2．2 用函数模型解决实际问题
导入新课
思路1.(事例导入)
一张纸的厚度大约为0.01 cm，一块砖的厚度大约为10 cm，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n＝20时它们的厚度．你的直觉与结果一致吗？
解：纸对折n次的厚度：f(n)＝0.01·2n(cm)，n块砖的厚度：g(n)＝10n(cm)，f(20)≈105 m，g(20)＝2 m.
也许同学们感到意外，通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解．
思路2.(直接导入)
请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图像性质，本节我们通过实例比较它们的应用．
推进新课
①如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数.
②正方形的边长为x，面积为y，把y表示为x的函数.
③某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区努力，湿地每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y，把y表示为x的函数.
④分别用表格、图像表示上述函数.
⑤指出它们属于哪种函数模型.
⑥讨论它们的单调性.
⑦继续扩大x的取值范围，比较它们的增长差异.
⑧另外还有哪种函数模型？
活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．
①总价等于单价与数量的积．
②面积等于边长的平方．
③由特殊到一般，先求出经过1年、2年、…….
④列表画出函数图像．
⑤引导学生回忆学过的函数模型．
⑥结合函数表格与图像讨论它们的单调性．
⑦让学生自己比较并体会．
⑧另外还有与对数函数有关的函数模型．
讨论结果：①y＝x.
②y＝x2.
③y＝(1＋5%)x，
④如下表
x
1
2
3
4
5
6
y＝x
1
2
3
4
5
6
y＝x2
1
4
9
16
25
36
y＝(1＋5%)x
1.05
1.10
1.16
1.22
1.28
1.34
它们的图像分别为图5，图6，图7.
图5 图6 图7
⑤它们分别属于：y＝kx＋b(直线型)，y＝ax2＋bx＋c(a≠0，抛物线型)，y＝kax＋b(指数型)．
⑥从表格和图像得出它们都为增函数．
⑦在不同区间增长速度不同，随着x的增大y＝(1＋5%)x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数．
⑧另外还有与对数函数有关的函数模型，形如y＝logax＋b，我们把它叫作对数型函数．
函数模型是应用最广泛的数学模型之一．许多实际问题一旦认定是函数关系．就可以通过研究函数的性质把握问题，使问题得到解决．
思路1
例1 某公司一年需要一种计算机元件8 000个，每天需同样多的元件用于组装整机．该元件每年分n次进货，每次购买元件的数量均为x，购一次货需手续费500元．已购进而未使用的元件要付库存费，可以认为平均库存量为x件，每个元件的库存费是一年2元．请核算一下，每年进货几次花费最小？
解：无论分几次进货，公司进货的总数是8 000个元件，元件费用是固定不变的，影响总费用变化的量只是库存费和购货手续费，若想减少库存费，就要增加进货次数，而进货次数的增加又使手续费的总量增加了，这就需要将二者对总费用的影响用数学关系表示清楚，进而求最小的花费．
设购进8 000个元件的总费用为F，一年总库存费为E，手续费为H，其他费用为C(C为常数)，则
E＝2×x，H＝500×，x＝(n≥1，n∈Z)，
所以F＝E＋H＋C＝2×x＋500×＋C
＝＋500n＋C＝500＋C＝5002＋4 000＋C≥4 000＋C，
当且仅当＝，即n＝4时，总费用最少，故以每年进货4次为宜．
例2 电声器材厂在生产扬声器的过程中，有一道重要的工序：使用AB胶粘合扬声器中的磁钢与夹板．长期以来，由于对AB胶的用量没有一个确定的标准，经常出现用胶过多，胶水外溢；或用胶过少，产生脱胶，影响了产品质量．经过实验，已有一些恰当用胶量的具体数据(见下表)．
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
磁钢面积/cm2
11.0
19.4
26.2
46.6
56.6
67.2
125.2
189.0
247.1
443.4
用胶量/g
0.164
0.396
0.404
0.664
0.812
0.972
1.688
2.86
4.076
7.332
现在需要提出一个既科学又简便的方法来确定磁钢面积与用胶量的关系．
解：我们取磁钢面积x为横坐标、用胶量y为纵坐标，建立直角坐标系．根据上表数据在直角坐标系中描点，得出图8.
图8
从图中我们清楚地看到这些点基本上分布在一条直线附近．画出这条直线，使图上的点比较均匀地分布在直线两侧．用函数y＝ax＋b表示用胶量与磁钢面积的关系．
取点(56.6,0.812)，(189.0,2.86)，将它们的坐标代入y＝ax＋b，
得方程组
解得a＝0.015 47，b＝－0.063 50.
