3．3 指数函数的图像和性质(2)
导入新课
思路1.我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图像的特点，并且是用类比和归纳的方法得出，在上节课的探究中我们知道，函数①y＝3x，②y＝3x＋1，③y＝3x－1的图像之间的关系，由其中的一个可得到另外两个的图像，那么，对y＝ax与y＝ax＋m(a＞0，m∈R)有着怎样的关系呢？在理论上，含有指数函数的复合函数是否具有奇偶性呢？这是我们本堂课研究的内容．教师点出课题．
思路2.我们在第一章中，已学习了函数的性质，特别是单调性和奇偶性是某些函数的重要特点，我们刚刚学习的指数函数，严格地证明了指数函数的单调性，便于我们在解题时应用这些性质，在实际生活中，往往遇到的不单单是指数函数，还有其他形式的函数，有的是指数函数的复合函数，我们需要研究它的单调性和奇偶性，这是我们面临的问题，也是我们本堂课要解决的问题．
推进新课
(1)指数函数有哪些性质？
(2)利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些？
(3)对复合函数，如何证明函数的单调性？
(4)如何判断函数的奇偶性，有哪些方法？
活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容．
讨论结果：(1)指数函数的图像和性质．
一般地，指数函数y＝ax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图像和性质如下表所示：
a＞1
0＜a＜1
图像
图像特征
图像分布在一、二象限，与y轴相交，落在x轴的上方
都过点(0,1)
第一象限的点的纵坐标都大于1；第二象限的点的纵坐标都大于0且小于1
第一象限的点的纵坐标都大于0且小于1；第二象限的点的纵坐标都大于1
从左向下图像逐渐上升
从左向下图像逐渐下降
性质
(1)定义域：R
(2)值域：(0，＋∞)
(3)过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
(4)x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1
(4)x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1
(5)在R上是增函数
(5)在R上是减函数
(2)依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤是：
①取值．即设x1，x2是该区间内的任意两个值且x1＜x2.
②作差变形．即求f(x2)－f(x1)，通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．
③定号．根据给定的区间和x2－x1的符号确定f(x2)－f(x1)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论．
④判断．根据单调性定义作出结论．
(3)对于复合函数y＝f[g(x)]可以总结为：
当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y＝f[g(x)]是增函数；
当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时，复合函数y＝f[g(x)]是减函数；
又简称为口诀“同增异减”．
(4)判断函数的奇偶性：
一是利用定义法，即首先是定义域关于原点对称，再次是考察式子f(x)与f(－x)的关系，最后确定函数的奇偶性；
二是作出函数图像或从已知图像观察，若图像关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．
思路1
例1 在同一坐标系下作出下列函数的图像，并指出它们与指数函数y＝2x的图像的关系．
(1)y＝2x＋1与y＝2x＋2；(2)y＝2x－1与y＝2x－2.
活动：教师适当时候点拨，学生回想作图的方法和步骤，特别是指数函数图像的作法，学生回答并到黑板上作图，教师指点学生，列出对应值表，抓住关键点，特别是(0,1)点，或用计算机作图．
解：(1)列出函数数据表作出图像如图1.
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
2x
…
0.125
0.25
0.5
1
2
4
8
…
2x＋1
…
0.25
0.5
1
2
4
8
16
…
2x＋2
…
0.5
1
2
4
8
16
32
…
图1
比较可知函数y＝2x＋1，y＝2x＋2与y＝2x的图像的关系为：将指数函数y＝2x的图像向左平行移动1个单位长度，就得到函数y＝2x＋1的图像；将指数函数y＝2x的图像向左平行移动2个单位长度，就得到函数y＝2x＋2的图像．
(2)列出函数数据表作出图像如图2.
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
2x
…
0.125
0.25
0.5
1
2
4
8
…
2x－1
…
0.625
0.125
0.25
0.5
1
2
4
…
2x－2
…
0.312 5
0.625
0.125
0.25
0.5
1
2
…
图2
比较可知函数y＝2x－1，y＝2x－2与y＝2x的图像的关系为：将指数函数y＝2x的图像向右平行移动1个单位长度，就得到函数y＝2x－1的图像；将指数函数y＝2x的图像向右平行移动2个单位长度，就得到函数y＝2x－2的图像．
点评：类似地，我们得到y＝ax与y＝ax＋m(a＞0，a≠1，m∈R)之间的关系：
y＝ax＋m(a＞0，m∈R)的图像可以由y＝ax的图像变化而来．
当m＞0时，y＝ax的图像向左移动m个单位得到y＝ax＋m的图像；
当m＜0时，y＝ax的图像向右移动|m|个单位得到y＝ax＋m的图像．
上述规律也简称为“左加右减”．
变式训练
为了得到函数y＝2x－3－1的图像，只需把函数y＝2x的图像( )．
A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
答案：B
点评：对于有些复合函数的图像，常用变换方法作出.
