2＝logaN2
A．(1)(3) B．(2)(4)
C．(2) D．(1)(2)(4)
活动：学生思考，讨论，交流，回答，教师及时评价．
回想对数的有关规定．
对(1)若M＝N，当M为0或负数时logaM≠logaN，因此错误；
对(2)根据对数的定义，若logaM＝logaN，则M＝N，正确；
对(3)若logaM2＝logaN2，则M＝±N，因此错误；
对(4)若M＝N＝0时，则logaM2与logaN2都不存在，因此错误．
综上，(2)正确．
答案：C
点评：0和负数没有对数，一个正数的平方根有两个．
例3 计算：
(1)log927；(2)81；(3)log(2＋)(2－)；(4)log625.
活动：
教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，学生展示自己的解题过程，教师及时评价学生．利用对数的定义或对数恒等式来解．求式子的值，首先设成对数式，再转化成指数式或指数方程求解．另外利用对数恒等式可直接求解，所以有两种解法．
解法一：(1)设x＝log927，则9x＝27,32x＝33，所以x＝.
(2)设x＝，则()x＝81,＝34，所以x＝16.
(3)令x＝log(2＋)(2－)＝log(2＋)(2＋)－1，
所以(2＋)x＝(2＋)－1，x＝－1.
(4)令x＝，所以()x＝625,＝54，x＝3.
解法二：(1)log927＝log933＝＝.
(2)＝()16＝16.
(3)log(2＋)(2－)＝log(2＋)(2＋)－1＝－1.
(4)＝()3＝3.
点评：首先将其转化为指数式，进一步根据指数幂的运算性质算出结果，对数的定义是转化和对数恒等式的依据．
1．把下列各题的指数式写成对数式：
(1)42＝16；(2)30＝1；(3)4x＝2；(4)2x＝0.5；(5)54＝625；(6)3－2＝；(7)－2＝16.
解：(1)2＝log416；(2)0＝log31；(3)x＝log42；(4)x＝log20.5；(5)4＝log5625；(6)－2＝log3；(7)－2＝.
2．把下列各题的对数式写成指数式：
(1)x＝log527；(2)x＝log87；(3)x＝log43；(4)x＝log7；
(5)log216＝4；(6)＝－3；(7)logx＝6；(8)logx64＝－6；
(9)log2128＝7；(10)log327＝a.
解：(1)5x＝27；(2)8x＝7；(3)4x＝3；(4)7x＝；(5)24＝16；(6)－3＝27；(7)()6＝x；(8)x－6＝64；(9)27＝128；(10)3a＝27.
3．求下列各式中x的值：
(1)log8x＝－；(2)logx27＝；(3)log2(log5x)＝1；(4)log3(lg x)＝0.
解：(1)因为log8x＝－，
所以x＝＝＝＝2－2＝；
(2)因为logx27＝，
所以＝27＝33，即x＝＝34＝81；
(3)因为log2(log5x)＝1，
所以log5x＝2，x＝52＝25；
(4)因为log3(lg x)＝0，
所以lgx＝1，即x＝101＝10.
4．(1)求log84的值；
(2)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值．
解：(1)设log84＝x，根据对数的定义有8x＝4，即23x＝22，
所以x＝，即log84＝；
(2)因为loga2＝m，loga3＝n，根据对数的定义有am＝2，an＝3，
所以a2m＋n＝(am)2·an＝(2)2·3＝4×3＝12.
点评：此题不仅是简单的指数与对数的互化，还涉及到常见的幂的运算法则的应用．
请你阅读课本，搜集有关对数发展的材料，以及有关数学家关于对数的材料，通过网络查寻关于对数换底公式的材料，为下一步学习打下基础．
(1)对数引入的必要性；(2)对数的定义；(3)几种特殊数的对数；(4)负数与零没有对数；(5)对数恒等式；(6)两种特殊的对数．
1．将下列指数式与对数式互化，有x的求出x的值．
(1)＝；(2)log4＝x；(3)3x＝；
(4)x＝64；(5)lg 0.000 1＝x；(6)ln e5＝x.
解：(1)＝化为对数式是log5＝－；
(2)x＝log4化为指数式是()x＝4，即＝22，＝2，x＝4；
(3)3x＝化为对数式是x＝log3，
因为3x＝3＝3－3，所以x＝－3；
(4)x＝64化为对数式是x＝，
因为x＝64＝43，所以x＝－3；
(5)lg 0.000 1＝x化为指数式是10x＝0.000 1，
因为10x＝0.000 1＝10－4，所以x＝－4；
(6)ln e5＝x化为指数式是ex＝e5，
因为ex＝e5，所以x＝5.
2．计算＋的值．
解：设x＝log3，则3x＝，(3)x＝()，所以x＝log.
所以＋＝＋＝＋＝.
3．计算alogab·logbc·logcN(a＞0，b＞0，c＞0，N＞0)．
解：alogab·logbc·logcN＝blogbc·logcN＝clogcN＝N.
本节课在前面研究了指数函数及其性质的基础上，为了运算的方便，引进了对数的概念，使学生感受到对数的现实背景，它有着丰富的内涵，和我们的实际生活联系密切，也是以后学习对数函数的基础，鉴于这种情况，安排教学时，无论是导入还是概念得出的过程，都比较详细，通俗易懂，要反复练习，要紧紧抓住它与指数概念之间的联系与区别，结合指数式理解对数式，强化对数是一种运算，并注意对数运算符号的理解和记忆，多运用信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务，为下一节课作准备．
(设计者：路致芳)
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