这条直线是y＝0.015 47x－0.063 50.
点评：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律．这种方法称为数据拟合．在自然科学和社会科学中，很多规律、定律都是先通过实验，得到数据，再通过数据拟合得到的．
例3 某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1 000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润．于是只需在区间[10,1 000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可．不妨先作出函数图像，通过观察函数的图像，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果．
解：借助计算器或计算机作出函数y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像(图9)．
图9
观察函数的图像，在区间[10,1 000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图像始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．
下面通过计算确认上述判断．
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．
对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1 000]上递增，而且当x＝20时，y＝5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；
对于模型y＝1.002x，由函数图像，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002x0＝5，由于它在区间[10,1 000]上递增，因此当x＞x0时，y＞5，所以该模型也不符合要求；
对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1 000]上递增，而且当x＝1 000时，y＝log7
1 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．
再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10,1 000]时，是否有＝≤0.25成立．
令f(x)＝log7x＋1－0.25x，x∈[10,1 000]．
利用计算器或计算机作出函数f(x)的图像(图10)，由函数图像可知它是递减的，因此
图10
f(x)＜f(10)≈－0.316 7＜0，
即log7x＋1＜0.25x.
所以当x∈[10,1 000]时，＜0.25.
说明按模型y＝log7x＋1奖励，奖金不超过利润的25%.
综上所述，模型y＝log7x＋1确实能符合公司的要求.
变式训练
市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨x%(x＞0)，销售数量就减少kx%(其中k为正常数)．目前，该商品定价为a元，统计其销售数量为b个．
(1)当k＝时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大？
(2)在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k的取值范围．
解：依题意，价格上涨x%后，销售总金额为
y＝a(1＋x%)·b(1－kx%)＝[－kx2＋100(1－k)x＋10 000]．
(1)取k＝，y＝，
所以x＝50，即商品价格上涨50%，y最大为ab.
(2)因为y＝[－kx2＋100(1－k)x＋10 000]，
此二次函数的开口向下，对称轴为x＝，在适当涨价过程后，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x在{x|x＞0}的一个子集内增大时，y也增大．
所以＞0，解得0＜k＜1.
点评：这类问题的关键在于列函数解析式建立函数模型，然后借助不等式进行讨论.
思路2
例1 某工厂有216名工人接受了生产1 000台GH型高科技产品的总任务，已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成．每个工人每小时能加工6个G型装置或3个H型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置．设加工G型装置的工人有x人，他们加工完G型装置所需时间为g(x)，其余工人加工完H型装置所需时间为h(x)(单位：小时，可不为整数)．
(1)写出g(x)，h(x)解析式；
(2)比较g(x)与h(x)的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f(x)的解析式；
(3)应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？
解：(1)由题意，知需加工G型装置4 000个，加工H型装置3 000个，所用工人分别为x人，216－x人．
∴g(x)＝，h(x)＝，
即g(x)＝，h(x)＝(0＜x＜216，x∈N＋)．
(2)g(x)－h(x)＝－＝.
∵0＜x＜216，∴216－x＞0.
当0＜x≤86时，432－5x＞0，g(x)－h(x)＞0，g(x)＞h(x)；
当87≤x＜216时，432－5x＜0，g(x)－h(x)＜0，g(x)＜h(x)．
∴f(x)＝
(3)完成总任务所用时间最少即求f(x)的最小值．
当0＜x≤86时，f(x)递减，
∴f(x)≥f(86)＝＝.
∴f(x)min＝f(86)，此时216－x＝130.
当87≤x＜216时，f(x)递增，
∴f(x)≥f(87)＝＝.
∴f(x)min＝f(87)，此时216－x＝129.
∴f(x)min＝f(86)＝f(87)＝.
∴加工G型装置，H型装置的人数分别为86,130或87,129.
变式训练
1．某农产品去年各季度的市场价格如下表：
季 度
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
每吨售价(单位：元)
195.5
200.5
204.5
199.5
今年某公司计划按去年各季度市场价格的“平衡价m”(平衡价m是这样的一个量：m与各季度售价差的平方和最小)收购该种农产品，并按每个100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万吨，政府为了鼓励公司多收购这种农产品，决定将税率降低x个百分点，预测收购量可增加2x个百分点，
(1)根据题中条件填空，m＝________(元/吨)；
(2)写出税收y(万元)与x的函数关系式；
(3)若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
解：(1)∵f(m)＝(m－195.5)2＋(m－200.5)2＋(m－204.5)2＋(m－199.5)2＝4m2－1 600m＋160 041，∴m＝200.