例2 已知－1＜x＜0，比较3－x,0.5－x的大小，并说明理由．
活动：学生审题，考虑解题思路，教师提示：比较大小时一般借助于函数的性质，当不能直接进行比较时，往往寻求中间量，如1，由于－1＜x＜0，所以0＜－x＜1，而3＞1，有3－x＞1.
同理0＜0.5＜1.故有0＜0.5－x＜1.两数的大小可以比较．
解：因为－1＜x＜0，所以0＜－x＜1.
而3＞1，因此有3－x＞1.
又0＜0.5＜1，因而有0＜0.5－x＜1.
故3－x＞0.5－x.
点评：寻求中间量比较大小是常用的比较大小的方法．
思路2
例1 设a＞0，f(x)＝＋在R上满足f(－x)＝f(x)．
(1)求a的值；
(2)证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
活动：学生先思考或讨论，如果有困难，教师提示，引导．
(1)求单独一个字母的值，一般是转化为方程，利用f(－x)＝f(x)可建立方程．
(2)证明增减性一般用定义法，回忆定义法证明增减性的步骤，规范书写的格式．
(1)解：依题意，对一切x∈R有f(－x)＝f(x)成立，即＋aex＝＋.
所以＝0对一切x∈R成立．由此可得a－＝0，即a2＝1.
又因为a＞0，所以a＝1.
(2)证明：设0＜x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝ex1－ex2＋－＝(ex1－ex2)＝ex1(ex2－x1－1)·.
由x1＞0，x2＞0，x2－x1＞0，得x2＋x1＞0，ex2－x1－1＞0,1－ex2＋x1＜0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
点评：在已知等式f(－x)＝f(x)成立的条件下，对应系数相等，求出a，也可用特殊值求解．证明函数的单调性，严格按定义写出步骤，判断过程尽量明显直观．
例2 已知函数f(x)＝3x，且x＝a＋2时，f(x)＝18，g(x)＝3ax－4x的定义域为[0,1]．
(1)求g(x)的解析式；
(2)求g(x)的单调区间，确定其增减性并用定义证明；
(3)求g(x)的值域．
解：(1)因为f(x)＝3x，且x＝a＋2时f(x)＝18，
所以f(a＋2)＝3a＋2＝18.所以3a＝2.
所以g(x)＝3ax－4x＝(3a)x－4x.
所以g(x)＝2x－4x.
(2)因为函数g(x)的定义域为[0,1]，令t＝2x，因为x∈[0,1]时，函数t＝2x在区间[0,1]上单调递增，
所以t∈[1,2]，则g(t)＝t－t2＝－(t2－t)＝－2＋，t∈[1,2]．
因为函数t＝2x在区间[0,1]上单调递增，函数g(t)＝t－t2在t∈[1,2]上单调递减，
所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减．
证明：设x1和x2是区间[0,1]上任意两个值，且x1＜x2，
g(x2)－g(x1)＝2x2－4x2－2x1＋4x1＝(2x2－2x1)－(2x2－2x1)(2x2＋2x1)＝(2x2－2x1)(1－2x1－2x2)，
因为0≤x1≤x2≤1，
所以2 x2＞2x1，且1≤2x1＜2,1＜2 x2≤2.
所以2＜2x1＋2x2＜4.
所以－3＜1－2x1－2x2＜－1，可知(2x2－2x1)(1－2x1－2x2)＜0.
所以g(x2)＜g(x1)．
所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减．
(3)因为函数g(x)在区间[0,1]上单调递减，
所以x∈[0,1]时，有g(1)≤g(x)≤g(0)．
因为g(1)＝21－41＝－2，g(0)＝20－40＝0，
所以－2≤g(x)≤0.