(2)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万吨，收购总金额为200a(1＋2x%)，
故y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝a(100＋2x)(10－x)＝a(100＋2x)(10－x)(0＜x＜10)．
(3)原计划税收为200a×10%＝20a(万元)，
依题意得a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，即x2＋40x－84≤0.
解得－42≤x≤2.又0＜x＜10，
∴0＜x≤2.
∴x的取值范围是0＜x≤2.
2.假设国家收购某种农产品的价格是120元/担，其中征税标准为每100元征8元(叫税率为8%)，计划可收购m万担(其中m为正常数)，为了减轻农民负担，如果税率降低x%，预计收购量可增加(2x)%.
(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后不低于原计划的78%，求x的取值范围．
解：(1)y＝120m×104[1＋(2x)%]×(8－x)%＝120m(－2x2－84x＋800)．
(2)由题意知120m(－2x2－84x＋800)≥0.78×120m×104×8%，
解得0＜x≤2.所以x的取值范围是0＜x≤2.
例2 民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图11，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图12.(注：利润与投资单位：万元)
(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式．
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元？(精确到1万元)
图11 图12
解：(1)设投资为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元．
由题设f(x)＝k1x，g(x)＝k2，
由图知f(1)＝，∴k1＝.
又g(4)＝，∴k2＝.
从而f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
(2)设A产品投入x万元，则B产品投入10－x万元，企业利润为y万元．
则y＝f(x)＋g(10－x)＝＋(0≤x≤10)，
令＝t，
则y＝＋t＝－2＋(0≤t≤)，
当t＝时，ymax＝≈4，
此时x＝10－＝3.75(万元)．
∴当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为4万元.
变式训练
某商场计划投入一笔资金采购一批紧销商品，经过市场调查发现，如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售，可获利30%，但要付出仓储费用700元，请根据商场情况，如何购销获利较多？
解：设商场投资x元，在月初出售，到月末可获利y1元，在月末出售，可获利y2元，则
y1＝15%x＋10%(x＋15%x)＝0.265x，
y2＝0.3x－700.
图13
利用函数图像比较大小，在直角坐标系中，作出两函数的图像如图13所示，得两图像的交点坐标为(20 000，5 300)．
由图像，知当x＞20 000时，y2＞y1.
当x＝20 000时，y1＝y2；当x＜20 000时，y2＜y1.
∴当投资小于20 000元时，月初出售；当投资等于20 000元时，月初、月末出售均可；当投资大于20 000元时，月末出售.
光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为k，通过x块玻璃以后强度为y.
(1)写出y关于x的函数关系式；
(2)通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来的以下．(lg 3≈0.477 1)
解：(1)光线经过1块玻璃后强度为(1－10%)k＝0.9k；
光线经过2块玻璃后强度为(1－10%)·0.9k＝0.92k；
光线经过3块玻璃后强度为(1－10%)·0.92k＝0.93k；
光线经过x块玻璃后强度为0.9xk.
∴y＝0.9xk(x∈N＋)．
(2)由题意，知0.9xk＜，
∴0.9x＜.两边取对数，xlg 0.9＜lg .
∵lg 0.9＜0，∴x＞.
∵＝≈10.4，∴xmin＝11.
∴通过11块玻璃以后，光线强度减弱到原来的以下．
某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图像如图14所示．假设其关系为指数函数，并给出下列说法：
①此指数函数的底数为2；
②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m2；
③野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2只需1.5个月；
④设野生水葫芦蔓延到2 m2、3 m2、6 m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1＋t2＝t3；
⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．
哪些说法是正确的？
图14
解：①说法正确．
∵关系为指数函数，∴可设y＝ax(a＞0且a≠1)．
∴由图知2＝a1.
∴a＝2，即底数为2.
②∵25＝32＞30，∴说法正确．
③∵指数函数增加速度越来越快，∴说法不正确．
④t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，∴说法正确．
⑤∵指数函数增加速度越来越快，∴说法不正确．
活动：学生先思考或讨论，再回答．教师提示、点拨，及时评价．
引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结．
答案：(1)建立函数模型；(2)利用函数图像性质分析问题、解决问题．
习题4—2 A组2.
本节设计由学生熟悉的素材入手，结果却出乎学生的意料，由此使学生产生浓厚的学习兴趣．课本中两个例题不仅让学生学会了函数模型的应用，而且体会到它们之间的差异；我们补充的例题与之相映生辉，是课本的补充和提高，其难度适中是各地高考模拟经常选用的素材．其中拓展提升中的问题紧贴本节主题，很好地体现了指数函数的性质特点，是一个不可多得的素材．
(设计者：林大华)
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