故函数g(x)的值域为[－2,0]．
点评：此题是一道有关函数的概念、函数性质的应用、推理、证明综合题，要通盘考虑．
求函数y＝|1＋2x|＋|x－2|的单调区间．
活动：教师提示，因为指数含有两个绝对值，要去绝对值，要分段讨论，同时注意底数的大小，分析出指数的单调区间，再确定函数的单调区间，利用复合函数的单调性学生思考讨论，然后解答．
解：由题意可知2与－是区间的分界点．
当x＜－时，因为y＝－1－2x－x＋2＝1－3x＝23x－1＝·8x，
所以此时函数为增函数．
当－≤x＜2时，因为y＝1＋2x－x＋2＝3＋x＝2－3－x＝·x，
所以此时函数为减函数．
当x≥2时，因为y＝1＋2x＋x－2＝3x－1＝21－3x＝2·x，
所以此时函数为减函数．
当x1∈，x2∈[2，＋∞)时，因为2·x2－·x1＝2·2－3x2－2－3·2x1＝21－3x2－2－3－x1，
又因为1－3x2－(－3－x1)＝4－3x2＋x1＝4＋x1－3x2＜0，所以1－3x2＜－3－x1，
即2·x2＜·x1.
所以此时函数为减函数．
综上所述，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．
设m＜1，f(x)＝，若0＜a＜1，试求：
(1)f(a)＋f(1－a)的值；
(2)f＋f＋f＋…＋f的值．
活动：学生思考，观察，教师提示学生注意式子的特点，做这种题目，一定要有预见性，即第(2)问要用到第(1)问的结果，联系函数的知识解决．
解：(1)f(a)＋f(1－a)＝＋
＝＋＝＋
＝＋＝＝1.
(2)f＋f＋f＋…＋f
＝＋＋…＋
＝500×1＝500.
点评：第(2)问是第(1)问的继续，第(1)问是第(2)问的基础，两个问号是衔接的，利用前一个问号解决后一个问号是我们经常遇到的情形，要注意问号与问号之间的联系．
本节课复习了指数函数的性质，借助指数函数的性质的运用，我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的函数图像的变换进行了学习，要高度重视，在不断学习中升华提高．
习题3—3 B组3,6.
指数函数作为一类基本的初等函数，它虽然不具有函数通性中的奇偶性，但是它与其他函数复合构成具有比较复杂的单调性的函数，同时也可以复合出比较特殊的奇函数和偶函数，判断复合函数的单调性和奇偶性要十分小心，严格按规定的要求，有时借助数形结合可帮我们找到解题思路，本堂课是在以前基础上的提高与深化，同时又兼顾了高考常考的内容，因此涉及面广，容量大，要集中精力，加快速度，高质量完成教学任务．
富兰克林的遗嘱与拿破仑的诺言
富兰克林利用放风筝而感受到电击，从而发明了避雷针．这位美国著名的科学家死后留下了一份有趣的遗嘱：
“……一千英镑赠给波士顿的居民，如果他们接受了这一千英镑，那么这笔钱应该托付给一些挑选出来的公民，他们得把这些钱按每年5%的利率借给一些年轻的手工业者去生息．这些款过了100年增加到131 000英镑．我希望那时候用100 000英镑来建立一所公共建筑物，剩下的31 000英镑拿去继续生息100年．在第二个100年末了，这笔款增加到4 061 000英镑，其中1 061 000英镑还是由波士顿的居民来支配，而其余的3 000 000英镑让马萨诸塞州的公众来管理．过此之后，我可不敢主张了！”
你可曾想过：区区的1 000英镑遗产，竟立下几百万英镑财产分配的遗嘱，是“信口开河”，还是“言而有据”呢？事实上，只要借助于复利公式，同学们完全可以通过计算而作出自己的判断．
yn＝m(1＋a)n就是复利公式，其中m为本金，a为年利率，yn为n年后本金与利息的总和．在第一个100年末富兰克林的财产应增加到：y100＝1 000(1＋5%)100＝131 501(英镑)，比遗嘱中写的还多出501英镑．在第二个100年末，遗产就更多了：y100＝131 501(1＋5%)100＝4 142 421(英镑)．可见富兰克林的遗嘱是有科学根据的．
遗嘱故事启示我们：在指数效应下，微薄的财产，低廉的利率，可以变得令人瞠目结舌．威名显赫的拿破仑，由于陷进了指数效应的漩涡而使法国政府十分难堪！
1797年，拿破仑参观国立卢森堡小学，赠上了一束价值三个金路易的玫瑰花，并许诺只要法兰西共和国存在一天，他将每年送一束价值相等的玫瑰花，以作两国友谊的象征．由于连年征战，拿破仑忘却了这一诺言！1894年，卢森堡王国郑重地向法兰西共和国提出了“玫瑰花悬案”，要求法国政府在拿破仑的声誉和1 375 596法郎的债款中，两者选取其一．这笔巨款就是三个金路易的本金，以5%的年利率，在97年的指数效应下的产物．
(设计者：刘玉亭)
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